高中数学第2讲参数方程二圆锥曲线的参数方程练习新人教A版选修44050316

1二二 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程一、基础达标1.参数方程xcos，y2sin(为参数)化为普通方程为()A.x2y241B.x2y221C.y2x241D.y2x241解析易知 cosx，siny2，x2y241，故选 A.答案A2.方程xcosa，ybcos(为参数，ab0)表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一部分解析由xcosa，cosax，代入ybcos，得xyab，又由ybcos知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一部分.答案D3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x4t2，y4t(t为参数)上，则|PF|等于()A.2B.3C.4D.5解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1 的距离，即为 4.答案C4.当取一切实数时，连接A(4sin，6cos)和B(4cos，6sin)两点的线段的中点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.线段解析设中点M(x，y)， 由中点坐标公式， 得x2sin2cos，y3cos3sin，即x2sincos，y3sincos，两式平方相加，得x24y292，是椭圆.答案B5.实数x，y满足 3x24y212，则 2x 3y的最大值是_.解析因为实数x，y满足 3x24y212，所以设x2cos，y 3sin，则 2x 3y24cos3sin5sin()，其中 sin45，cos35.当 sin()1 时，2x 3y有最大值为 5.答案56.抛物线yx22xt的顶点轨迹的普通方程为_.解析抛物线方程可化为yx1t21t2，其顶点为1t，1t2，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则x1t，y1t2，消去t得yx2(x0).答案yx2(x0)7.如图所示，连接原点O和抛物线y12x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x22y，其参数方程为x2t，y2t2.得M(2t，2t2).设P(x，y)，则M是OP中点.2tx02，2t2y02，x4ty4t2(t为参数)，消去t得y14x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线xsin2，ycos1(为参数)与直线xm相交于不同两点，则m的取值范围是()A.R RB.(0，)C.(0，1)D.0，1)解析将曲线xsin2，ycos1化为普通方程得(y1)2(x1)(0 x1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知 0m1.3答案D9.圆锥曲线xt2，y2t(t为参数)的焦点坐标是_.解析将参数方程化为普通方程为y24x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由 2p4p2，则焦点坐标为(1，0).答案(1，0)10.设曲线C的参数方程为xt，yt2(t为参数)， 若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.解析xt，yt2化为普通方程为yx2，由于cosx，siny，所以化为极坐标方程为sin2cos2，即cos2sin0.答案cos2sin011.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy4 0，曲线C的参数方程为x 3cos，ysin(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4，2 ，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解(1)把极坐标系下的点P4，2 化为直角坐标，得点(0，4).因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程xy40，所以点P在直线l上.(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为( 3cos，sin)，从而点Q到直线l的距离为d| 3cossin4|22cos6 42 2cos6 2 2， 由此得， 当cos6 1 时，d取得最小值，且最小值为 2.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e32，已知点P0，32 到这个椭圆上的点的最远距离是 7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于 7的点的坐标.解设椭圆的参数方程是xacosybsin，其中，ab0，02.由e2c2a2a2b2a214ba2可得ba 1e212即a2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d， 则d2x2y322a2cos2bsin322a2(a2b2)sin23bsin944b23b2sin23bsin943b2sin12b24b23，如果12b1 即b12，即当 sin1 时，d2有最大值，由题设得( 7)2b322，由此得b 73212，与b12矛盾.因此必有12b1 成立，于是当sin12b时，d2有最大值，由题设得( 7)24b23，由此可得b1，a2.所求椭圆的参数方程是x2cos，ysin.由 sin12，cos32可得，椭圆上的点 3，12 ，点3，12 到点P的距离都是 7.