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此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设an,bn分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A.a2>b2B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6【解析】选A.设an的公差为d,bn的公比为q,由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以=2+.当x,y同号时,+2;当x,y异号时,+-2.所以的取值范围为(-,04,+).答案:(-,04,+)2.已知数列an,bn满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得=2,所以a1,a3,a5,成等比数列,a2,a4,a6,也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选C.因为an是等差数列,所以Sn=n2+n.因为S5<S6,S6=S7>S8,所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值,S9<S5,a7=S7-S6=0,故选C.4.(20xx·北京模拟)已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()A.an=,nN*B.an=n(n-1),nN*C.an=n-1,nN*D.an=2n-2,nN*【解析】选C.当x0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,nN*,则f(n)=f(n-1)+1=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=f(x-x-1)+x+1,其中x代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-x-1)=x-x-1,其中-1<x-x-1<0,没有这样的x.所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,通项an=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列an满足:an=(nN*),若对任意正整数n,都有anak(kN*)成立,则ak的值为()A.B.2C.1D.4【解析】选A.an=,=,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n3时,2n2>(n+1)2,即当n3时,an+1>an,故数列an中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为(nN*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了()A.600天B.800天C.1000天D.1200天【解析】选B.由第n天的维修保养费为(nN*)元,可以得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为=+,当且仅当=时取得最小值,此时n=800,故选B.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.1和20B.9和10C.9和11D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+10(i-i)+10(i+1)-i+10(20-i)=10+=10(i2-21i+210).所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.(20xx·镇江模拟)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.【解析】因为y=xn+1(nN*),所以y=(n+1)xn(nN*),所以y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=,所以xn=,所以an=lgxn=lg=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.答案:-27.某厂生产微机,原计划第一季度每月增产台数相同,在生产过程中,实际二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,则该厂第一季度实际生产微机台.【解析】原计划第一季度三个月分别生产a1,a1+d,a1+2d台微机,现在实际上生产了a1,a1+d+10,a1+2d+25台.由题意得解得故第一季度实际生产微机台数是3a1+3d+35=305.答案:3058.数列an的前n项和为Sn,若数列an的各项按如下规律排列:,有如下运算和结论:a24=;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,是等比数列;数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,的前n项和为Tn=;若存在正整数k,使Sk<10,Sk+110,则ak=.其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列an中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于=,对于,注意到21=<24<=28,因此数列an中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=,因此正确.对于,设bn为中的数列的通项,则bn=,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于×=,因此不正确,正确.对于,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=,因此正确.综上所述,其中正确的结论有.答案:三、解答题9.(20xx·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n,证明:若an<bn,则s<t.【解析】(1)当q=2,n=3时,M=0,1,A=x|x=x1+2x2+4x3,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及an<bn,可得s-t=（a1-b1）+（a2-b2）q+（an-1-bn-1）qn-2+（an-bn）qn-1（q-1）+（q-1）q+（q-1）qn-2-qn-1所以,s<t.10.(20xx·洛阳模拟)在数列an中,a1=-5,a2=-2,记A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+a4+an+2(nN*),若对于任意nN*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)求数列|an|的前n项和.【解析】(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列,所以A(n)+C(n)=2B(n),整理得an+2-an+1=a2-a1=-2+5=3.所以数列an是首项为-5,公差为3的等差数列,所以an=-5+3(n-1)=3n-8.(2)|an|=记数列|an|的前n项和为Sn.当n2时,Sn=-+n;当n3时,Sn=7+=-n+14,【加固训练】已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式.(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1,进而得a1a3=-8,即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=±3.当d=3时,a1+3=-1,得a1=-4,此时an=-4+(n-1)×3=3n-7;当d=-3时,a1-3=-1,得a1=2,此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5.所以an的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.