3K 型直齿行星齿轮传动动态特性分析 1

精品论文推荐3K 型直齿行星齿轮传动动态特性分析 1宋轶民，王世宇，刘建平，张君，张策天津大学机械工程学院，天津（300072）摘要：为了揭示 3K 型均布直齿行星齿轮传动的振动规律，本文建立了该系统的平移扭 转耦合模型。模型中计入了时变啮合刚度和陀螺效应等因素，且每个构件均有三个自由度。经归纳分析，本文揭示了 3K 行星齿轮传动的三种典型振动模式：扭转振动模式、平移振动 模式和行星轮振动模式，并给出了不同振动模式下行星传动的运动特征。关键词：3K 型行星传动；动力学模型；固有特性-11-0. 前言行星齿轮传动具有传动比大、结构紧凑 和承载能力强等优点，广泛应用于航空、舰 船、汽车以及其它领域。在某些重要应用中， 振动和噪声是需要着重考虑的因素，有时甚 至成为影响系统的可靠性、使用寿命和操作 环境的关键因素。例如，在武装直升机中， 仅由行星传动产生的噪声就已经超过100 分 贝4，成为主要的噪声源。振动和噪声严重 影响了飞机的隐蔽性和战斗力。为了提高行星传动的动态性能，需要对 其进行深入的动态特性分析。其中，建立行 星传动模型是关键步骤之一。在现有文献 中，涉及 3K 行星传动动力学研究的文献相 对较少。文献1以 3K-2 型微行星齿轮传动 为对象，研究了该行星传动的设计与制造问 题。许多文献均以 2K-H 行星传动为研究对 象25，建立了集中参数模型。通常，集中 参数模型可分为直齿与斜齿两种具体模型。 按振动形式划分，前者又可分为直齿纯扭转 模型和直齿平移扭转耦合模型4。纯扭转 模型计入的因素较少，模型精简，适用于存 在反复迭代、运算量较大的动态设计场合； 而平移扭转耦合模型是一种精细化模型， 形式较复杂，多用于理论分析。本文计入了时变啮合刚度和陀螺效应1. 3K 行星传动平移扭转耦合 模型为了建模方便，本文对传动系统进行适 当简化，并提出如下假设： 采用集中参数模型，且各行星轮的质量 和转动惯量分别相等； 构件的支承刚度为常值，而时变啮合刚 度按矩形波规律变化7； 每个构件均有三个自由度：绕自身轴线 的旋转运动和沿与轴线垂直的两个正交 方向的平移运动； 双联齿轮与齿轮轴为刚性联接的整体； 各齿轮均为标准直齿轮。 在固定坐标系中，行星传动各构件的转动关系较复杂，建模和描述相对较难。为此， 本文采用系杆随动坐标系，即将坐标原点置 于系杆的几何形心处，且令坐标系以系杆的 理想转速随系杆匀速转动。如图 1 所示，将3K 行星传动从双联齿轮轴处截断，分别从 左侧观察，建立相应部分的平移扭转耦合 模型，如图 2 所示。图中，下标 c、r1、r2、s 和 p 分别表示 系杆、内齿圈 1、内齿圈 2、太阳轮和行星轮。(o x, y) 为动坐标系，其坐标原点 O 位于系杆的理论安装中心，且坐标系以系杆的理想角速度 c 绕系杆的理论安装中心匀速等因素的影响，在系杆随动坐标系下建立了3K 直齿行星齿轮传动的平移扭转耦合模 型，并研究了该系统的动态特性。转动。1.本课题得到教育部高校博士点基金资助项目(20040056018)和国家自然科学基金资助项目(50705062)的资 助。kiu 中心构件的周向支承刚度（ i = c, r1, r2, s ）ksn 太阳轮与行星轮 n 的外啮合刚度krin 内齿圈 i 与行星轮 n 的内啮合刚度（ i = 1, 2 ）xi 构件在 x 轴方向的位移（ i = c, r1, r2, s, 1, 2, , N ）yi 构件在 y 轴方向的位移（ i = c, r1, r2, s, 1, 2, , N ）ui 构件的扭转线位移（ i = c, r1, r2, s, 1, 2, , N ）图 1 3K 传动简图分解示意1.1 构件相对位移分析假定当齿面受压时相对位移为正。将各 构件之间的相对位移向啮合线方向投影，如图 3 所示。(a) 行星传动左侧计算模型(a) 各构件相对位置(b) 行星轮与系杆相对位置 图 3 各构件相对位移为了方便叙述，分别令(b) 行星传动右侧计算模型= s sn n= r+ rnn(1) (2)图 2 3K 型直齿行星传动的平移扭转耦合模型n 行星轮的序号（ n = 1, 2, , N ） n 第 n 个行星轮轴心与坐标原点连线和 x 轴方向的夹角， n = 2 ( n 1) / Nkpn 行星轮轴轴承支承刚度kij 中心 构件的 横向支 承刚度（ i = c, r1, r2, s ，j = x, y ）式中s 为太阳轮与行星轮的啮合角（外啮合角，本模型中即为齿轮分度圆压力角），r为内齿圈与行星轮的啮合角（内啮合角，本模型中即为齿轮分度圆压力角）。 经分析可知，各构件之间的相对位移分别为：ns 太阳轮与行星轮 n1 的相对位移沿啮( x 2 y Nm 2 x ) k + k x = 0c c c c c c pn cnx cx c合线方向的投影为n =12N= ( xssnssn n x ) sin+ ( y y ) cos+ u + u (3mc ( y c + 2c x c c yc ) kpn cny + kcy yc = 0nsnrn)+ u 行星轮 n1 与内齿圈 1 的相对位移沿( I/ r 2) u N k n =1+ k u = 0啮合线方向的投影为c c cpnn=1cnucu c(11)= ( xr1rnr1r1n n x ) sin+ ( y y ) cosr1 n 内齿圈 1 运动方程n(4) (2N2 )sin u 行星轮 n2 与内齿圈 2 的相对位移沿mr1 x r1 c y r1 c xr1 kr1n r1nn =1 rn + kr1x啮合线方向的投影为m ( y2 x 2 y )Nk cosk = ( x x ) sin+ ( y y ) cos+ u rp2 u r12 r1 +c r1 Nc r1+ n =1r1nr1nrn + rr2n nr2rnr2 nrnr1 nrp1( Ir1 / rr1 ) u r1 + kr1n r1n + kr1u ur1 = 0(5)式中， r 和 r 分别为行星轮 n 和行星轮 nn =1(12)p1 p21 2 内齿圈 2 运动方程的基圆半径。