【创新设计】高考数学北师大版一轮训练：第7篇 第2讲 空间图形的基本关系与公理

高考数学精品复习资料 2019.5第2讲空间图形的基本关系与公理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(20xx江西七校联考)已知直线a和平面，l，a ，a ，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案D2在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交B异面C平行D垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案A3设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；b，P，PPb.ABCD解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案D4(20xx陕西五校联考)已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若ml，nl，则mn；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是()Ap且qBp或qCp或(綈q)D(綈p)且q解析命题p中，m，n可能平行、还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题所以綈p和綈q都为真命题，故p或(綈q)为真命题选C.答案C5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60角的条数为()A1B2C3D4解析有2条：A1B和A1C1.答案B二、填空题6如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线24(对)答案247. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，错，正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确答案8(20xx江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.答案4三、解答题9. 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面10在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线证明如图所示，A1AC1C，A1A，C1C确定平面A1C.A1C平面A1C，OA1C，O平面A1C，而O平面BDC1线A1C，O平面BDC1，O在平面BDC1与平面A1C的交线上ACBDM，M平面BDC1，且M平面A1C，平面BDC1平面A1CC1M，OC1M，即C1，O，M三点共线能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(20xx长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与CD所成的角为60解析如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可见选项A，B，C不正确正确选项为D.图2中，BECD，ABE为AB与CD所成的角， ABE为等边三角形，ABE60.答案D2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1， CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A不存在B有且只有两条C有且只有三条D有无数条解析法一图1在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面(如图1)，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示故选D.法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面(如图2)，因CD与平面不平行，图2所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交答案D二、填空题3.(20xx安徽卷)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；当CQ1时， S为六边形；当CQ1时，S的面积为.解析如图1，当CQ时，平面APQ与平面ADD1A1的交线AD1必平行于PQ，且D1QAP，S为等腰梯形，正确；同理，当0CQ时，S为四边形，正确；图1图2如图2，当CQ时，将正方体ABCDA1B1C1D1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCDA2B2C2D2.Q为CC2的中点，连接AD2交A1D1于点E，易知PQAD2，作ERAP，交C1D1于R，连接RQ，则五边形APQRE为截面S.延长RQ，交DC的延长线于F，同时与AP的延长线也交于F，由P为BC的中点，PCAD，知CFDF1，由题意知RC1QFCQ，C1R，正确；由图2知当CQ1时，S为五边形，错误；当CQ1时，点Q与点C1重合，截面S为边长为的菱形，对角线AQ，另一条对角线为，S，正确答案三、解答题4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解(1)如图，连接AC，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角由 AB1C中，由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1与B1C所成角为60.(2)如图，连接BD，由(1)知ACA1C1.AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，即所求角为90.EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.