中考数学《数列》专题复习分析与教学建议

中考数学数列专题复习分析与教学建议考情综述命题趋势分析从四川及全国各省市考题可以看出，近几年本章考查呈现以下特点：（1）题型与题量:通常保持一个小题，一个大题的题量，分值大致维持在1617分。（2）基本知识点考查：数列的概念、等差（比）数列的基本知识（通项、前n项和、性质）、数列基本求和方法仍是考查的核心；同时近几年数列与函数、不等式、解析几何的综合成为要注意的新趋势，这类题的难度一般都较大，是区分优差的题，复习时应谨慎选用。例如:(06湖南理19) 已知函数, 数列满足: , 证明 () ; () .(07四川理21) 已知函数f（x）=x24，设曲线yf（x）在点（xn，f（xn）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（），其中为正实数.（）用xx表示xn+1；（）求证：对一切正整数n，的充要条件是；（）若=4，记an=lg，证明数列成等比数列，并求数列xn的通项公式；（06重庆理22）已知一列椭圆。若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。（I）试证：;（II）取，并用表示的面积，试证：且 （3）递推数列问题：是近年来考查很频繁的内容，而且难度逐年加大，但纵观各年考题，可以看到，一般围绕两个内容考查。一是，递推列常见模型的考查；二是，归纳、猜想、数学归纳法证明的考查。因而，复习时需要对这部分给予足够的重视。高考题型层次归纳第一层次：基础知识的考查，重在考查学生对数列基本概念、等差（比）列基本公式和性质的掌握程度。 （一）数列的概念：（1）数列的定义 （2）数列的表示法 (3)数列的单调性的概念这部分内容是学生学好本章的基石，看似简单，其实有很多问题需要细致追究，复习时不可一笔略过。比如：数列满足，且数列是公比为2的等比列，求的通项公式。学生在解这类题时，往往不能正确写出数列的首项和其第n+1项。原因就是学生并未真正理解数列的定义，对n的含义不清晰。例1（1）数列中，有序实数对可以是 （ ）A.(21,-5) B.(16,-1) C. D.（考查数列的概念）(2)（07湖北）若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则 （ ）A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（考查数列的概念）(3)数列满足，则 （ ）A.1 B.-2 C.2 D.（考查数列的表示）(4)（07广东）已知数列的前项和，第项满足，则（ ）A9B8C7D6（考查数列的表示）(5)数列的通项公式是，则数列的最大项是 ( )A.第12项 B.第13项 C.第12项或第13项 D.不存在 （考查数列的单调性）（二）等差（比）数列的通项、前n项和公式：对文科生而言多数在大题中考查，对理科生而言多数在小题中考查。重在基本公式的记忆和基本运算能力的考查，复习中要做到让学生真正“过手”，训练到位，不可因为题目简单而只讲解解题思路。例2（1）（07四川）等差列an中，,其前项和,则=（）A、 B、 C、 D、（2）（07宁夏）已知是等差数列，其前10项和，则其公差（ ） （3）（07重庆）在等比数列中，a28，a564，则公比为（ ）A2 B3 C4 D8（4）（07湖南）在等比数列中，若，则该数列的前10项和为（） A B C D 这几个题不涉及等差（比）列的任何知识的灵活应用，只是公式的记忆和运算。例3（06北京）设等差数列的首项及公差都为整数。（1）若，求的通项；（2）若，求所有可能的数列的通项公式。解：（1）略 （2） 则 例4(07山东) 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列 （1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和例5（07全国）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和 这三个题仍然是对基本公式的考查，只是作为解答题，更突出了方程观点（消元化为一元方程）的应用。值得注意的是例3的第二问，消元思想的体现非常突出，学生在解答此题时往往不能有效消元，从而无法解决不等式组。（三）等差（比）数列的基本性质：教材中对性质得介绍比较零散，复习时首先应系统整理。