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星火益佰精品课件 1.21.2 简易逻辑及充要条件简易逻辑及充要条件 基础知识基础知识 自主学习自主学习 要点梳理要点梳理 1逻辑联结词逻辑联结词 (1)命题中的命题中的“ ”、 “ ”、“ ”叫做逻叫做逻 辑联结词辑联结词 或 且 非 (2)用来判断复合命题的真假的真值表： p q 綈 p 綈 q P或q P且q 綈(p或q) 綈(p 且 q) 綈 p 或綈 q 綈 p 且綈 q 真 真 假 假 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 假 假 假 真 真 假 真 真 真真 假假 假假 假假 假假 假假 真真 真真 假假 真真 真真 真真 真真 2四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p，则 q 逆命题 否命题 逆否命题 若 q，则 p 若綈 p，则綈 q 若綈 q，则綈 p (2)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系 (3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 . 没有关系没有关系 相同相同 (2)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系 逆命题逆命题 逆否命题逆否命题 否命题否命题 3充分条件与必要条件充分条件与必要条件 (1)如果如果 pq，则，则 p 是是 q 的的 ，q 是是 p 的的 ； (2)如果如果 pq，qp，则，则 p 是是 q 的的 . 充分条件 必要条件 充要条件 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1用集合的观点，看充要条件用集合的观点，看充要条件 设集合设集合 Ax|x 满足条件满足条件 p，Bx|x 满足条件满足条件 q， 则有：则有： (1)若若 AB，则，则 p 是是 q 的充分条件，若的充分条件，若 AB，则，则 p是是 q 的充分不必要条件；的充分不必要条件； (2)若若 BA，则，则 p 是是 q 的必要条件，若的必要条件，若 BA，则，则 p 是是 q 的必要不充分条件；的必要不充分条件； (3)若若 AB，则，则 p 是是 q 的充要条件；的充要条件； (4)若若 AB，且，且 BA，则，则 p 是是 q 的既不充分也不的既不充分也不必要条件必要条件 2从逆否命题，谈等价转换从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假这就是常说的判断它的逆否命题的真假这就是常说的“正难则正难则反反” 基础自测基础自测 1下列命题中，所有真命题的序号是下列命题中，所有真命题的序号是_ 52 且且 74；34 或或 43； 2不是无理数不是无理数 解析解析 52 和和 74 都真，都真，52 且且 74 也真也真 34 假，假，43 真，真，34 或或 43 真真 2是无理数，是无理数， 2不是无理数假不是无理数假 点评点评 对含有对含有“或或”、“且且”、“非非”的复合命题的判的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题 2下列命题：下列命题： “全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的逆命题；的逆命题； “若若 ab0，则，则 a0”的否命题；的否命题； “正三角形的三个角均为正三角形的三个角均为 60 ”的逆否命题，的逆否命题， 其中真命题的序号是其中真命题的序号是_ 解析解析 “全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的逆命题为的逆命题为“面面积相等的三角形全等积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；，显然该命题为假命题； “若若 ab0，则，则 a0”的否命题为的否命题为“若若 ab0，则，则a0”，而由，而由 ab0 可得可得 a，b 都不为零，故都不为零，故 a0，所，所以该命题是真命题；以该命题是真命题； 由于原命题由于原命题“正三角形的三个角均为正三角形的三个角均为 60 ”是一个真是一个真命题，故其逆否命题也是真命题故填命题，故其逆否命题也是真命题故填. 