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定义定义 1 在在n阶行列式阶行列式D中任中任取取k行行( (第第kiii,21行行) )k列列( (第第kjjj,21列列) )，nk 1. .位于这些行和列的位于这些行和列的交叉点上的元素按原来交叉点上的元素按原来相应相应的位置组成一个的位置组成一个k阶行列式阶行列式N，称为行列式，称为行列式D的一个的一个k阶阶子式子式 在在D中中划划去去这这 k行行k列列后后余余下下的的元元素素按按原原来来相相应应位位置置组组成成的的kn阶阶行行列列式式 M，称称为为子子式式N的的余余子子式式 称称Mkkjjjiii)()(2121) 1(为为N的的代代数数余余子子式式 例例 1 在四阶行列式在四阶行列式 3100120012104121D 选选定定第第一一、三三行行，第第二二、四四列列得得出出一一个个二二阶阶子子式式21042N N的的代代数数余余子子式式为为0) 1()42()31(MM N的的余余子子式式为为 01020M 定理定理 1 1（拉普拉斯定理拉普拉斯定理） 设在行列式设在行列式D中任意取定中任意取定) 11 (nkk行由这行由这k行元素所组成的一切行元素所组成的一切k阶子阶子式与它们式与它们相应相应代数余子式的乘积之和等于行列式代数余子式的乘积之和等于行列式D 称称对对行行列列式式 D应应用用拉拉普普拉拉斯斯定定理理为为将将行行列列式式D按按某某k个个行行展展开开 假假如如把把行行换换成成列列，则则称称将将行行列列式式D按按某某k个个列列展展开开 例例 2 计计算算五五阶阶行行列列式式 5100065100065100065100065D. 解解 在在D的前二行中，所有二阶子式共有的前二行中，所有二阶子式共有 10 个，但其中只有个，但其中只有三个不为零，它们是：三个不为零，它们是： 1951651N，3061052N，3665063N 它它们们的的代代数数余余子子式式分分别别是是： 65510651065) 1()21 ()21 (1A， 根据拉普拉斯定理根据拉普拉斯定理，得得 665332211ANANAND 19510650061) 1()31 ()21 (2A， 0510650060) 1()32()21 (3A 例例 3 计算计算n2阶行列式阶行列式 行行nnababbabaD， 其中行列式中空白处元素均为零其中行列式中空白处元素均为零 解解 先按第先按第 n，1n行展开行展开，得得 行行11nnababbabaabbaD 再再将将上上式式右右边边的的22 n阶阶行行列列式式，按按第第 1n，n行行展展开开，得得 行行22nnababbabaabbaabbaD 继续这样进行，最后可得继续这样进行，最后可得 行行nnababbabaDnnbaabba)(22 两个特例情形：两个特例情形：mmmmnnnnmnmnmmmmmmnnnnbbbbaaaaccbbccbbaaaa11111111111111111111) 1(0000 mmmmnnnnmmmmnmmnnnnnbbbbaaaabbccbbccaaaa111111111111111111110000 定定理理 2 2( (行行列列式式乘乘法法公公式式) ) 设设 nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 ， nnnnnnbbbbbbbbbD2122221112112 则则 nnnnnncccccccccCDD21222211121121， 其其中中 njinjijiijbababac2211，nji, 2 , 1, 证明证明 例例 4 试试计计算算下下列列行行列列式式的的平平方方，从从而而求求出出D abcdbadccdabdcbaD. 解解 首首先先，根根据据行行列列式式的的性性质质，DDT， abcdbadccdabdcbaabcdbadccdabdcbaDDDT2 其其次次， 2222222222222222000000000000dcbadcbadcbadcba 42222dcba， 所所以以22222dcbaD abcdbadccdabdcbaD 由由于于D中中主主对对角角线线上上的的元元素素都都是是a，按按行行列列式式的的定定义义知知，4a这这项项前前面面的的符符号号为为正正，因因此此 22222dcbaD 本本节节完完 定定理理 2 证证明明 作作一一个个n2阶阶行行列列式式 nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbaaaaaaaaaD212222111211212222111211100010001000000000 一一方方面面，由由拉拉普普拉拉斯斯定定理理， 21DDD 另另一一方方面面，将将第第1n行行的的11a倍倍，第第2n行行的的12a倍倍， ，第第n2行行的的na1倍倍都都加加到到第第一一行行，得得 nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbaaaaaacccD212222111211212222111211100010001000000000 再再依依次次将将第第1n行行的的), 3 , 2(1nkak倍倍，第第2n行行的的2ka倍倍，第第n2行行的的kna倍倍加加到到第第k行行，就就得得 nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbcccccccccD212222111211212222111211100010001000000000 Ccccccccccnnnnnnnnnnn100010001) 1()21()21 (212222111211 用用拉拉普普拉拉斯斯定定理理 证证毕毕
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