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高考数学精品复习资料 2019.5 数学思想专练数学思想专练(四四) 转化与化归思想转化与化归思想 题组 1 正与反的相互转化 1由命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的取值是( ) A(，1) B(，2) C1 D2 C 命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，使 e|x1|m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1. 2若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15 B35 C.710 D910 D 甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为 1110910. 3若二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1内至少存在一个值 c，使得 f(c)0，则实数 p 的取值范围为_. 【导学号：04024018】 3，32 如 果 在 1,1 内 没 有 值 满 足 f(c) 0 ， 则 f10，f10 p12或p1，p3或p32p3 或 p32，取补集为3p32，即为满足条件的 p的取值范围 故实数 p 的取值范围为3，32. 4若椭圆x22y2a2(a0)与连接两点 A(1,2)，B(3,4)的线段没有公共点，则实数 a 的取值范围为_ 0，3 22 822， 易知线段 AB 的方程为 yx1，x1,3， 由 yx1，x22y2a2，得 a232x22x1，x1,3， 92a2412. 又 a0，3 22a822. 故当椭圆与线段 AB 没有公共点时，实数 a 的取值范围为0，3 22822， . 5 已知点 A(1,1)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点， F1， F2是椭圆的两焦点， 且满足|AF1|AF2|4. (1)求椭圆的两焦点坐标； (2)设点 B 是椭圆上任意一点，当|AB|最大时，求证：A，B 两点关于原点 O 不对称. 【导学号：04024019】 解 (1)由椭圆定义，知 2a4，所以 a2.所以x24y2b21 2 分 把 A(1,1)代入，得141b21，得 b243，所以椭圆方程为x24y2431 4 分 所以 c2a2b244383，即 c2 63. 故两焦点坐标为2 63，0 ，2 63，0 6 分 (2)证明：假设 A，B 两点关于原点 O 对称，则 B 点坐标为(1，1)，7 分 此时|AB|2 2，而当点 B 取椭圆上一点 M(2,0)时，则|AM| 10，所以|AM|AB| 10 分 从而知|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立 12 分 题组 2 函数、方程、不等式之间的转化 6若函数 f(x)x3tx23x 在区间1,4上单调递减，则实数 t 的取值范围是( ) A.，518 B(，3 C.518， D3，) C f(x)3x22tx3， 由于 f(x)在区间1,4上单调递减， 则有 f(x)0 在1,4上恒成立， 即 3x22tx30，即 t32x1x在1,4上恒成立， 因为 y32x1x在1,4上单调递增， 所以 t32414518， 故选 C. 7已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)单调递增，则不等式 f(x1)f(12x)的解集为_. 【导学号：04024020】 (，0)(2，) f(x)在(，0)上单调递增，且 f(x)是偶函数，f(x)在(0，)上单调递减，又f(x)是偶函数，不等式 f(x1)f(12x)可化为f(|x1|)f(|12x|)，|x1|12x|，(x1)2(12x)2，解得 x0 或 x2，故原不等式的解集为(，0)(2，) 8(本小题满分 12 分)设 a 为实数，函数 f(x)ex2x2a，xR， (1)求 f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当 aln 21 且 x0 时，exx22ax1 成立. 【导学号：04024021】 解 (1)由 f(x)ex2x2a，xR 知 f(x)ex2，xR 1 分 令 f(x)0，得 xln 2 2 分 于是当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，ln 2) ln 2 (ln 2，) f(x) 0 f(x) 单调递减 22ln 22a 单调递增 3 分 故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)， 4 分 单调递增区间是(ln 2，)，5 分 f(x)在 xln 2 处取得极小值， 极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a，无极大值 6 分 (2)证明：设 g(x)exx22ax1，xR， 于是 g(x)ex2x2a，xR.7 分 由(1)知当 aln 21 时， g(x)取最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0 8 分 于是对任意 xR，都有 g(x)0， 所以 g(x)在 R 上单调递增. 9 分 于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)， 都有 g(x)g(0) 10 分 而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，都有 g(x)0. 即 exx22ax10， 故 exx22ax1 成立 12 分 题组 3 主与次的相互转化 9设 f(x)是定义在 R 上的单调递增函数，若 f(1axx2)f(2a)对任意 a1,1恒成立，则 x 的取值范围为_. 【导学号：04024022】 (，10，) f(x)是 R 上的增函数， 1axx22a，a1,1 式可化为(x1)ax210，对 a1,1恒成立 令 g(a)(x1)ax21， 则 g1x2x20，g1x2x0，解得 x0 或 x1. 即实数 x 的取值范围是(，10，) 10已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_ 23，1 由题意，知 g(x)3x2ax3a5， 令 (a)(3x)a3x25，1a1. 对1a1，恒有 g(x)0，即 (a)0， 10，10，即 3x2x20，3x2x80，解得23x1. 故当 x23，1 时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0. 11已知函数 f(x)13x3a243x24323a x(0a1，xR)若对于任意的三个实数 x1，x2，x31,2，都有 f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，求实数 a 的取值范围. 【导学号：04024023】 解 因为 f(x)x2a83x4323a x23(xa2)， 2 分 所以令 f(x)0，解得 x123，x22a.3 分 由 0a1，知 12a2. 所以令 f(x)0，得 x23或 x2a；4 分 令 f(x)0，得23x2a， 所以函数 f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增.5 分 所以函数 f(x)在1,2上的最小值为 f(2a)a6(2a)2，最大值为 maxf(1)，f(2)max13a6，23a 6 分 因为当 0a25时，13a623a；7 分 当25a1 时，23a13a6，8 分 由对任意 x1，x2，x31,2，都有 f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得 2f(x)minf(x)max(x1,2) 所以当 0a25时，必有 2a6(2a)213a6， 10 分 结合 0a25可解得 122a25； 当25a1 时，必有 2a6(2a)223a， 结合25a1 可解得25a2 2. 综上，知所求实数 a 的取值范围是 122a2 2 12 分
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