高考数学复习:第九章 :第六节数学归纳法回扣主干知识提升学科素养

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+2019年数学高考教学资料+第六节数学归纳法1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题来源:数理化网1数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示对于不等式n1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n1时,11,不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时,不等式成立,即k1,则当nk1时,(k1)1.当nk1时,不等式成立上述证明过程是否正确?为什么?提示:不正确从nk到nk1的推理不正确,没能利用当nk时的假设 1在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时,第一步检验n等于()A1 B2 C3 D0解析:选C因为凸边形的边数n3,所以第一步检验n3.2若f(n)1(nN*),则f(1)为()A1 B.C1 D非以上答案解析:选Cf(n)1,f(1)11.3某个命题与自然数n有关,若nk(kN*)时命题成立,那么可推得当nk1时该命题也成立,现已知n5时,该命题不成立,那么可以推得()An6时该命题不成立 Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立 Dn4时该命题成立解析:选C因为当nk(kN*)时命题成立,则当nk1时,命题也成立现n5时,命题不成立,故n4时命题也不成立4(教材习题改编)用数学归纳法证明11),第一步要证的不等式是_解析:当n2时,左边为11,右边为2.故应填12.答案:10),其中r为有理数,且0r1,(1)已知当x(0,)时,有f(x)f(1)0,试证明如下命题:设a10,a20,b1,b2为正有理数,若b1b21,则a1b1a2b2a1b1a2b2;(2)请将(1)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题解题指导(1)对于不等式的证明要注意利用已知条件进行突破;(2)本问数学归纳法的运用相对而言难度高,运算量大,在归纳证明时一要细心运算,二要注意假设条件的恰当运用来源:解(1)由已知,当x(0,)时,有f(x)f(1)0,即xrrx(1r)若a1,a2中有一个为0,则ab11ab22a1b1a2b2成立若a1,a2均不为0,由b1b21,可得b21b1,于是在中令x,rb1,可得b1b1(1b1),即ab11a1b12a1b1a2(1b1),亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上,对a10,a20,b1,b2为正有理数,且b1b21,总有ab11ab22a1b1a2b2.来源:(2)(1)中命题的推广形式为:设a1,a2,an为非负实数,b1,b2,bn为正有理数若b1b2bn1,则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn,用数学归纳法证明如下:a当n1时,b11,有a1a1,成立b假设当nk时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,且b1b2bk1,则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时,已知a1,a2,ak,ak1为非负实数,b1,b2,bk,bk1为正有理数,且b1b2bkbk11,此时0bk10,于是ab11ab22abk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1a1a2ak1bk1abk1k1.因为1,由归纳假设可得a1a2akaa2ak.从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因为(1bk1)bk11,由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1,从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时,成立由a,b可知,对一切正整数n,所推广的命题成立 名师点评解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时要特别关注:一是需验证n1,n2时结论成立,易忽略验证n2;二是需要熟练掌握数学归纳法几种常见的推证技巧,才能快速正确地解决问题除此外,应用数学归纳法时,以下几点容易造成失分:1把初始值搞错;2在推证nk1时,没有用上归纳假设;3对项数估算的错误,特别是寻找nk与nk1的关系时,项数发生的变化被弄错数列xn满足x10,xn1xxnc(nN*)(1)证明:xn是递减数列的充分必要条件是c0;来源:(2)求c的取值范围,使xn是递增数列解:(1)证明:先证充分性,若c0,由于xn1xxncxncxn,故xn是递减数列;再证必要性,若xn是递减数列,则由x2x1,可得c0.(2)()假设xn是递增数列由x10,得x2c,x3c22c.由x1x2x3,得0c1.由xnxn1xxnc知,对任意n1都有xn0,即xn1.由式和xn0还可得,对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式,得xn(1)n1(x1)(1)n1,xn1和 xn(1)n1两式相加,知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质,得210,c,故0c.()若00,即证xn 对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时,xn对任意n1成立(i)当n1时,x10,结论成立(ii)假设当nk(kN*)时结论成立,即xn.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增,所以xk1f(xk)f(),这就是说当nk1时,结论也成立故xnxn,即xn是递增数列由知,使得数列xn单调递增的c的范围是.高考数学复习精品高考数学复习精品
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