一古埃及的数学(二)

古埃及的数学一、自学目标：通过自学本节内容，了解古埃及数学的成就，体会古埃及数学的特点。二、自学内容提炼（一）知识梳理：古埃及数学的五大方面：1、计数法：记数法一一以 为基数的 文字Egyptian numeral hieroglyphs特点：、最早采用 的国家之一;、但没有采用2、书写材料-纸草纸草- 03 K*Ji 7J纸草3、古埃及的算术知识：（1）古埃及人的计算具有 的特点：任何自然数都可由 的各次哥的和组成（2）分数的记法和计算单位分数的广泛使用成为埃及数学的一个重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些 （分子为1的分数）的和的形式（2/3例外）.埃及人表示分数的符号是相当复杂的（读作ro ）表示分数线，将或点的记号放在数的上方用来表示分数.例如:1/3(3)、完成了基本的算术四则运算(4)、已经有了求近似平方根的方法4、古埃及的代数：、有渐进的代数，但叙述方式是 ,很少引用符号、比例的概念也已有萌芽；三角函数观念的萌芽、一元一次方程求解 即形如：7 + a 7 =b或某些二次方程：'C2=c、等差级数和等比级数的概念及其求和例1、兰德纸草书中有一方程问题：有一数量，它的 2/3加它的1/2,加它的1/7 ,再加全 部共为33.用现代的记号是：211”028xxxx=33=x=14 32797只不过分数部分写为28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388.古埃及人把未知数称为“堆” (aha)例2、兰德纸草书中的第 24题：已知“堆”与七分之一 “堆”相加为 19,求“堆”的值."假位法"(method of false position )一先假设一个特殊的数作为“堆”的值(多半是假值)，将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算 出正确的答案.在上例中，用数7作为未知数x的实验值，于是有，左边 =x+1/7 x=7 + 1/7 7=8而应得的结果是 19,这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8 ,将7乘以(2+1/4+1/18 )即得正确的“堆”值为 16+1/2+1/8.例3、几何级数(等比级数).兰德纸草书第79题：是在数字7, 49, 343, 2401, 16807旁 边各注有图人，猫，鼠，大麦，量器等字样，而且给出总数为 19607.问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？-有答案无解法.5、古埃及的几何：在兰德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关 .由此可知，古埃及的几何很发达.几何问题多是讲度量法，涉及到田地的面积， 谷仓的容积和有关金字塔的计算等.著名的“金字塔之迷”就是其中的代表.(1)、法老胡夫的金字塔 (Pyramid):兴建于齐阿斯王朝(BC2900年左右)，高146.5米，塔基宽233米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差W1/10000 ,塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比.用以砌塔的巨石达 230万块，重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头 凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相当于地球周长的2/3.10万人用了 20年的时间才建成的.(2)、阿蒙神庙(Oman Tamples):阿蒙一一埃及的太阳神.王殿总面积5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21 米.、正方形，矩形，三角形，梯形面积公式.其他几何图形近似计算.如：任意四边形的面积 、已经知道毕达哥拉斯定理的特殊情况.、圆的面积很好的近似a b cdx22Rhind 50:假设一直径为9的圆形土地，其面积二边长为8的正方形土地82,其中d为直径，相当于取 兀=3.1605,误差为由此可知，圆面积为 S=(8d)290.6%.、体积的计算正四棱台的体积一最高成就 .122V h(a ab b )3直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高.、半球表面积的计算公式 .、知道相似三角形.、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识（二）典例选讲1、迭加运算例如： 计算27 X 3127 = 20+21 +23 + 24 =1 + 2 + 8+16*131*2624 124248+ *16 496例：计算745+26,只要连续地把除数 26加倍，直到再加倍就超过745为止.26252: 745=416+329*4104=416+208+121*8208=416+208+104+17+ *16 416将上述带(*)号的各项相 加,得商为16+8+42828其余数为17.2、分数运算2/5=1/3+1/152/7=1/4+1/282/9=1/6+1/182/97=1/56+1/679+1/7762/99=1/66+1/1982/101=1/101 + 1/202+1/303+1/606利用此表可进行分数计算例如，要用5+21,可写成单位分数之和 运算程序如下：5/21=1/21+2/21+2/21=1/21 + 1/14+1/42+1/14+1/42=1/21+2/14+2/42=1/21 + 1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/423、兰德纸草书第 70题：求 100+ (7+1/2+1/4+1/8) 的商.答：12+2/3+1/42+1/126.解：将除数逐渐加倍：15+1/2+1/4 -31 + 1/2 -63,是除数的 8 倍;3另外，除数与 8+4+2/3相乘得99 4比被除数100小1/4.调整：因除数的8倍是63,故(7+1/2+1/4+1/8) X 2/63=1/4由2/n数表查得2/63=1/42+1/126 ,于是100+(7+1/2+1/4+1/8)=8+4+2/3+2/63=12+2/3+1/42+1/126.4、算术级数问题：5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数，并且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和-下伪法(regula falsi )解：先令第一项最大，这使得公差是负数.令首项和公差分别为 a和d,写出了a (a -d) (a -2d)11 /=(a-3d) (a -4d)= d = (a-4d)72于是公差为最小项的 11/2倍，设最小项为1.，11于是得级数：1,6 ,12,17, 2322但和为60,为满足条件，各项X 5/3 ,2511取后倚：1 ,10 ,20,29 ,38 3663(三)提出疑点和解决1、古埃及的加法运算和单位分数运算对古埃及数学发展有什么影响？答：加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复.这种运算方法冗长繁复妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及算术和代数不能发展到更高水平的原因之一.2、古埃及的面积、体积算法和如今的计算方法有什么特点？答：古埃及人的面积、 体积算法对精确的公式和近似关系往往不作明确的区分，这又使他们的实用几何带上了粗糙的色彩 .