3已知已知 a，b 是实数，则是实数，则“a0 且且 b0”是是“ab0 且且 ab0”的的_条件条件 解析解析 对于对于“a0 且且 b0”可以推出可以推出“ab0 且且ab0”，反之也是成立的，反之也是成立的 充分必要充分必要 4(2010 福建福建)若向量若向量 a(x,3)(xR)，则，则“x4”是是 “|a|5”的的 ( ) A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 由由 x4 知知|a| 42325； 反之，由反之，由|a| x2325，得，得 x4 或或 x4. 故故“x4”是是“|a|5”的充分而不必要条件，故选的充分而不必要条件，故选 A. A 5 若集合 若集合 A1， m2， B2,4， 则， 则“m2”是是“AB 4”的的 ( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 由由“m2”可知可知 A1,4，B2,4，所以可以，所以可以推得推得 AB4，反之，若，反之，若“AB4”可以推得可以推得 m24， 解得， 解得 m2 或或2， 不能推得， 不能推得 m2， 所以， 所以“m2”是是“AB4”的充分不必要条件的充分不必要条件 A 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 题型一题型一 四种命题及其关系四种命题及其关系 例例 1 设原命题是设原命题是“当当 c0 时，若时，若 ab，则，则 acbc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假们的真假 思维启迪思维启迪 先分清原命题的大前提，命题的条件和结先分清原命题的大前提，命题的条件和结论；再写其他命题论；再写其他命题 解解 “当当 c0 时时”是大前提，写其他命题时应该保留，是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是原命题的条件是 ab，结论是，结论是 acbc. 因此它的逆命题：因此它的逆命题： 当当 c0 时，若时，若 acbc，则，则 ab.它是真命题；它是真命题； 否命题：当否命题：当 c0 时，若时，若 ab，则，则 acbc.它是真命题；它是真命题； 逆否命题：当逆否命题：当 c0 时，若时，若 acbc，则，则 ab.它是真命题它是真命题 探究提高探究提高 在判断四个命题之间的关系时， 首先要分清在判断四个命题之间的关系时， 首先要分清命题的条件与结论， 再比较每个命题的条件与结论之间命题的条件与结论， 再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题逆命题”、“否命否命题题”、“逆否命题逆否命题”；要判定命题为假命题时只需举反；要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手 变式训练变式训练 1 若若 a、b、cR，写出命题，写出命题“若若 ac0，则，则ax2bxc0 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根”的逆命题、的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假 解解 逆命题逆命题“若若 ax2bxc0 (a、b、cR)有两个不有两个不相等的实数根，则相等的实数根，则 ac0. 否命题否命题“若若 ac0，则方程，则方程 ax2bxc0 (a、b、cR)没有两个不相等的实数根没有两个不相等的实数根”是假命题这是因为它和逆是假命题这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题命题互为逆否命题，而逆命题是假命题 逆否命题逆否命题“若若 ax2bxc0 (a、b、cR)没有两个不没有两个不相等的实数根，则相等的实数根，则 ac0”是真命题因为原命题是真是真命题因为原命题是真命题，它与原命题等价命题，它与原命题等价 题型二题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断充分、必要、充要条件的概念与判断 例例 2 指出下列命题中，指出下列命题中，p 是是 q 的什么条件的什么条件(在在“充分不充分不必要条件必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充要条件充要条件”、“既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件”中选出一种作答中选出一种作答) (1)在在ABC 中，中，p：AB，q：sin Asin B； (2)对于实数对于实数 x、y，p：xy8，q：x2 或或 y6； (3)非空集合非空集合 A、B 中，中，p：xAB，q：xB； (4)已知已知 x、yR，p：(x1)2(y2)20， q：(x1)(y2)0. 