N 行星轮轴与系杆的相对位移沿 x 、mr2 ( x r2 2c y r2 c xr2 ) kr2n r2n sin rn +y 和 u 方向的投影分别为c m ( y+ 2 x 2 yn =1N) +k cos2ncny c n c nc c ccnx= x+ x + u sin(6)r2 r2cc r2Nc r2n =1r2nr2n rncnu c n n n c nc= y + y u cos(7)( r2r2 ) r2 r2nr2nr2u r2r r2n= ( x x ) sin + ( y y ) cos u(8) I / r 2u +k n =1+ k u= T/ r(13)n 行星轮轴与系杆的相对位移沿 x 和 太阳轮运动方程Nyn 方向的投影分别为m ( x 2 y 2 x ) k sin+ k xxn n c cn = x x + u sinyn n c c n = y y u cos(9) (10) s s c s c s () sn snn =1Nsn sx sm y + 2 x 2 y+k cos+ k ys s c s c s sn snn =1Nsn sy s1.2 系统运动方程( I/ r 2 ) u +k + k u= T / r假定 3K 型直齿行星传动的内齿圈 1 固s s sn=1sn snsu s s s(14)定，太阳轮、内齿圈 2 分别为输入、输出端。输入扭矩为Ts ，负载为Tr 。系杆、内齿圈 1、 行星轮运动方程内齿圈 2、太阳轮和双联行星轮的质量分别m ( x 2 y 2 x ) + k sin pnc n c nsn sn sn为 mc 、 mr1 、 mr2 、 ms 和 mp ，其转动惯量分+kr1nr1nsin rn+ kr2nr2nsin rn+ kpn xn = 0m ( y + 2 x 2 y) k cos别为 Ic 、 Ir1 、 Ir2 、 Is 和 Ip 。依据牛顿第二 p nc n c nsn sn sn定律可建立如下运动方程：kr1n r1n cos rn kr2n r2n cos rn + kpn yn = 0p p1n 系杆运动方程( I/ r 2 ) u + ksnsn kr1n r1nrp2krp1r2n r2n= 0(15)式中 rj 为内齿圈 1、内齿圈 2、太阳轮及各行星轮的基圆半径（ j = r1, r2, s, p1, p2 ），rc为行星轮轴心到系杆几何形心的距离。整理以上各式，可得矩阵方程2各齿轮参数满足 3K 行星传动的同心条件、8Mq + cGq + K b +K m -c Kq = T (16)装配条件与邻接条件。为简化计算，取各式中 q= x , y , u , x , y , u , x , y , u, x , y ,行星轮处内、外啮合刚度分别相等，其数值c c c r1r1 r1r2 r2Tr2 ss为时变啮合刚度的均值；同时假定各行星轮x1 , y1 , u1 , x2 , y2 , u2 , xN , yN , uN 为系统的广轴轴承支承刚度相同，且系杆角速度较小，义坐标， M 、G 、 K b 、 K m 、 K 和T 分别为系统的广义质量矩阵、陀螺矩阵、支承刚 度矩阵、啮合刚度矩阵、向心刚度矩阵和外 激励列阵（详见附录）。2. 固有特性分析文献4采用归纳方法，通过调整行星轮 的个数，反复求解系统的固有频率方程，然 后分析所得振型中构件的运动特征，将2K-H 直齿行星传动的振动模式归结为扭转 振动模式、平移振动模式和行星轮振动模 式。本文采用归纳方法分析了 3K 行星齿轮 传动的固有特性。表 1 为 3K 行星传动的基本参数。其中，科氏力、离心力均可忽略。因此，式(16)可 简化为：Mq + K b +K m q = T (17)通过求解特征值问题9 即可获得系统的各阶固有圆频率与振型。设i 为系统的第i c r1 r 2 s 1 2i 阶固有圆频率， = i , i , i , i , i , i , i T (i = 1, 2, , 3N + 12) 为与之对应的振型Nj jx jy ju型，且 i = i , i , i ( j = c, r1, r 2, s, 1, 2, ,N ) 。 i 的元素为系统各构件在广义坐标上的相对振幅。具有不同行星轮个数的 3K 行星传动的各阶固有频率如表 2 所示，表 3 为 归纳得到的三种典型振动模式。