等差数列的性质1、等距项性质:若，则特例（1）若,则；（2）三个数成等差数列（中项性质）2、子列性质（1）若成等差数列，则成等差数列；（2）成等差数列，公差为3、与有关的几个性质（1） 若项数为，则有 若项数为，则有 中间项，（2）设，为等差数列，前项和分别为，则等比数列的性质1 、等距项性质：若，则 特例：若，则. 三个数成等比数列（中项性质）2 、子列性质：（1）若成等差数列，则成等比数列；（2）成等比数列，公差为3 、成等比数列，则为等差数列；为等差数列，则成等比数列。例6（1）（07天津）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（） 2 4 6 8（2）（07江西）已知等差数列的前项和为，若，则_.（3）（07福建）等比数列中，则等于（ ） （4）（07宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）3 2 1 （主要考查等距项的性质）例7（1）（06全国）设是等差数列的前项和，若A、 B、 C、 D、（2）（07陕西文）等差数列an的前n项和为Sn，若（）A12 B18 C24 D42（3）（07陕西理）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则等于 （ ）A、80 B、30 C、26 D、16（4）（07湖北）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A、 B、 C、 D、（主要考查的有关性质，其中的第四题所用的性质值得关注）第二层次：在对基本知识理解的基础上，重在考查学生的数学基本技能和基本方法。包括：数列单调性的进一步理解；等差（比）列定义的进一步理解；等差（比）列求和公式的进一步理解；等差（比）列性质的综合应用；数列求和方法；【数列单调性的进一步理解】方法:(1) 利用数列所表示的函数的单调性，一般适用于该数列所表示的函数具有单调性 ；（2）用数列单调性的定义（即作差或作商比较与的大小）。例1（1）已知数列通项，且为递增列，则的范围是 分析：此题易错为得。错因就是函数不具有单调性。正确解答应是用数列单调性的定义，由恒成立，得变式：已知，则在数列的前30项中，最大项和最小项分别是第 项。分析:此题可利用函数的单调性质，画图求解。（2）已知数列通项，试求数列的最大项。分析：数列的最值取决于数列的单调性，但本题中不能方便地判断函数的单调性，故应用数列单调性的定义。例2数列的首项，前n项和与之间满足。（1）求证：数列是等差数列；（2）设，且对一切都成立，求k的最大值。分析：（1）易得 （2）由恒成立问题解法，需求数列的最小值。学生的问题是总试图求出的表达式，可事实上数列的表达式很难求得，从而只能应用数列单调性的定义解题，即作商比较与的大小。【等差（比）列定义的进一步理解】 学生可以容易理解（，为常数）和给出的是等差和等比列，但往往不知道如何判断数列是否为等差或等比列。原因是：第一，未明白等差（比）的定义本身就是一种递推关系，因而没有比较与的差或商的观念；第二，不能很好理解n作为变量的意义，从而不能正确写出与的表达式。 因而，复习中要注意帮助学生分析错因，突破难关，不可就事论事。例3中，数列，数列满足 (1)求证： 为等差数列；（2）求中的最大项和最小项。分析：验算与的差即可例4（07天津）在数列中，（1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和；（3）证明：不等式，对任意皆成立分析：验算与的商，学生在此往往不知道在那里寻找表达式。【等差（比）列求和公式的进一步理解】 形式上，等差列为 等比列为 实质上，（1）等差列的是没有常数项的二次函数；等比列的是形如的函数。 （2）等差列的来源于等距项性质，公式可以扩充为 等比列的来源于错位相减法，这是一个高考常考的知识点。例5（1）(07北京)若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项（2）已知数列的前项和，则（ ）A、 B、 C、 D、分析：由条件就应该判断出，此两题分别是等差列和等比列。例6（1）（04全国）等差数列中，a1a2a324，a18a19a2078，则S20（ ）A、160B、180C、200D、220分析：利用（2）（07江西文）设为等比数列，求最小的自然数，使； 求和：。