思维启迪思维启迪 首先分清条件和结论，然后根据充要条件首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断的定义进行判断 解解 (1)在在ABC 中，中，ABsin Asin B，反之，反之，若若 sin Asin B， 因为， 因为 A 与与 B 不可能互补不可能互补(因为三角形三因为三角形三个内角和为个内角和为 180 )，所以只有，所以只有 AB.故故 p 是是 q 的充要条的充要条件件 (2)易知，易知，綈綈 p：xy8，綈綈 q：x2 且且 y6，显然，显然 綈綈 q綈綈 p，但，但綈綈 p綈綈 q，即，即綈綈 q 是是綈綈 p 的充分不必要的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是是 q 的充的充分不必要条件分不必要条件 (3)显然显然 xAB 不一定有不一定有 xB，但，但 xB 一定有一定有xAB，所以，所以 p 是是 q 的必要不充分条件的必要不充分条件 (4)条件条件 p：x1 且且 y2，条件，条件 q：x1 或或 y2， 所以所以 pq 但但 qp，故，故 p 是是 q 的充分不必要条件的充分不必要条件 探究提高探究提高 判断判断p p是是q q的什么条件， 需要从两方面分析：的什么条件， 需要从两方面分析：一是由条件一是由条件p p能否推得条件能否推得条件q q；二是由条件；二是由条件q q能否推得能否推得条件条件p p. .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除对于带有否定性的命题或比较难判断的命题， 除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题转化为判断它的等价命题 变式训练变式训练2 给出以下四个条件：给出以下四个条件： ab0； a0或或b0；ab2； a0 且且 b0.其中可以作为其中可以作为“若若 a， bR，则则 ab0”的一个充分而不必要条件的是的一个充分而不必要条件的是_ 解析解析 不是题中结论的充分条件， 如不是题中结论的充分条件， 如 a1， b2；不是题中结论的充分条件，如不是题中结论的充分条件，如 a1，b2；是是题中结论的充分而不必要条件，题中结论的充分而不必要条件，ab2ab0，但反，但反之不成立；之不成立；a0 且且 b0ab0，但反之不成立故填，但反之不成立故填. 题型三题型三 用用“或或”、“且且”、“非非”联结简单命题并判联结简单命题并判 断真假断真假 例例 3 写出由下列各组命题构成的写出由下列各组命题构成的“p 或或 q”、“p 且且 q”、“綈綈 p”形式的复合命题，并判断真假形式的复合命题，并判断真假 (1)p：1 是质数；是质数；q：1 是方程是方程 x22x30 的根；的根； (2)p：平行四边形的对角线相等；：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的：平行四边形的对角线互相垂直；对角线互相垂直； (3)p：55；q：27 不是质数不是质数 思维启迪思维启迪 (1)利用利用“或或”、 “且且”、“非非”把两个命题把两个命题联结成新命题；联结成新命题； (2)根据命题根据命题 p 和命题和命题 q 的真假判断复合命题的真假的真假判断复合命题的真假 解解 (1)p 为假命题，为假命题，q 为真命题为真命题 p 或或 q：1 是质数或是方程是质数或是方程 x22x30 的根，真命题的根，真命题 p 且且 q：1 既是质数又是方程既是质数又是方程 x22x30 的根，假命题的根，假命题 綈綈 p：1 不是质数，真命题不是质数，真命题 (2)p 为假命题，为假命题，q 为假命题为假命题 p 或或 q：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题：平行四边形的对角线相等或互相垂直，假命题 p 且且 q：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题：平行四边形的对角线相等且互相垂直，假命题 綈綈 p：有些平行四边形的对角线不相等，真命题：有些平行四边形的对角线不相等，真命题 (3)p 为真命题，为真命题，q 为真命题，为真命题， p 或或 q：55 或或 27 不是质数，真命题不是质数，真命题 p 且且 q：55 且且 27 不是质数，真命题不是质数，真命题 綈綈 p：55，假命题，假命题 探究提高探究提高 “ “p p或或q q”、“p p且且q q”、“ 綈綈p p”形式命形式命 