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高考数学精品复习资料 2019.5 I I题源探究黄金母题题源探究黄金母题 【例 1】一动圆与圆05622xyx外切，同时与圆091622xyx内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线. 设椭圆方程为：)0( 12222babyax, 27936, 3, 6,122222cabcaa, 动圆圆心的轨迹方程为1273622yx，它表示一个焦点在x轴上的椭圆. IIII考场精彩真题回放考场精彩真题回放 【例 2】 （20 xx 全国乙理 20（1） ）设圆222150 xyx的圆心为A，直线l过点1,0B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （1）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程. 【解析】【解析】如图所示，圆A的圆心为1,0A ，半径4R ， EDCBAyxO 因为/BE AC，所以CEBD.又因为ACAD，所以CEDB， 于是EBDEDB ，所以EBED.故4AEEBAEEDAD为定值. 又2AB ，点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 由1c ，2a ，得23b .故点E的轨迹1C的方程为221043xyy. 【例 3】 （20 xx 全国丙卷 20）已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. （1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明FQAR； （2）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 所以FQBPAR ，所以PRAPQF（等角的余角相等），所以/AR FQ. (2)设1122( ,), (,)A x yB x y，1(,0)2F，准线为12x ，121122PQFSPQyy，设直线AB与x 轴交点为N，1212ABFSFN yy， 因为2PQFABFSS， 所以21FN ， 得1Nx ，即(1,0)N设 AB中点为( , )M x y， 由21122222yxyx，得2212122()yyxx，即12121212yyyyxx.又12121yyyxxx，所以11yxy， 即21yx易知当直线AB不存在时，点M也满足此方程，所以AB中点轨迹方程为21yx. NMOxyPQFAB 精彩解读精彩解读 【试题来源】人教版选修人教版选修 2 2- -1 1 第第 5050 页习题页习题 2.2B2.2B 组第组第 2 2 题题 【母题评析】本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程本题属于求轨迹问题，采用定义法求轨迹方程. .求轨迹问题在近几年高考试题中求轨迹问题在近几年高考试题中很常见，采用命题的形式往往是解答题的其中一步很常见，采用命题的形式往往是解答题的其中一步. . 【思路方法】利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推利用两圆外切、内切的条件要求列出式子，经过推到转化为动点需要满足的条到转化为动点需要满足的条件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹件要求，符合定义，最后求出轨迹方程，这是定义法求轨迹. . 【命题意图】本本类类题题通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况通常主要轨迹方程及求轨迹，考查学生对求轨迹的基本方法的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况及对圆锥曲线的概念的掌握情况 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，这类试题在考查题型上，通常基本以解答的形式出现，选填题较少，难度持中，一般会出现在解答题中的一步一般会出现在解答题中的一步 【难点中心】求轨迹问题方法较多，要根据提议灵活使用，另外求轨迹问题要注意考虑“完求轨迹问题方法较多，要根据提议灵活使用，另外求轨迹问题要注意考虑“完备性”和“纯粹性” ，特别是参数法，还要注意参数的取值范围备性”和“纯粹性” ，特别是参数法，还要注意参数的取值范围. . IIIIII理论基础解题原理理论基础解题原理 1曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实 数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 2辨明两个易误点 (1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范 围) (2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 3求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系； (2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)； (3)列式列出动点P所满足的关系式； (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简； (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 考点一考点一 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程 直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容 直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度： (1)明确给出等式，求轨迹方程； (2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程 直接法求曲线方程的一般步骤： (1)建立合理的直角坐标系； (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程； (3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等 价性 考点考点二二 定义法求轨迹定义法求轨迹 定义法求轨迹方程： (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程； (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制 考点三考点三 利用相关点法（代入法）求轨迹方程利用相关点法（代入法）求轨迹方程 相关点法求轨迹方程的一般步骤为： (1)设点：设动点坐标为(x，y)，已知轨迹的点的坐标为(x1，y1)， (2)求关系式：求出两点坐标之间的关系式 x1f（x，y），y1g（x，y）. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 考点三考点三 参数法求轨迹参数法求轨迹 借助参数t表示变量yx,得出)()(tgytfx，t是参数，然后消去参数t，得出轨迹方程，但要注意参数的取值范围. IVIV题型攻略深度挖掘题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、三角函数、解三角形等知识交汇，有时会以向量平行为条件渗透到解析几何试题中 V V举一反三触类旁通举一反三触类旁通 考向考向 1 1 直接法求轨迹与平面向量的交汇直接法求轨迹与平面向量的交汇 【例 4】(20 xx天津津南模拟)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(1，3)，若点C满足OC1OA2OB(O为原点)，其中1，2R R，且121，则点C的轨迹是( ) A直线 B椭圆 C圆 D双曲线 【解析】设C(x，y)，因为OC1OA2OB，所以(x，y)1(3，1)2(1，3)，即x312，y132， 解得1y3x10，23yx10， 又121，所以y3x103yx101，即x2y5， 所以点C的轨迹为直线，故选 A. 【例 5】已知M(4，0)，N(1，0)，若动点P满足MNMP6|PN|. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x2y120 的距离的最小值. 考向考向 2 2 定义法求轨迹定义法求轨迹 【例 6】(20 xx长春模拟)设圆(x1)2y225 的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ) A.4x2214y2251 .4x2214y2251 C.4x2254y2211 .4x2254y2211 【解析】M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|= |CQ|5，故M的轨迹为椭圆a52，c1，则b2a2c2214， 椭圆的方程为4x2254y2211. 【例 7】(20 xx高考课标全国卷节选)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程 【例 8】(20 xx山西临汾调研)在ABC中，|BC|4，ABC的内切圆切BC于点D，且|BD|CD|2 2，则顶点A的轨迹方程为_ 【解析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点则|BE|BD|， |CD|CF|，|AE|AF|. |AB|AC|2 2， 点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a 2，c2，b 2， 顶点A的轨迹方程为x22y221(x 2) 考向考向 3 3 相关点法求轨迹相关点法求轨迹 【河北省唐山一中高三上学期【河北省唐山一中高三上学期 1212 月调研考试数学 （理） 试题】月调研考试数学 （理） 试题】 点)2, 4( P与圆422 yx上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A22(2)(1)1xy B22(2)(1)4xy C22(4)(2)4xy D22(2)(1)1xy 【解析】设所求动点为, x y,圆422 yx上任一点00,M xy,则22004xy.因为, x y为)2, 4( P和 00,M xy的中点,所以000042422222xxxxyyyy ,代入22004xy可得2224224xy, 整理可得22211xy.即所求动点的轨迹方程是22211xy.故 A 正确. 【例9】P是椭圆x2a2y2b21(ab0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQPF1PF2，则动点Q的轨迹方程是_
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