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高考数学精品复习资料 2019.5大题冲关集训(三) 1.(20xx年高考重庆卷)已知 an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列an的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.解:(1)设数列an 的公差为d,由题意知2a1+2d=8,2a1+4d=12,解得a1=2,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得Sn=(a1+an)n2=(2+2n)n2=n(1+n),因a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以ak2=a1Sk+2.从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0.解得k=6 或k=-1(舍去),因此k=6.2.(20xx年高考福建卷)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列, 所以a12=1(a1+2), 即a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因为数列an的公差d=1,且S5a1a9, 所以5a1+10a12+8a1, 即a12+3a1-100,解得-5a12. 3.(20xx清远市调研)已知数列an的各项均为正数,且a1=1,当n2时,都有an=an-1+2n-1,记Tn=1a1+1a2+1an.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:Tn2.(1)解:当n2时,an=an-1+2n-1,a2-a1=22-1,a3-a2=23-1,an-an-1=2n-1,各式相加得an-a1=2(2+3+n)-(n-1),an-a1=2(n-1)(2+n)2-(n-1),an=n2.又当n=1时,a1=1满足上式,故an=n2.(2)证明:Tn=1+122+132+1n21+112+123+1(n-1)n=1+1-12+12-13+1n-1-1n=2-1n2.4.(20xx泰安二模)已知等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为Sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)证明:131S1+1S2+1Sn34.(1)解:设等比数列的公比为q,a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,d2-2d=0,d=2或d=0(舍去).an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为b3b2=a4a1=3,b1=b2q=1.bn=3n-1.(2)证明:由(1)知Sn=n2+2n,1Sn=1n(n+2)=12（1n-1n+2）,1S1+1S2+1Sn=12(1-13)+(12-14)+(1n-1n+2)=12（1+12-1n+1-1n+2）=34-12（1n+1+1n+2）34.1n+1+1n+212+13=56,34-12（1n+1+1n+2）13,131S1+1S2+1Sn0,an+1-an=2,数列an是首项为1,公差为2的等差数列,an=2n-1.(3)an=2n-1,a=(2an+2,m)=(2(2n+3),m)0,b=(-an+5,3+an)=(-(2n+9),2(n+1)0.abab=0m(n+1)=(2n+3)(2n+9)=2(n+1)+12(n+1)+7m(n+1)=4(n+1)2+16(n+1)+7m=4(n+1)+16+7n+1.m,nN*,n+1=7,m=47+16+1,即n=6,m=45.当且仅当n=6,m=45时,ab.6.(20xx佛山质检(二)环保刻不容缓,或许人类最后一滴水将是自己的泪水.某地水资源极为紧张,且受工业污染严重,预计20年后该地将无洁净的水可用.当地决定重新选址建设新城区,同时对旧城区进行拆除,已知旧城区的住房总面积为64a m2,每年拆除的数量相同;新城区计划第一年建设住房面积a m2,前四年每年以100%的增长率建设新住房,从第五年开始,每年都比上一年增加a m2.设第n(n1,且nN)年新城区的住房总面积为an m2,该地的住房总面积为bn m2.(1)求an的通项公式;(2)若每年拆除4a m2,比较an+1与bn的大小.解:(1)设第n年新城区的住房建设面积n m2,则当1n4时,n=2n-1a;当n5时,n=(n+4)a.所以,当1n4时,an=(2n-1)a;当n5时,an=a+2a+4a+8a+9a+(n+4)a=n2+9n-222a,故an=(2n-1)a(1n4),n2+9n-222a(n5).(2)1n3时,an+1=(2n+1-1)a,bn=(2n-1)a+64a-4na,显然有an+1bn.n=4时,an+1=a5=24a,bn=b4=63a,此时an+1bn.5n16时,an+1=n2+11n-122a,bn=n2+9n-222a+64a-4na,an+1-bn=(5n-59)a.所以,5n11时,an+1bn;n17时,显然an+1bn,故当1n11时,an+1bn.7.(20xx东莞市高三模拟)已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5.(1)证明:数列an+1是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f(1),并比较2f(1)与23n2-13n的大小.(1)证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5,可得n2,Sn=2Sn-1+n+4两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1),当n=1时,S2=2S1+1+5,所以a2+a1=2a1+6,又a1=5,所以a2=11,从而a2+1=2(a1+1),故总有an+1+1=2(an+1),nN*,又a1=5,a1+10,从而an+1+1an+1=2即数列an+1是等比数列.(2)解:由(1)知an=32n-1,因为f(x)=a1x+a2x2+anxn,所以f(x)=a1+2a2x+nanxn-1,从而f(1)=a1+2a2+nan=(32-1)+2(322-1)+n(32n-1)=3(2+222+n2n)-(1+2+n),令Tn=2+222+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,错位相减得,Tn=(n-1)2n+1+2,f(1)=3(n-1)2n+1-n(n+1)2+6,2f(1)-(23n2-13n)=12(n-1)2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)2n-(2n+1).当n=1时,2f(1)=23n2-13n;当n=2时,2f(1)0,又由函数y=2x与y=2x+1得2n2n+1,所以(n-1)2n-(2n+1)0,从而2f(1)23n2-13n.
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