分析：题一个典型的错位相减问题。例7(04湖南) 已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项和，a1，2，3成等差数列.（）证明：12S3，S6，S12-S6成等比数列；（）求和：Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2 分析：第一问中，若设，会给证明带来很多方便； 第二问是仍一个典型的错位相减问题。【等差（比）列性质的综合应用】 近年来看，多集中在等差、等比中项性质的应用上，同时在问题中涉及不等式、方程等知识的应用。例8 （1）（2006年湖北卷）若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则=（ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4（2）（07全国1理15）等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为 （3）（92全国）已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是_.例9、（07福建理）等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列例10、（05福建）已知是公比为q的等比数列，且成等差数列。（1）求q的值。（2）设 是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为，当时，比较与的大小。再看前面的例7的第一问，若注意观察目标中各项的下标的特点，借助性质“成等比数列，公比为”，会得到更好的解法：由已知易得，则 ，得证。【数列求和方法】知识体系：一、公式法1、数列是等差数列或等比数列，则直接用等差数列或等比数列的求和公式。（注意：等比列时分和的讨论）2、分组转化法：数列是由几个等差数列或几个等比数列的和、差组成的，则用分组转化法。二、错位相减法数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积组成的，则用错位相减法求和。（等比数列求和公式的推导过程的推广）三、裂项相消法 把数列的通项拆成两项的差，正负相消剩下首尾几项，求出和。通常数列的通项是分式时用这种方法。 最常见的是：是等差数列，则（其特点是：分母为等差列积，分子为常数）四、倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加。（通常、有公因式可提，用倒序相加法）(等差数列求和公式的推导过程的推广)五、其它1、与相关的求和问题：首先要明确的含义（1）是符号列，其特点是+0。求和时，常用此特点；（2）是等比列，自然可用等比列的求和公式。 2、分段数列的求和问题：一般有两类，（1）；(2) 这部分内容高考年年都有，而且解法相对固定，复习时重要的是分清各个方法的适用条件，即通项的结构特征。因而，复习时，应让学生明确“求和前，首先要去寻找通项的结构”。 在此只提及几个易忽略的问题。例11（倒序相加法）设数列为等差数列，求和：（nN*）（用a1，d表示） 应用：已知数列的前项和，是否存在等差数列，使对一切自然数均成立。变式：为等比数列，(用a1，q表示) 应用：（05天津卷）设,则 例12（与相关的求和）（1）（05天津卷）在数列an中, a1=1, a2=2,且，则=_ _. （2）数列的前n项和满足，又，求的前n项和。分析：此两题，用+0的特点解题较好。解题时，需注意对中的n分奇数、偶数加以讨论。例13（分段数列的求和）（1）数列满足：，且求及； 求数列的前项和。分析：，（2）（07福建）数列的前项和为，求数列的通项； 求数列的前项和分析：，求和时第一项应单独研究。第三层次：知识、技能、数学思想的综合应用本章主要涉及：1、函数思想的应用，等差（比）的通项与求和公式本来就是关于n的函数；2、数形结合思想的应用，数列是一种特殊的函数，其图象是一群孤立点，若能够确定数列的图象，就有可能用图象解题；3、等价转化思想的应用，应该说这是解决一切数学问题的通法。在本章中，突出表现在两个方面（1）递推数列问题；（2）“猜想归纳证明”的解题思想。