高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理北师大

1 第第 6 6 讲讲 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1.已知离散型随机变量X的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)( ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 解析 由 0.5m0.21 得m0.3，E(X)10.530.350.22.4，D(X)(12.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20.22.44. 答案 C 2.(2017西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 解析 设没有发芽的种子有粒，则B(1 000，0.1)，且X2，E(X)E(2)2E()21 0000.1200. 答案 B 3.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，则二项分布的参数n，p的值为( ) A.n4，p0.6 B.n6，p0.4 C.n8，p0.3 D.n24，p0.1 解析 由二项分布XB(n，p)及E(X)np，D(X)np(1p)得 2.4np，且 1.44np(1p)，解得n6，p0.4.故选 B. 答案 B 4.已知随机变量X8，若XB(10，0.6)，则E()，D()分别是( ) A.6，2.4 B.2，2.4 C.2，5.6 D.6，5.6 解析 由已知随机变量X8，所以有8X.因此，求得E()8E(X)8100.62，D()(1)2D(X)100.60.42.4. 答案 B 5.口袋中有 5 只球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中任取 3 只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是( ) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 解析 由题意知，X可以取 3，4，5，P(X3)1C35110， 2 P(X4)C23C35310，P(X5)C24C3561035， 所以E(X)311043105354.5. 答案 B 二、填空题 6.设X为随机变量，XBn，13，若随机变量X的数学期望E(X)2，则 P(X2)等于_. 解析 由XBn，13，E(X)2，得 np13n2，n6， 则P(X2)C26132113480243. 答案 80243 7.随机变量的取值为 0，1，2.若P(0)15，E()1，则D()_. 解析 设P(1)a，P(2)b， 则15ab1，a2b1，解得a35，b15， 所以D()(01)215(11)235(21)21525. 答案 25 8.(2017合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是 7 000 元、5 600 元、4 200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是_元. 解析 由题意知a2a4a1，a17，获得一、二、三等奖的概率分别为17，27，47，所获奖金的期望是E(X)177 000275 600474 2005 000 元. 答案 5 000 三、解答题 9.(2017成都诊断)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语 3 考试该如何改”引起广泛关注.为了解某地区学生和包括老师、 家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3 600 人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度 调查人群 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 2 100 人 120 人 y人 社会人士 600 人 x人 z人 已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？ (2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人，再平均分成两组进行深入交流.求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望. 解 (1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05，所以120 x3 6000.05，解得x60. 所以持“无所谓”态度的人数为 3 6002 10012060060720，所以应在持“无所谓”态度的人中抽取 7203603 60072 人. (2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人， 所以在所抽取的 6 人中，在校学生为12018064 人，社会人士为6018062 人，于是第一组在校学生人数1，2，3， P(1)C14C22C3615，P(2)C24C12C3635， P(3)C34C02C3615， 所以的分布列为 1 2 3 P 15 35 15 所以E()1152353152. 10.(2017郑州一模)在“出彩中国人”的一期比赛中，有 6 位歌手(16)登台演出，由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人，其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名；媒体乙不欣赏 2 号歌手，他必不选 2 号；媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 4 6 号歌手中随机的选出 3 名. (1)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望. 解 (1)设A表示事件：“媒体甲选中 3 号歌手”，B表示事件：“媒体乙选中 3 号歌手”，C表示事件：“媒体丙选中 3 号歌手”，则 P(A)C14C2525，P(B)C24C3535， 媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率为 P(AB)25135425. (2)P(C)C25C3612， 由已知得X的可能取值为 0，1，2，3， P(X0)P(A BC)125135 112325. P(X1)P(ABC)P(ABC)P(A BC) 2513511212535112125135121950， P(X2)P(ABC)P(ABC)P(ABC) 2535112251351212535121950， P(X3)P(ABC)253512325， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 325 1950 1950 325 E(X)03251195021950332532. 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球， 有放回地摸取 5次，设摸得白球数为X，已知E(X)3，则D(X)( ) A.85 B.65 C.45 D.25 解析 由题意，XB5，3m3， 5 又E(X)53m33，m2， 则XB5，35，故D(X)53513565. 答案 B 12. (2017南昌调研)袋中装有大小完全相同，标号分别为 1，2，3，9 的九个球.现从袋中随机取出 3 个球.设为这 3 个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为 3，4，5，则有两组相邻的标号 3，4 和 4，5，此时的值是 2)，则随机变量的均值E()为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 依题意得，的所有可能取值是 0，1，2. 且P(0)C37C39512，P(1)C27A22C3912， P(2)C17C39112，因此E()0512112211223. 答案 D 13.马老师从课本上抄录一个随机变量的分布列如下表： x 1 2 3 p(x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算的均值.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E()_. 解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为 12x，则E()1x2(12x)3xx24x3x2. 答案 2 14.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行， 但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系： 年入流量X 40X120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 6 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解 (1)依题意，p1P(40X120)5500.1. 由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p39104491031100.947 7. (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元). 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1， 对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安装 2 台发电机的情形. 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80 时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下： Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840. 安装 3 台发电机的情形. 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120 时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台.