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高考数学精品复习资料 2019.5 课时达标检测（五十六）课时达标检测（五十六） 离散型随机变量的分布列、均值离散型随机变量的分布列、均值 与方差与方差 一般难度题一般难度题全员必做全员必做 1某同学在篮球场上进行投篮训练，先投某同学在篮球场上进行投篮训练，先投“2 分的篮分的篮”2 次，每次投中的概率为次，每次投中的概率为45，每，每投中一次得投中一次得 2 分，不中得分，不中得 0 分；再投分；再投“3 分的篮分的篮”1 次，投中的概率为次，投中的概率为23，投中得，投中得 3 分，不分，不中得中得 0 分该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上分该同学每次投篮的结果相互独立，假设该同学要完成以上 3 次投篮次投篮 (1)求该同学恰有求该同学恰有 2 次投中的概率；次投中的概率； (2)求该同学所得分求该同学所得分 X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望 解：解：(1)由题可知总共有由题可知总共有 3 次投篮，每次投不中记为次投篮，每次投不中记为 0，投中记为，投中记为 1，共有，共有 238 种情况，种情况，其中恰有其中恰有2次投中的有次投中的有(1,1,0)， (1,0,1)， (0,1,1)， 共， 共3种情况， 其发生的概率为种情况， 其发生的概率为P4545 12345 14523 14545233275. (2)由题可知得分共有由题可知得分共有 6 种情况，种情况，X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,2,3,4,5,7. X0 的情况为的情况为(0,0,0)，P(X0)151513175； X2 的情况为的情况为(1,0,0)，(0,1,0)， P(X2)4515132875； X3 的情况为的情况为(0,0,1)， P(X3)151523275； X4 的情况为的情况为(1,1,0)，P(X4)4545131675； X5 的情况为的情况为(1,0,1)(0,1,1)， P(X5)21545231675； X7 的情况为的情况为(1,1,1)，P(X7)4545233275. 得分得分 X 的分布列为的分布列为 X 0 2 3 4 5 7 P 175 875 275 1675 1675 3275 E(X)017528753275416755167573275265. 2为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手名，其中种子选手 3 名从名从这这 8 名运动员中随机选择名运动员中随机选择 4 人参加比赛人参加比赛 (1)设设A为事件为事件“选出的选出的4人中恰有人中恰有2名种子选手， 且这名种子选手， 且这2名种子选手来自同一个协会名种子选手来自同一个协会”，求事件求事件 A 发生的概率；发生的概率； (2)设设 X 为选出的为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列及均值的分布列及均值 E(X) 解：解：(1)由已知得，由已知得，P(A)C22C23C23C23C48635. 所以事件所以事件 A 发生的概率为发生的概率为635. (2)随机变量随机变量 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 1,2,3,4. P(Xk)Ck5C4k3C48(k1,2,3,4) 所以，随机变量所以，随机变量 X 的分布列为的分布列为 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 E(X)1114237337411452. 3(20 xx 湖南湘中名校联考湖南湘中名校联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数期数 的分布列为的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为期付款，其利润为 200 元；分元；分 2 期或期或 3 期付款，其利润期付款，其利润为为 250 元；分元；分 4 期或期或 5 期付款，其利润为期付款，其利润为 300 元元 表示经销一件该商品的利润表示经销一件该商品的利润 (1)求事件求事件 A：“购买该商品的购买该商品的 3 位顾客中，至少有位顾客中，至少有 1 位采用位采用 1 期付款期付款”的概率的概率 P(A)； (2)求求 的分布列及期望的分布列及期望 E() 解：解：(1)由由 A 表示事件表示事件“购买该商品的购买该商品的 3 位顾客中，至少有位顾客中，至少有 1 位采用位采用 1 期付款期付款”， 可得可得A表示事件表示事件“购买该商品的购买该商品的 3 位顾客中，无人采用位顾客中，无人采用 1 期付款期付款” 又又 P(A)(10.4)30.216， 故故 P(A)1P(A)10.2160.784. (2) 的可能取值为的可能取值为 200,250,300. P(200)P(1)0.4， P(250)P(2)P(3)0.20.20.4， P(300)P(4)P(5)0.10.10.2. 的分布列为的分布列为 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E()2000.42500.43000.2240. 中档难度题中档难度题学优生做学优生做 1抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有抛掷甲、乙两枚质地均匀且六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 的正方体，记上底面上的的正方体，记上底面上的数字分别为数字分别为 x，y.若若a表示表示 a 的整数部分，如：的整数部分，如：2.62，设，设 为随机变量，且为随机变量，且 xy. (1)求求 P(0)； (2)求求 的分布列，并求其均值的分布列，并求其均值 E() 解：解：(1)依题意，实数对依题意，实数对(x，y)共有共有 36 种情况，使种情况，使 xy0 的实数对的实数对(x，y)有以下有以下15 种情况：种情况：(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，(5,6)， 所以所以 P(0)1536512. (2)随机变量随机变量 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2. 1 的情况有以下的情况有以下 18 种：种：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(6,6)， 所以所以 P(1)183612. 