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课时知能训练一、选择题1(2012·汕尾模拟)函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)【解析】由题意知f(x)在(0，)上是减函数A中，f(x)满足要求；B中f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C中f(x)ex是增函数；D中f(x)ln(x1)是增函数【答案】A2若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1【解析】f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是减函数，a1. 又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数a11，a0 由、知，0a1.【答案】D3定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1B1 C6D12【解析】由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.【答案】C4已知函数f(x)x22ax5在(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，则实数a的取值范围为()A1,4 B2,3C2,5 D3，)【解析】f(x)x22ax5的对称轴方程xa.又f(x)在(，2上是减函数，2a，又x1，x21，a1，|f(x1)f(x2)|f(x1)，f(x2)maxf(a)又|f(x1)f(x2)|4，即解得：1a3.综上可知：2a3.【答案】B5(2012·揭阳质检)已知f(x)是R上的增函数，那么a的取值范围是()A(1，) B(1，C(1,2) D，2)【解析】依题意解之得a2.【答案】D二、填空题6(2011·江苏高考)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_【解析】f(x)的定义域(，)，ylog5u在(0，)上是增函数，且x时，u2x1为增函数，函数f(x)的增区间是(，)【答案】(，)7(2012·东莞模拟)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_【解析】依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2x是增函数；当x2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.【答案】18(2011·北京高考)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【解析】当x2时，f(x)是减函数，0f(x)1，当x2时，f(x)(x1)3是增函数，f(x)1.结合函数的图象知，f(x)k有两个不同的实根，则0k1.【答案】(0,1)三、解答题9已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围【解】(1)证明任设x1x22，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)0，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)f(x)1，当a0时，f(x)在(a，)，(，a)上是减函数，又f(x)在(1，)内单调递减，0a1，故实数a的取值范围为(0,110若不等式a2x在1，)上恒成立，求实数a的取值范围【解】不等式a2x在1，)上恒成立，得a2x，即a2x恒成立令g(x)2x，x1，)，g(x)2，当x1时，g(x)0，g(x)在x1，)上是增函数因此g(x)ming(1)3.a3时，f(x)2x在x1，)上恒成立故实数a的取值范围是(，3)11(2011·江西高考)设f(x)x3mx2nx.(1)如果g(x)f(x)2x3在x2处取得最小值5，求f(x)的解析式；(2)如果mn10(m，nN)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值(注：区间(a，b)的长度为ba)【解】(1)易知f(x)x22mxng(x)f(x)2x3x22(m1)xn3(xm1)2n3(m1)2，g(x)在x2处取得最小值5.所以，即m3，n2，故函数的解析式为f(x)x33x22x.(2)因为f(x)x22mxn，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f(x)0一定有两个不同的根，从而4m24n0即m2n.不妨设为x1，x2，则|x2x1|2为正整数故m2时才可能有符合条件的m，n，当m2时，只有n3符合要求，当m3时，只有n5符合要求，当m4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m2，n3或m3，n5满足上述要求4
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