题真假的判断步骤：题真假的判断步骤： (1)(1)确定命题的构成形式；确定命题的构成形式； (2)(2)判断其中命题判断其中命题p p、q q的真假；的真假； (3)(3)确定确定“p p或或q q”、“p p且且q q”、“ 綈綈p p”形式命题的形式命题的真假真假 变式训练变式训练 3 指出下列命题的真假：指出下列命题的真假： (1)命题命题“不等式不等式|x2|0 没有实数解没有实数解”； (2)命题命题“1 是偶数或奇数是偶数或奇数”； (3)命题命题“ 2属于集合属于集合 Q，也属于集合，也属于集合 R”； (4)命题命题“A AB” 解解 (1)此命题是此命题是“綈綈 p”的形式，其中的形式，其中 p：“不等式不等式 |x2|0 有实数解有实数解”，因为，因为 x2 是该不等式的一是该不等式的一 个解，所以个解，所以 p 是真命题，即是真命题，即綈綈 p 是假命题，所以此命是假命题，所以此命 题是假命题题是假命题 (2)此命题是此命题是“p 或或 q”的形式， 其中的形式， 其中 p： “1 是偶数是偶数”，q：“1 是奇数是奇数”，因为，因为 p 为假命题，为假命题，q 为真命题，所为真命题，所以以 p 或或 q 是真命题，故此命题是真命题是真命题，故此命题是真命题 (3)此命题是此命题是“p 且且 q”的形式，其中的形式，其中 p：“ 2属于集合属于集合Q”，q：“ 2属于集合属于集合 R”，因为，因为 p 为假命题，为假命题，q 为真为真命题，所以命题，所以 p 且且 q 是假命题，故此命题是假命题是假命题，故此命题是假命题 (4)此命题是此命题是“綈綈 p”的形式，其中的形式，其中 p：“AAB”，因为因为 p 为真命题，所以为真命题，所以綈綈 p 为假命题，故此命题是假命为假命题，故此命题是假命题题 题型四题型四 根据含有逻辑联结词的命题的真假， 求参数的根据含有逻辑联结词的命题的真假， 求参数的 取值范围取值范围 例例 4 已知命题已知命题 p： 方程： 方程 x2mx10 有两个不等的负有两个不等的负实数根；命题实数根；命题 q：方程：方程 4x24(m2)x10 无实数无实数根若根若“p 或或 q”为真命题，为真命题，“p 且且 q”为假命题，求为假命题，求m 的取值范围的取值范围 思维启迪思维启迪 先解不等式将命题先解不等式将命题 p 与命题与命题 q 具体化，然后具体化，然后根据根据“p 或或 q”与与“p 且且 q”的条件可以知道命题的条件可以知道命题 p 与命与命题题 q 一真一假，从而求出一真一假，从而求出 m 的取值范围的取值范围 解解 由由 p 得：得： 1m240m2. 由由 q 得：得：216(m2)21616(m24m3)0， 则则 1m2m1或或m3或或 m21m3， 解得解得 m3 或或 10，设命题，设命题 p：函数：函数 yax在在 R 上单调上单调递增；命题递增；命题 q：不等式：不等式 ax2ax10 对任意对任意 xR 恒成恒成立若立若 p 且且 q 为假，为假，p 或或 q 为真，求为真，求 a 的取值范围的取值范围 解解 函数函数 yax在在 R 上单调递增，上单调递增，p：a1. 不等式不等式 ax2ax10 对任意对任意 xR 恒成立，恒成立， a0 且且 a24a0，解得解得 0a4，q：0a1a4，得，得 a4. 当当 p 假，假，q 真时，真时， 0a10a4，得，得 00，且，且 c1，设，设 p：函数：函数 ycx在在 R 上单调递减；上单调递减；q：函数：函数 f(x)x22cx1 在在 12， 上为增函数， 若上为增函数， 若“p 且且 q”为假，为假， “p 或或 q”为真，求实数为真，求实数 c 的取值范围的取值范围 审题视角审题视角 (1)p、q 真时，分别求出相应的真时，分别求出相应的 a 的范围；的范围； (2)用补集的思想，求出用补集的思想，求出綈綈 p、綈綈 q 分别对应的分别对应的 a 的范围；的范围；(3)根据根据“p 且且 q”为假、为假、“p 或或 q”为真，确定为真，确定 p、q 的的真假真假 规范解答规范解答 解解 函数函数 ycx在在 R 上单调递减，上单调递减， 0c1. 2 分分 即即 p：0c0 且且 c1，綈綈 p：c1. 3 分分 又又f(x)x22cx1 在在 12， 上为增函数，上为增函数，c12. 即即 q：00 且且 c1，綈綈 q：c12且且 c1. 5 分分 又又“p 或或 q”为真，为真，“p 且且 q”为假，为假，p 真真 q 假或假或 p 假假 q 真真 6 分分 当当 p 真，真，q 假时，假时，c|0c12且且c1 c|12c1 c|0c12 . 