例谈小学图形与几何部分的教学（一）

谈小学“图形与几何”部分的教学（一）“图形的认识”与“测量”的教学何雄燕一、课标对小学图形与几何内容教学的要求：课程标准把小学数学分为了数与代数、图形与几何、统计与概率和综合与实践四个领域（部分），其中，图形与几何部分又分为四块：图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置。其核心的目标是发展空间观念。本学期，我们探讨的话题是图形的认识与测量两块的内容。今天，我首先和大家谈谈图形的认识。一、图形的认识（一）课程标准对图形与认识教学的要求（见ppt）从表中可以看出，课标对图形认识的要求主要包括两个方面：（1）一是对图形自身特征的认识。例如：辨认、初步认识长方形、正方形的特征、探索长方形、正方形的周长、面积等。（2）对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。比如：三角形三边的关系、长方体、正方体的面、棱、顶点的关系等；点与直线之间的位置关系、直线与直线之间的位置关系等，小学阶段主要认识点与直线之间的位置关系、直线与直线之间的位置关系两种图形的位置关系。课标对图形的认识提出明确要求，那么，教材又是如何编排的呢？（编排见PPT） 从教材编排看，图形的认识内容主线主要有一下几条基本线索：一是从生活的实物抽象出图形到应用与生活。例如圆的认识，在第一学段通过观察生活中的现实模型，感知圆，然后从体中得到圆，再到第二学段，进一步通过观察生活中的圆，思考圆存在的道理，然后抽象出圆形，探究其特征。这一点教材和教师大都做得比较好，但反过来将图形及其特征运用到生活中去，重视的不够。二是从直观辨认图形到操作探索图形的特征。例如，长方形的认识，要求就有明显的层次，从辨认到初步认识特征再到探索并掌握周长、面积公式。这样从直观辨认到探索特征符合儿童的认知规律，我们在教学中一定要把握每个学段的目标，到位而不越位。三是从直线图形到曲线图形。在第一学段和第二学段初期，以学习直线图形为主，在这一阶段逐步渗透化归思想，将未知转化为已知的知识，运用已有的知识求解；到了第二学段中后期，运用这种化归思想，化曲为直探索不规则图形的特征，这种化曲为直的思想渗透，为第二学段后期曲线图形特征的探索奠定了基础，也为日后学习微积分思想打下了基础。四是从静态到动态。第一学段主要侧重于静态认识，第二学段侧重于动态认识。例如，认识长方形的轴对称性，知道绕长或宽旋转一周形成圆柱等等这些都丰富了对长方形的认识。正方体平移后的轨迹形成正方体，三角形绕其中一条高旋转一周便得到圆锥等等，这种动态的学习过程很好地促进了学生空间观念的发展,也使得知识在他们的头脑中具有整体性。从教材的整体看，是按“体面体”的混合螺旋编排结构的，这样的编排有以下好处： 第一、 分散难点 第二、 符合儿童生活经验和认知规律。（这里我就不展开来说）教材这样的编排，是否符合学生的学习心理呢？在儿童的不同学段，形象思维的发展是有层次，荷兰数学家范希尔夫妇对学生几何思维水平的研究说明了从直观辨认到探索特征是儿童的对图形的形象思维规律。他们将学生的图形认知水平主要分为五级：水平1：直观化；水平2：描述/分析；水平3：抽象/关联；水平4：演绎/形式化推理；水平5：严密/元数学。一二三水平在小学体现，四五水平是在中学体现的。这和我们课标的要求也是一致。因此，图形认识的教学要先明确两点：一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前后继知识各是什么；二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶段，要通过你的教学达到什么阶段。例如：指认圆柱的高空间知觉（表象的基础）空间观念（表象的形成） 空间想象（表象的改造）三种水平既递进发展，又交错共存那么，怎样通过图形的认识教学，培养学生的空间观念？第一、通过对实物的观察与操作认识图形第一学段要求 “ 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 、 “ 通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征 ” ；第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ” 等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球 都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以从认识立体图形开始， “ 通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 。 “ 辨认 ” 是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ” 。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有 “ 直线 ” 的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有 “ 线段 ” 的实物原型。类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。这一环节，我们带着问题来看一看，余振兴老师的课上是如何来认识图形的位置关系，发展学生的空间观念的。第二、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念比如四年级下册的搭一搭。是 “ 视图和投影、展开与折叠 ” 等内容。视图和投影，这部分在课标上有两个要求。第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，这是辨认。很多教材里面是这样，有的是拿个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转化的过程，这两个阶段的目标要达到，就为第三学段的正式的视图和投影打下比较好的基础。“折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个做法现在要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程本有什么实际意义呢？这是让孩子们认识到，立体图形的结构和展开图之间的这种对应关系。怎么让他来认识这个对应关系呢？例如，“正方体展开图”课例。通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果；也可以不折，先想一想，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，三维和两维之间的这样一种关系，也就是对应关系。“ 认识长方体、正方体和圆柱的展开图 ” ，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。加下来简单谈一谈测量的教学，这部分内容重点是观课名师如何来教学测量，我们可以从中学到什么？二、测量（一）课标对图形与认识教学的要求（见PPT）课标主要从三个维度来要求学习测量，一维图形的大小长度，二维图形的大小面积，三维图形的大小体积。二、教材的编排（见PPT）从教材的编排看，二维图形大小的认识，是以一维为基础的，三维图形大小的探索是在一维、二维图形大小认识方法和手段的基础上进行的，对于三维、二维图形大小的计算最终又回归到一维的长度计算，即由数体积单位的个数或面积单位的个数变成了三个长度单位的数量相乘或两个长度单位的数量相乘得到相应图形的大小，回归测量的本质，体现了数学测量的统一性。关于测量的内容的教学应该从哪些方面进行，上一次提到很多，这里不再一一赘述。接下来只是建议大家，在测量教学中应该关注以下几个核心的理念：1. 使学生体会建立统一度量单位的重要性；2. 使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟；3. 在具体的问题情境中恰当地选择度量单位、工具和方法进行测量；4. 重视估测及其简单应用；5. 帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养空间观念。最后，下面请大家带着这样几个问题，观看河北名师牛献礼老师讲的认识面积一课。