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第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求重难点击命题展望1.集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系(1)理解命题的概念；(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.6.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义；(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.本章重点：1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.本章难点：1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；2.充分条件、必要条件的判断；3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络1.1集合及其运算 典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合Aa1，a3，2a1，a21，若3A，求实数a的值.【解析】令a13a4，检验合格；令a33a0，此时a1a21，舍去；令2a13a1，检验合格；而a213；故所求a的值为1或4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求. 【变式训练1】若a、bR，集合1，ab，a0，b，求a和b的值.【解析】由1，ab，a0，b，得 或显然无解；由得a1，b1.题型二集合的基本运算【例2】已知Ax|x28x150，Bx|ax10，若BA，求实数a.【解析】由已知得A3，5.当a0时，BA；当a0时，B.要使BA，则3或5，即a或.综上，a0或或.【点拨】对方程ax1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(20xx江西)若集合Ax|x|1，xR，By|yx2，xR，则AB等于()A.x|1x1 B.x|x0C.x|0x1 D.【解析】选C.A1,1，B0,)，所以AB0,1.题型三集合语言的运用【例3】已知集合A2，log2t，集合Bx|x214x240，x，tR，且AB.(1)对于区间a，b，定义此区间的“长度”为ba，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t23，即log2t5，所以t32.(2)由x214x240，得2x12，所以B2,12，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)A的概率不小于0.6，所以0.6，所以y6，即log2t26，解得t28256.又AB，所以log2t12，即t2124 096，所以t的取值范围为256,4 096(或28, 212).【变式训练3】设全集U是实数集R，Mx|x24，Nx|1，则图中阴影部分所表示的集合是()A.x|2x1B.x|2x2C.x|1x2D.x|x2【解析】选C.化简得Mx2或x2，Nx|1x3，故图中阴影部分为RMNx|1x2.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号，和，的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用 认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想. (1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如AB，ABA，ABB等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若m，n都是奇数，则mn是奇数；(2)若xy5，则x3且y2.【解析】(1)逆命题：若mn是奇数，则m，n都是奇数，假命题； 否命题：若m，n不都是奇数，则mn不是奇数，假命题；逆否命题：若mn不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题. (2)逆命题：若x3且y2，则xy5，真命题；否命题：若xy5，则x3或y2，真命题；逆否命题：若x3或y2，则xy5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是()A.若p，则q B.若q，则pC.若q，则p D.若q，则p【解析】选 B. 题型二充分必要条件探究【例2】设m0，且为常数，已知条件p：|x2|m，条件q：|x24|1，若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【解析】设集合Ax|x2|mx|2mx2m，Bx|x24|1x|x或x.由题设有：qp且p不能推出q，所以pq且q不能推出p，所以AB.因为m0，所以(2m，2m)(，)，故由2m且2m0m2，故实数m的取值范围为(0，2.【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，则AB的充要条件是()A.0a2 B.2a2C.0a2D.0a2【解析】选A.因为Ax|a2xa2，Bx|x2或x4，且AB，所以如图，由画出的数轴可知，即0a2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列an的各项都不为零，求证：对任意nN*且n2，都有成立的充要条件是an为等差数列.【证明】(1)(充分性)若an为等差数列，设其公差为d，则()()()().(2)(必要性)若，则，两式相减得 a1nan(n1)an1.于是有a1(n1)an1nan2，由得nan2nan1nan20，所以an1anan2an1(n2).又由a3a2a2a1，所以nN*,2an1an2an，故an为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.【变式训练3】设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若xsin x1，因为x(0，)，所以xsin xxsin2x，由此可得xsin2x1，即必要性成立.若xsin2x1，由于函数f(x)xsin2x在(0，)上单调递增，且sin21，所以存在x0(0，)使得x0sin2x01.又x0sin x0x0sin2x01，即x0sin x01，所以存在x0(0，x0)使得x0sin2x01，且x0sin x01，故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p是q的充分条件，即pq，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：PQ，即PQ或PQ，必要条件正好相反.而充要条件pq就相当于PQ.4.以下四种说法表达的意义是相同的：命题“若p，则q”为真；pq；p是q的充分条件；q是p的必要条件.1.3简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.(1)xR，都有x2x1；(2)，使cos()cos cos ；(3)x，yN，都有xyN；(4)x0，y0Z，使得x0y03.【解析】(1)真命题，因为x2x1(x)2.(2)真命题，例如，符合题意.(3)假命题，例如x1，y5，但xy4N.(4)真命题，例如x00，y03，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p：xR，使tan x1，命题q：xR，x20.则下面结论正确的是()A.命题“pq”是真命题B.命题“pq”是假命题C.命题“pq”是真命题D.命题“pq”是假命题【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x，p是假命题；因为当x0时，x20，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“pq”是假命题，A错误；“pq”是真命题，B错误；“pq”是假命题，C错误；“pq”是假命题，D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：xR，x2x0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：xR，x22x20；(4)s：至少有一个实数x，使x310.【解析】(1) p：xR，x2x0，是假命题.(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3) r：xR，x22x20，是真命题. (4) s：xR，x310，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p：x(1，)，log3x0，则p为.【解析】x0(1，)，log3x00.题型三命题的真假运用【例3】若r(x)：sin xcos xm，s(x)：x2mx10，如果“对任意的xR，r(x)为假命题”且“对任意的xR，s(x)为真命题”，求实数m的取值范围.【解析】因为由msin xcos xsin(x)恒成立，得m；而由x2mx10恒成立，得m240，即2m2. 依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m且2m2， 故所求m的取值范围为m2.【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出，然后由r(x)为假命题(取A的补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x01)f(x0)f(1)成立.已知下列函数：f(x)；f(x)2x；f(x)lg(x22)；f(x)cos x，其中属于集合M的函数是(写出所有满足要求的函数的序号).【解析】.对于，方程1，显然无实数解；对于，由方程2x12x2，解得x1；对于，方程lg(x1)22lg(x22)lg 3，显然也无实数解；对于，方程cos(x1)cos xcos ，即cos x，显然存在x使等式成立.故填.总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.
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