10 分分 综上所述，实数综上所述，实数 c 的取值范围是的取值范围是 c|12c) 小于小于() 是是 都是都是 否定否定 词语词语 不等于不等于() 不大于不大于() 不小于不小于() 不是不是 不都是不都是 正面正面 词语词语 至多有一个至多有一个 至少有一个至少有一个 有一个有一个 所有的所有的 否定否定 词语词语 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 某个某个 某些某些 失误与防范失误与防范 1否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论要注意区别题的否定是只否定命题的结论要注意区别 2判断判断 p 与与 q 之间的关系时，要注意之间的关系时，要注意 p 与与 q 之间关系的方之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆 3p 或或 q 为真命题，只需为真命题，只需 p、q 有一个为真即可，有一个为真即可，p 且且 q 为为真命题，必须真命题，必须 p、q 同时为真同时为真 返回返回 星火益佰精品课件 第二章 函 数 2.12.1 映射与函数映射与函数 基础知识基础知识 自主学习自主学习 要点梳理要点梳理 1映射映射 （1）定义：设）定义：设 A A，B B 是两个集合，如果按照某种对应关是两个集合，如果按照某种对应关 系系 f f ，对于集合，对于集合 A A 中的中的 ，在集合，在集合 B 中都有中都有 的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合 A A，B B，以及集合，以及集合 A A 到集合到集合 B B 的对应关系的对应关系 f f ）叫做）叫做 的映射，记作的映射，记作 f f ：A AB B. （2）象和原象：给定一个集合）象和原象：给定一个集合 A A 到集合到集合 B B 的映射，且的映射，且 a a A A，b bB B，如果元素如果元素 a a 和元素和元素 b b 对应，那么，我们把对应，那么，我们把元素元素 b b 叫做元素叫做元素 a a 的的 ,元素元素 a a 叫做元素叫做元素 b b 的的 . 任何一个元素任何一个元素 唯一唯一 集合集合A A到集到集 合合B B 象象 原象原象 2一一映射一一映射 映射映射 f f ：A AB B 为一一映射，需具备以下两个条件：为一一映射，需具备以下两个条件： (1)在映射在映射f下，下， A中不同的元素在中不同的元素在B中有不同的象；中有不同的象； (2)B 中每一个元素都有原象中每一个元素都有原象 3函数函数 （1）函数的定义）函数的定义 设设 A A，B B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关是非空的数集，如果按某个确定的对应关系系 f f ，使对于集合，使对于集合 A A 中的中的 ，在集合，在集合 B B中中 ，称称 f f ：A AB B 为为从集合从集合 A A 到集合到集合 B B 的一个函数的一个函数.记作记作 y y=f f (x x),x xA A.x x的的取值范围取值范围 A A 叫做函数的叫做函数的 ， 叫做函数的值域叫做函数的值域. (2)函数的三要素函数的三要素 、 和和 . (3)函数的表示法函数的表示法 表示函数的常用方法：表示函数的常用方法： 、 、 . 任意一个数任意一个数x x 都有唯一确定的数都有唯一确定的数f f(x x)和它对和它对应应 定义域定义域 函数值的集合函数值的集合 f f( (x x )|)| x xA A 定义域定义域 值域值域 对应关系对应关系 解析法解析法 列表法列表法 图象法图象法 4反函数反函数 (1)定义定义 函数函数 yf(x) (xA)中，设它的值域为中，设它的值域为 C，根据这个函，根据这个函数中数中 x， y 的关系， 用的关系， 用 y 把把 x 表示出来， 得到表示出来， 得到 x(y) 如 如果对于果对于 y 在在 C 中的中的 ，通过，通过 x(y)，x 在在 A中都有中都有 和它对应，那么，和它对应，那么，x(y)就表示就表示 y 是是自变量，自变量， x是自变量是自变量y的函数， 这样的函数的函数， 这样的函数x(y) (yC)叫做函数叫做函数 yf(x) (xA)的的 ，记作，记作 ，习惯上用习惯上用 x 表示自变量，用表示自变量，用 y 表示函数，把它改写成表示函数，把它改写成 . (2)互为反函数的函数图象的关系互为反函数的函数图象的关系 函数函数 yf(x)的图象和它的反函数的图象和它的反函数 yf1(x)的图象关于的图象关于 直线直线 对称对称 任何一个值任何一个值 唯一的值唯一的值 反函数反函数 x xf f1 1( (y y) ) y yf f1 1( (x x) ) y