4分类讨论的思想的应用，比如等比列求和时分和的讨论，分段列求和时分n为奇数和偶数。 在此，仅就三个常见题型作出说明。 【等差（比）列的函数理解】例1（1）设成等差数列，成等比数列，则与的大小是（ ）A B. C. D. （2）设等比数列的公比，且在前项中值最大的是27，求。【等差列的最值问题】解题思路：的单调性 函数思想，求得的表达式，利用二次函数知识； 比较的大小即找项的正、负分界，即利用是一次函数，找直线与x轴的交点。例2（1）在等差数列中，问此数列前几项的和最大。（2）等差数列中，,则公差的取值范围是 ； 时，最大。（3）等差数列中，则使取最小值的是（ ）A、5B、6C、7D、8分析：思路一、利用是二次函数 方法1、求出表达式，配方确定二次函数的对称轴； 方法2、借助的图象，确定二次函数的对称轴。 思路二、确定的正负分界点 方法1、确定的表达式，解不等式； 方法2、借助等距项性质，确定正负分界点。【等价转化思想的应用】例3、（07全国）设数列的首项（1）求的通项公式； （2）设，证明，其中为正整数分析：由递推列模型，可得，则； 解第二问时，若把通项代入，运算量太大，很难证得。考虑平方作差法，得，。于是问题转化为证。例4（05全国）设等比数列的公比为，前n项和。（）求的取值范围；（）设，记的前n项和为，试比较与的大小。分析：，则满足题设；时，解不等式。由于不等式中未知量较多，学生在此一般都无从下手。考虑“猜想归纳证明”的解题思想，取n1，2，3，可观察到应有，于是问题转化为判断当时，不等式成立。例5数列的前三项与数列的前三项对应相等，且对任意都成立。设数列是等差数列。（1）求数列与的通项公式；（2）是否存在，使得。说明理由。分析：（1） （2）令，因为无法化简，学生无从下手。 若取k1，2，3，4，5，可得， 从而问题转化为“”，而递增列 于是，。所以，满足题设得k不存在。复习建议 高三基本原则应是：以章节知识内容为载体，重在培养学生解决数学问题的能力，以学生对数学思想的领悟为最终目标。 复习中我们常常会发现，有些题型虽然反复训练，但仍然不满意，我们常会归罪于学生“过手”训练不足，而事实上这是学生的解题能力未达标的直接体现。因而，章节知识回顾只是复习工作的第一步，还需要认真做好后续的两件工作： （1）讲解时不仅讲清如何解题，更应讲透如何“破题”，即解题的切入点、转折点、关键点，当然还有应试的得分点； （2）讲解时不止于解出了题目，要进一步做好“解题反思”，即反思知识点、反思“破题”过程、反思解题过程、反思解题方法和思想。 一句话，复习不是立足重复，而应立足提高。 本章复习内容包括五个板块，依次说明如下。【第一板块：数列的有关概念】知识体系一、数列的定义：即函数，写成，简记作二、数列的表示：1。列表法 2。图象法：一群孤立点3。公式法：（1）通项公式法，；（2）递推公式法，已知且注：与关系：三、数列的分类1。依定义域分：有限列与无限列； 2。依值域分：有界列与无界列；3。依单调性分：摆动列、常数列 递增列，即，简记为 递减列，即，简记为 复习中，注意几点：（1）由数列的前几项猜测通项的题型不可轻易忽视，这种题型可以帮组学生很好地理解数列中n的变量含义。这是学习数列的起点，而且“猜想归纳证明”本就是一种重要的数学思想。如，（07湖南）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 图1图4 （06广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.（2）递推列的教学。此部分内容难度较大，学生不易掌握，可采用分散难度的方法。因而，在第一板块复习时，建议先复习几个基本模型，而且这几个模型在后续复习中会经常用到。 建议先复习三个：型(累加法) 型(累积法) 的常数）型(构造等比列法)（3）数列单调性的复习要格外重视。一方面讲清数列的单调性的判断方法“ 利用数列所表示的函数的单调性 ；用数列单调性的定义（即作差或作商比较与）。”同时，讲清方法的适用条件。【第二板块：等差数列】 知识体系一、 等差数列的概念递推定义：若（为常数），则数列叫做等差数列，叫做公差。二、 等差数列的基本运算1通项公式： ，一般地 2求和公式：说明：基本量法是解决等差数列问题的一个最重要的方法，即在五个基本量中“知三求二”，其中是最为关键的两个基本量；三、 等差数列与函数为等差数列说明：（1）若，则数列是从第二项开始的等差数列，公差为；（2）等差数列的前项和的最值。