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课时知能训练一、选择题1(2011·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为()A4 B0 C. D4【解析】表示的平面区域如图所示z3xy在(2,2)取得最大值zmax3×224.【答案】D图6312已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图631，正六边形边长为2，若使目标函数zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k值为()A. B.C. D4【解析】由于k0，则当直线ykxz和正六边形不平行于x轴的一边平行时，目标函数zkxy的最优解有无穷多个，此时ktan 120°，k.【答案】A3(2011·湖北高考)直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个 C2个 D无数个【解析】直线2xy100与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个【答案】B4不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的范围是()Aa<5 Ba8C5a<8 Da<5或a8【解析】如图，的交点为(0,5)，的交点为(3,8)，5a<8.【答案】C5(2011·安徽高考)设变量x，y满足则x2y的最大值和最小值分别为()A1，1 B2，2 C1，2 D2，1【解析】作出可行域(如图阴影部分所示)，设zx2y，作l0：x2y0.把l0向左下方平移到点(0，1)时，z有最小值，zmin02×(1)2.把l0向右上方平移到点(0,1)时，z有最大值，zmax02×12.【答案】B二、填空题图6326(2011·陕西高考)如图632，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2xy的最小值为_【解析】令b2xy，则y2xb，如图所示，作斜率为2的平行线y2xb，当经过点A时，直线在y轴上的截距最大，为b，此时b2xy取得最小值，为b2×111.【答案】17已知点P(x，y)满足，定点为A(2,0)，则|sinAOP(O为坐标原点)的最大值为_【解析】可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在x正半轴上，所以|·sinAOP即为P点纵坐标当P位于点B时，其纵坐标取得最大值.【答案】8铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元)【解析】设购买铁矿石A为 x万吨，购买铁矿石B为y万吨，总费用为z百万元根据题意得，整理为线性目标函数为z3x6y，画可行域如图所示，当x1，y2时，z取得最小值，zmin3×16×215(百万元)【答案】15三、解答题9当x，y满足约束条件(k为负常数)时，能使zx3y的最大值为12，试求k的值【解】在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)当直线yxz经过区域中的点A(，)时，z取到最大值，等于.令12，得k9.所求实数k的值为9.10已知x，y满足条件：M(2,1)，P(x，y)求：(1)的取值范围；(2)·的最大值【解】如图所示，画出不等式组，所表示的平面区域：其中A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)(1)可以理解为区域内的点与点D(4，7)连线的斜率由图可知，连线与直线BD重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD重合时，倾斜角最大且为锐角kDB，kCD9，所以的取值范围为，9(2)由于·(2,1)·(x，y)2xy，令z2xy，则y2xz，z表示直线y2xz在y轴上的截距，由可行域可知，当直线y2xz经过A点时，z取到最大值，这时z的最大值为zmax2×419.11某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知每生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；每生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？【解】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，则线性约束条件为目标函数为z7x12y，作出可行域如图，作出一组平行直线7x12yt，当直线经过直线4x5y200和直线3x10y300的交点A(20,24)时，利润最大即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨，利润总额最大，zmax7×2012×24428(万元)- 4 -
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