y x x 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1映射的特征映射的特征 映射是特殊的对应，其映射是特殊的对应，其“特殊性特殊性”在于，它只能是在于，它只能是“一对一一对一”或或“多对一多对一”的对应，不能是的对应，不能是“一对一对多多”的对应 故判断一个对应是否为映射的方法是：的对应 故判断一个对应是否为映射的方法是：首先检验集合首先检验集合A中的每个元素是否在集合中的每个元素是否在集合B中都有中都有象；然后看集合象；然后看集合 A 中每个元素的象是否唯一另外中每个元素的象是否唯一另外还要注意，映射是有方向性的，即还要注意，映射是有方向性的，即 A 到到 B 的映射与的映射与B 到到 A 的映射是不同的的映射是不同的 对映射定义搞清如下几点：对映射定义搞清如下几点： (1)“对应关系对应关系”重在效果，未必要写出，可以重在效果，未必要写出，可以“尽在尽在不言中不言中”；对应关系未必都能用解析式表达；对应关系未必都能用解析式表达 (2)A 中的每一个元素都有象， 且唯一；中的每一个元素都有象， 且唯一； B 中的元素未必中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一有原象，即使有，也未必唯一 (3)若对应关系若对应关系为为 f，则，则 a 的象记为的象记为 f(a) 2函数与映射的区别与联系函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合 A 与集与集合合 B 只能是非空数集， 即函数是非空数集只能是非空数集， 即函数是非空数集 A 到非空到非空数集数集 B 的映射的映射 (2)映射不一定是函数，从映射不一定是函数，从 A 到到 B 的一个映射，的一个映射，A、B 若不是数集，则这个映射便不是函数若不是数集，则这个映射便不是函数 基础自测基础自测 1设一个函数的解析式为设一个函数的解析式为 f(x)2x3，它的值域为，它的值域为 1,2,5,8，则此函数的定义域为，则此函数的定义域为_ 解析解析 由函数的定义，结合函数的解析式可求由函数的定义，结合函数的解析式可求 2，12，1，52 2函数函数 f(x)3x5，x0,1的反函数的反函数 f1(x) _. 解析解析 y3x5，xy53，对换，对换 x、y 得得 yx53. 又又 0 x1，5y8， f(x)的反函数为的反函数为 f1(x)x53，5x8. x53，x5,8 3若函数若函数 f(x2) tan x， (x0)，lg(x)， (x0).则则 f 42 f(98)_. 解析解析 f 42 tan 41， f(98)f(1002)lg 1002， 故故 f 42 f(98)122. 点评点评 运用运用“分段函数分段处理分段函数分段处理”的思想求解的思想求解 2 2 4设集合设集合 Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下，那么下 面的面的 4 个图形中， 能表示集合个图形中， 能表示集合 M 到集合到集合 N 的函数关的函数关系的有系的有 ( ) A B C D 解析解析 由函数的定义，要使函数在定义域上都有图象，由函数的定义，要使函数在定义域上都有图象，并且一个并且一个 x 对应着一个对应着一个 y，据此排除，据此排除，中值域为中值域为y|0y3不合题意不合题意 D 5给出四个命题：给出四个命题： 函数是其定义域到值域的映射；函数是其定义域到值域的映射； f(x) x3 2x是函数；是函数； 函数函数 y2x (xN)的图象是一条直线；的图象是一条直线； f(x)x2x与与 g(x)x 是同一个函数是同一个函数 其中正确的有其中正确的有 ( ) A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 解析解析 由函数的定义知由函数的定义知正确正确 满足满足 f(x) x3 2x的的 x 不存在，不存在，不正确不正确 又又y2x (xN)的图象是一条直线上的一群孤立的的图象是一条直线上的一群孤立的点，点，不正确不正确. 又又f(x)与与 g(x)的定义域不同，的定义域不同，也不正确也不正确 A 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 题型一题型一 对函数概念的准确理解对函数概念的准确理解 例例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)y1，yx0； (2)y x2 x2，y x24； (3)yx，y3t3； (4)y|x|，y( x)2. 