2 的情况有以下的情况有以下 3 种：种：(4,1)，(5,1)，(6,1)，所以，所以 P(2)336112. 所以所以 的分布列为的分布列为 0 1 2 P 512 12 112 均值均值 E()0512112211223. 2(20 xx 合肥质检合肥质检)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择工选择 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规则抽奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金 1 000 元；若未中奖，元；若未中奖，则所获得的奖金为则所获得的奖金为 0 元元 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金，每次中奖均可获得奖金 400 元元 (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元元)的分布列；的分布列； (2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：解：(1)所获资金所获资金 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,500,1 000. P(X0)15451215725，P(X500)451225，P(X1 000)451245825， 某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元元)的分布列为的分布列为 X 0 500 1 000 P 725 25 825 (2)由由(1)可知， 选择方案甲进行抽奖所获奖金可知， 选择方案甲进行抽奖所获奖金 X 的期望的期望 E(X)500251 000825520， 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数若选择方案乙进行抽奖，中奖次数 B 3，25，则则 E()32565，抽奖所获奖抽奖所获奖金金 X的期望的期望 E(X)400E()480，故选择方案甲较划算故选择方案甲较划算 较高难度题较高难度题学霸做学霸做 1某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担若厂商恰能在约定日期有两条公路，且运费由厂商承担若厂商恰能在约定日期(月月日日)将牛奶送到，则城市乙将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂的销售商一次性支付给牛奶厂 20 万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂给牛奶厂 1 万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂 1 万元为万元为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：奶，已知下表内的信息： 统计信息统计信息 汽车行汽车行 驶路线驶路线 在不堵车的情况下到达城市在不堵车的情况下到达城市乙所需时间乙所需时间(天天) 在堵车的情况下在堵车的情况下到达城市乙所需到达城市乙所需时间时间(天天) 堵车堵车的概的概率率 运费运费(万元万元) 公路公路 1 2 3 110 1.6 公路公路 2 1 4 12 0.8 (1)记汽车选择公路记汽车选择公路 1 运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为 (单位：万元单位：万元)，求，求 的分布列的分布列和均值和均值 E()； (2)选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？ (注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费注：毛收入销售商支付给牛奶厂的费用运费) 解：解：(1)若汽车走公路若汽车走公路 1， 不堵车时牛奶厂获得的毛收入不堵车时牛奶厂获得的毛收入 201.618.4(万元万元)； 堵车时牛奶厂获得的毛收入堵车时牛奶厂获得的毛收入 201.6117.4(万元万元)， 汽车走公路汽车走公路 1 时牛奶厂获得的毛收时牛奶厂获得的毛收入入 的分布列为的分布列为 18.4 17.4 P 910 110 E()18.491017.411018.3(万元万元) (2)设汽车走公路设汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入为时牛奶厂获得的毛收入为 ， 则不堵车时牛奶厂获得的毛收入， 则不堵车时牛奶厂获得的毛收入 200.8120.2(万元万元)； 堵车时牛奶厂获得的毛收入堵车时牛奶厂获得的毛收入 200.8217.2(万元万元) 汽车走公路汽车走公路 2 时牛奶厂获得的毛收入时牛奶厂获得的毛收入 的分布列为的分布列为 20.2 17.2 P 12 12 E()20.21217.21218.7(万元万元) E()E()，选择公路选择公路 2 运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多 2(20 xx 江苏高考江苏高考)已知一个口袋中有已知一个口袋中有 m 个白球，个白球，n 个黑球个黑球(m，nN*，n2)，这些球，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 1,2,3，mn 的抽屉内，其中第的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为次取出的球放入编号为 k 的抽屉的抽屉(k1,2,3，mn). 1 2 3 mn (1)试求编号试求编号为为 2 的抽屉内放的是黑球的概率的抽屉内放的是黑球的概率 p； (2)随机变量随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是是 X 的数学期望，的数学期望，证明：证明：E(X)n mn n1 . 解：解：(1)编号为编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率的抽屉内放的是黑球的概率 p 为：为： pCn1mn1Cnmnnmn. (2)证明：随机变量证明：随机变量 X 的概率分布为：的概率分布为： X 1n 1n1 1n2 1k 1mn P Cn1n1Cnmn Cn1nCnmn Cn1n1Cnmn Cn1k1Cnmn Cn1nm1Cnmn 随机变量随机变量 X 的期望为：的期望为：
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