的单调性：函数思想； 比较的大小即找项的正、负分界。四、等差数列的判定方法1定义法：（常数） 2等差中项法：3函数思想： 为关于n的一次函数，为没有常数项的二次函数五、等差数列的性质1、等距项性质:若，则特例（1）若,则；（2）三个数成等差数列（中项性质）2、子列性质（1）若成等差数列，则成等差数列；（2）成等差数列，公差为3、与有关的几个性质（1） 若项数为，则有； 若项数为，则有中间项，（2）设，为等差数列，前项和分别为，则复习中，注意几点：（1）要由一个贯穿本板块主题思想，即解题思路：递推法，即分析前后两项间的关系；基本量法，即用表示已知和目标，从而由方程观点解题；性质法，即寻找题设及目标中数列下标的特点；函数思想。 复习中，切忌就事论事，只有知识没有方法。事实上，每一个问题都是在从不同的侧面体现着上述的解题思路。 同时，基本量法是最基本也最重要的方法，是一种通法，应重点复习。切不可为了寻找问题的巧妙解答，而削弱对基本量法的复习。（2）复习公式时，不可只要求学生记忆，还要复习公式的推导过程。公式推导过程的本身，就是对数学思想与方法的体现。 比如，公式，既可由猜想得到，也可由累和法推得；公式，倒序相加法推得。（3）等差数列的判断问题是一种重要题型，在近几年的考试中常有涉及，而且一般又与递推数列相关，复习时需重视。 这类题型，其解法相对固定，重要的是每个解法的适用条件，需要引导学生细细领悟。 定义法：当已知递推式，需判定数列是否为等差时，常用此法。如，数列中， ，数列满足(1)求证： 为等差数列；（2）求中的通项公式。中项法：多用于三项的判断或由递推列构造的问题（因为递推列中，才可能找到连续三项的关系）如，(06福建文) 已知数列满足（1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式；（3）若数列满足证明： 是等差数列。又如，设，数列的前n项和满足，求证：为等差数列 函数思想：当能确定出的通项公式时，多用此法。如，（06成都一诊）已知数列满足an2an12n1，且a481。（1）求a1，a2，a3； （2）是否存在一个实数，使得成等差数列【第三板块：等比数列】与等差数列的知识结构、解题思路、题型体系基本一致，在此就不再分析。【第四板块：数列求和】 知识体系（见前，略） 几点建议：（1）在熟记各方法“是什么”的基础上，要特别强调“怎样用”和“何时用”的问题。“怎样用”问题：要给学生规范示例，要求学生规范书写，比如，错位相减法求和时，就应要求学生做到三点“先写成的形式；写时前面写四项，后面写两项；最后结果必须化简”。“何时用”的问题：求和前，应强调所用方法的适用条件，即本题为什么能用此方法。（2）分段列求和是近年来出现的考题，要注意。学生在做此类问题时，虽然知道要分奇数和偶数讨论，但一般会在两处混乱，一是中的尾项是什么，二是奇数项和偶数项各多少个。因而复习时，务必强调这两个问题的理解。 复习时，可采用如下方式： n为偶数时，可设，则； n为奇数时，可设，则。（3）规范求和问题的思考程序。 第一步，明白什么是。其实，这是学生最大的缺陷，却往往被教师忽视。 比如，数列的关系式，。 学生并非不知道用解题，而是不能识别等式左边的表达式的含义，也就是不明白什么是。 第二步，确定通项的结构特点。 比如，等比数列的公比，求使成立的自然数的取值范围。 分析：学生的错误是，不先去确定数列是什么，而盲目对右边通分。第三步，根据的结构特点确定求和方法。 第四步，正确书写求和步骤。 【第五板块：递推数列】 本块内容难度较大，模型较多，不易掌握。第一轮复习时，可先基本模型，第二轮复习时再完善。具体而言： 第一类，累和（积）类。1型（变式：型）2型（变式：型）对原型学生较熟悉，两种变式接触较少，应留心。如，（07湖南）已知（）是曲线上的点，是数列的前项和，且满足，（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； （属于型）又如，数列中，a11，anan14n，求数列的前n项和Sn。 （属于型） 第二类，一阶线性非齐次类 1 的常数）型（变式：an1panr（p0，an0，p，r为常数） 2an1panf（n）型 其中，为第三类，混合数列型。此类问题高考考查最频繁，复习时应强调两点：（1）原则是“统一”，即化为或；（2）策略是“化Sn为an，或化an为”。 2007102815