表 1 3K 型直齿行星齿轮传动基本参数基本参数系杆内齿圈 1内齿圈 2太阳轮行星轮 1行星轮 2齿数8481243027模数（mm）33333质量（kg）10.266.756.271.761.58转动惯量（kgm2）0.03000.02170.01940.001090.00176径向支承刚度（Nm-1）1.01081.01081.01081.01081.0108周向支承刚度（Nm-1）01.0109000分度圆压力角（）20内外啮合刚度最小值（Nm-1）4.17108内外啮合刚度最大值（Nm-1）6.25108行星轮个数3 或 4表 2 系统固有频率（Hz）0.0524.2Nm=1m=2m=N-31219.2682.660.0534.571603.211561226.21216.3681.4542214.71537.94562.71477.61155.77159.82192729432208.81457.79027.95847.46407.21925.1102547742.88179.59600.95568.37623.5m 为固有频率的重根数表 3 三种典型振动模式的各构件振型振型坐标扭转模式(1219.2Hz)平移模式(524.2Hz)行星轮模式(1226.2Hz)cx cy cur1xr1yr1ur2xr2yr2usxsysu1x1y1u2x2y2u 3x3y3u4x4 y4u0.0000-0.01180.00000.0000-0.37590.00000.09520.00000.00000.00000.12600.00000.0000-0.27040.00000.04670.00000.00000.00000.10630.00000.0000-0.27020.00000.04810.00000.00000.0000-0.09510.00000.0000-0.16570.0000-0.00690.00000.00000.4567-0.0184-0.46990.0314-0.2695-0.00240.1924-0.0573-0.1708-0.0314-0.0046-0.00240.4567-0.46100.46990.1924-0.18850.1708-0.4567-0.01840.4699-0.0314-0.26950.00240.19240.0573-0.17080.0314-0.00460.0024-0.4567-0.4610-0.46990.19240.18850.1708(a)(b)(c)(d)(e)(f)图 4 3K 直齿行星传动三种典型振动模式3. 结论本文研究了 3K 型直齿行星齿轮传动的 动态特性。所得结论如下： 研究结果表明，该行星传动存在三 种典型振动模式：扭转振动模式、平移振动 模式和行星轮振动模式。在扭转振动模式 下，各中心构件仅作扭转振动，各行星轮沿 系杆径向和切向的振动状态相同，且与之相 关的固有频率均为单根。在平移振动模式 下，各中心构件仅作平移振动，且与之相关 的固有频率的重根数为 2。在行星轮振动模 式下，中心构件不振动，仅行星轮在振动，图 4 为三种振动模式的振型（为表达清晰，没有绘出系杆振动后的位置，图中的虚 线为构件的初始位置，实线为构件振动之后 的位置，实线段为构件振动之后的横轴线）。 其中，图 4(a)(c) 为行星传动的左侧，图4(d)(f)为行星传动的右侧。行星传动的三种 典型振动模式依次为扭转振动模式（图4(a)(d)）、平移振动模式（图 4(b)(e)）和行 星轮振动模式（图 4(c)(f)）。三种振动模式 的特征为： 扭转振动模式：各中心构件 仅作扭转振动，且各行星轮沿系杆径向和切 向的振动状态相同；与之相关的固有频率均 为单根。 平移振动模式：各中心构件仅作平移振动；与之相关的固有频率的重根数为 2。 行星轮振动模式：中心构件不振动， 仅行星轮振动；与之相关的固有频率的重根数为 N 3 。与之对应的固有频率的重根数为 N 3 。 3K 行星传动将随行星轮个数的不同而呈现不同的振动模式。若行星轮个数小于 或等于 3，则仅表现出扭转振动模式和平移 振动模式。若行星轮个数大于 3 时，将表现 出上述三种典型的振动模式。参考文献1 张卫平，陈文元基于 LIGA 技术的 3K2 型 微行星齿轮减速器的设计和制造J中国机械工 程，2003，14(5)：3743762 Botman. M. Epicyclic gear vibration，Journal ofengineering for industry, 1976: 811815.3 KAHRAMAN A. Natural modes of planetary gear trainsJ. Journal of Sound and Vibration, 1994,173(1): 125130.4 LIN J, PARKER R G. Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibration J. Journal of vibration and acoustics, 1999,121(3): 316321.5 王世宇基于相位调谐的直齿行星齿轮传动动 力学理论与实验研究D天津：天津大学，2005 6 杨通强斜齿行星传动动力学研究D天津： 天津大学，20037 LIN J, PARKER R G. Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness variationJ, Journal of Sound and Vibration, 2002, 249 (1)A:129145.8 颜思健，韩翠蝉渐开线齿轮行星传动的设计与制造M北京：机械工业出版社，20029 方同，薛璞振动理论及应用M西安：西 北工业大学出版社，1998Dynamic Characteristics of 3K Spur Planetary GearsSong Yimin, Wang Shiyu, Liu Jianping, Zhang Jun, Zhang CeSchool of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin (300072)AbstractThis work develops a translational-rotational coupling model of 3K spur planetary gears, and uses it toinvestigate their dynamic response. This model admits three degrees of freedom for each of the sun, rings, carrier and planets. It includes key factors affecting planetary gear vibration such as time-varying stiffness and gyroscopic effects. The three types of vibration modes of the system, i.e., rotational modes, translational modes, and planet modes are discovered based on the natural characteristics analysis. And the unique properties of these vibration modes are presented in detail.Keywords: 3K planetary gears; Dynamic model; Natural characteristicsM = diag ( Mc , M r1, M r2附录, Ms , M1 , , M N )M = diag (m , m , I/ r 2 ) ， j = c, r1, r2, sp p p pj j j j j(1 )M j = diagm , m , I / r 2， j = 1, NG = diag (G , G , G, G , G , , G )cr1 02m jr2 s 1 N0 G j = 2m j00 ， j = c, r1,r2, s000 02mp0 G j = 2mp00 ， j = 1, N000K = diag mc , mc , 0, mr1 , mr1 , 0, mr2 , mr2 , 0, ms , ms , 0, mp , mp , 0, , mp , mp , 0 N K b = diag K cb , K r1b , K r2b , Ksb , 0, , 0 N KK000K jb = diag (k jx , k jy , k ju ) ， j = c,r1,r2, sn 1 2 N K c1000K c2K c2K c2 n r111KKKr122r12N KK Nr12 00nK0r211r222K2ppr22 K N 0r22 c2KK = 000n 1KKs2s1 s2s2 s2 m ( K 1 )T( K 1 )T( K 1 )T( K 1 )T K 100 c2r12r22s2 pp ( K 2 )T2 T( K )r122 Tr22( K 2 )T 2K( K )c2( K )s20pp #% 0 ( K N )TN T( K )r12N Tr22( K N )T00N 10 sin n n K c1 = kpn 1cos n sym1 1 00n K c2 = kpn 01 0sin nsin 2 cos n sin0cos sin rn rn rn rnK n = k cos2 cosr11r1n rn rn sym1 rn sin 2 sin rncos rnsin rn Knr12rn= kr1n sym cos2 cos1rn sin 2 sincos sin rn rn rn rnK n = k cos2 cosr21r2n rn rn sym1 rn sin 2 sin rncos rnrrrnp 2 sinp1 rnrKnr22= ksinr2n rncos rn cos2 p 2 cosrp1rn r rn sin cos rnp 2 rp1 snsin2 sin sncos sn sin sn s1K n = ksn cos2 cossnsn sym1 sn sin2 sin sncos sn sin sn s2snK n = ksincos sn cos2 cossnsn sn sin sn cos sn 1 K n = K n + K n+ K n+ K nppc31r13r23 s3n K c3 = kpn 1rn0sin 2 sin rncos rn sin rn Knr13rn= kr1n cos2 cosrn sym1 r sin 2 rn sin rncos rn p 2 sinrp1rnrrn Knr23 = kr2n sin rncos rncos2 p 2 cosrp12rn rr r p 2sin rncos rn= p 2 p 2sn rr r p1snsin 2 sin snp1cos snp1sin sn s3K n = ksn cos2 cossn sym1