(2)d=3时,a2=-1,a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列;当d=-3时,a2=-1,a3=-4,a1=2,此时a2,a3,a1不是等比数列,故an=3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.方法一:当n2时,|an|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,故Sn=4n+×(-3)=-+;当n>2时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+an=(4+1)+2+5+(3n-7)=5+=-+10.所以Sn=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为Sn=方法二:设数列an的前n项和为Tn,则Tn=-.由于n2时,|an|=-an,所以此时Sn=-Tn=-+;当n>2时,Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=-+10.所以Sn=这个式子中n=2时两段函数值相等,故可以写为Sn=11.已知an是由正数组成的数列,a1=1且点(,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+,求证:bn·bn+2<+1.【解题提示】(1)由点在函数图象上即可得出an+1与an的关系,从而可写出通项公式.(2)结合(1)找出bn+1与bn的关系式,从而可得bn,然后利用作差法比较大小.【解析】(1)由已知,得an+1=an+1,得an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.(2)由(1),知an=n,从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.因为bn·bn+2-+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)=-5·2n+4·2n=-2n<0,所以bn·bn+2<+1.【方法技巧】数列与函数的综合一般体现在两个方面:(1)以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.【加固训练】已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式.(2)设Q=x|x=kn,nN*,R=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110<c10<115,求cn的通项公式.【解析】(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以Sn=n2+2n(nN*).当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.(2)因为Q=x|x=2n+2,nN*,R=x|x=4n+2,nN*,所以QR=R.又因为cnQR,其中c1是QR中的最小数,所以c1=6,因为cn的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(mN*).又因为110<c10<115,所以,解得m=27,所以c10=114,设等差数列cn的公差为d,则d=12,所以cn=6+(n-1)×12=12n-6,所以cn的通项公式为cn=12n-6.12.已知数列an中,a1=2,a2=3,其前n项和Sn满足Sn+2+Sn=2Sn+1+1(nN*);数列bn中,b1=a1,bn+1=4bn+6(nN*).(1)求数列an,bn的通项公式.(2)设cn=bn+2+(-1)n-1·(为非零整数,nN*),试确定的值,使得对任意nN*,都有cn+1>cn成立.【解题提示】【解析】(1)由已知,得Sn+2-Sn+1-(Sn+1-Sn)=1,所以an+2-an+1=1(n1).又a2-a1=1,所以数列an是以a1=2为首项,1为公差的等差数列.所以an=n+1.又bn+1+2=4(bn+2),所以bn+2是以4为首项,4为公比的等比数列.所以bn=4n-2.(2)由(1)知an=n+1,bn=4n-2,则cn=4n+(-1)n-1·2n+1,要使cn+1>cn成立,需cn+1-cn=4n+1-4n+(-1)n·2n+2-(-1)n-1·2n+1>0恒成立,即3·4n-3(-1)n-12n+1>0恒成立,所以(-1)n-1<2n-1恒成立.当n为奇数时,即<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值1,所以<1;当n为偶数时,即>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,所以>-2.结合可知-2<<1,又为非零整数,则=-1.故存在=-1,使得对任意nN*,都有cn+1>cn成立.【误区警示】遇到式子中含有(-1)n的问题时要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论,本题的易错点就是忘掉对n的奇偶性的讨论.【加固训练】已知等差数列an的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(nN*).(1)求p的值及an.(2)若bn=,记数列bn的前n项和为Tn,求使Tn>成立的最小正整数n的值.【解题提示】【解析】(1)方法一:因为an是公差为2的等差数列,所以Sn=na1+d=na1+×2=n2+(a1-1)n.又由已知Sn=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法二:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法三:由已知a1=S1=p+2,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=-,所以Tn=b1+b2+b3+bn=+=1-=.因为Tn>,所以>,所以20n>18n+9,即n>,又nN*,所以使Tn>成立的最小正整数n=5.13.某工厂年初用98万元购买一台新设备,第一年设备维修及燃料、动力消耗(称为设备的低劣化)的总费用12万元,以后每年都增加4万元,新设备每年可给工厂收益50万元.(1)工厂第几年开始获利?(2)若干年后,该工厂有两种处理该设备的方案:年平均获利最大时,以26万元出售该设备;总纯收入获利最大时,以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?【解析】(1)由题设每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列,设第n年时累计的纯收入为f(n).所以f(n)=50n-12+16+(4n+8)-98=40n-2n2-98.获利即为:f(n)>0,所以40n-2n2-98>0n2-20n+49<010-<n<10+,又nN,所以n=3,4,5,17.所以当n=3时,即第3年开始获利.(2)年平均收入=40-2（n+）40-4=12(万元),当且仅当n=,即n=7时等号成立.即年平均收益最大时,总收益为:12×7+26=110(万元),此时n=7.f(n)=-2(n-10)2+102,所以当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元,此时n=10.比较两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种方案.【加固训练】有一种零存整取的储蓄项目,在每月某日存入一笔相同金额,这是零存;到期可以提出全部本金和利息,这是整取,它的本利和公式如下:本利和=每期存入的金额×存期+×存期×(存期+1)×利率.(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月初存入100元,月利率为5.1%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1%,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月初应存入多少?【解析】(1)设每期存入的金额为A,每期利率为P,存期为n,则各期的利息之和为nAP+(n-1)AP+2AP+AP=,所以本利和为nA+=A(元).(2)到第12个月底的本利和为100=1597.8(元).(3)设每月初应存入x元,则有x=2000,解得x125.2.所以每月初应存入125.2元.关闭Word文档返回原板块
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