思维启迪思维启迪 从函数的三要素的角度来判断是否为同一从函数的三要素的角度来判断是否为同一函数只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函函数只有定义域和对应关系相同的函数才是同一函数数. 解解 (1)y1 的定义域为的定义域为 R，yx0的定义域为的定义域为x|xR且且 x0，它们不它们不是同一函数是同一函数 (2)y x2 x2的定义域为的定义域为x|x2 y x24的定义域为的定义域为x|x2 或或 x2， 它们不是同一函数它们不是同一函数 (3)yx，y3t3t，它们的定义域和对应关系都相同，它们的定义域和对应关系都相同， 它们是同一函数它们是同一函数 (4)y|x|的定义域为的定义域为 R，y( x)2的定义域为的定义域为x|x0，它们不是同一函数它们不是同一函数 探究提高探究提高 函数的三要素是：定义域、值域、对应关函数的三要素是：定义域、值域、对应关系 这三要素不是独立的， 值域可由定义域和对应关系系 这三要素不是独立的， 值域可由定义域和对应关系唯一确定； 因此当唯一确定； 因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数 特别值得说明的是， 对应关系是就效数才是同一函数 特别值得说明的是， 对应关系是就效果而言的果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值， 按照对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值， 按照这两个对应关系算出的函数值是否相同这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上不是指形式上的即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；的即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断断 变式训练变式训练 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数：试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)|x|x，g(x) 1，x0，1，x0； (2)f(x) x x1，g(x) x2x； (3)f(x)x22x1，g(t)t22t1. 解解 (1)由于函数由于函数 f(x)|x|x的定义域为的定义域为(，0)(0，)， 而而 g(x) 1，x0，1，x0的定义域为的定义域为 R，所以它们不是同一函数，所以它们不是同一函数 (2)由于函数由于函数 f(x) x x1的定义域为的定义域为x|x0，而，而 g(x)x2x的定义域为的定义域为x|x1 或或 x0，所以它们不是同一函数，所以它们不是同一函数 (3)两个函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同两个函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数一函数 题型二题型二 求函数的解析式求函数的解析式 例例 2 (1)设二次函数设二次函数 f(x)满足满足 f(x2)f(x2)，且，且图象在图象在 y 轴上的截距为轴上的截距为 1，被，被 x 轴截得的线段长为轴截得的线段长为2 2，求，求 f(x)的解析式；的解析式； (2)已知已知 f(x)满足满足 2f(x)f 1x3x，求，求 f(x) 思维启迪思维启迪 问题问题(1)由题设由题设 f(x)为二次函数， 故可先设出为二次函数， 故可先设出f(x)的表达式，用待定系数法求解；问题的表达式，用待定系数法求解；问题(2)已知条件中已知条件中含含 x，1x，可用解方程组法求解，可用解方程组法求解 解解 (1)f(x)为二次函数，为二次函数， 设设 f(x)ax2bxc (a0)，且，且 f(x)0 的两根为的两根为 x1，x2. 由由 f(x2)f(x2)，得，得 4ab0. 又又|x1x2|b24ac|a|2 2，b24ac8a2. 由已知得由已知得 c1. 由由、式解得式解得 b2，a12，c1， f(x)12x22x1. (2)把题目中的把题目中的 x 换成换成1x，得，得 2f 1xf(x)3x， 联立方程联立方程 2f(x)f 1x3x 2f 1xf(x)3x 2得得 3f(x)6x3x， 所以所以 f(x)2x1x (x0) 探究提高探究提高 求函数解析式的常用方法有：求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用代入法，用g(x)代入代入 f(x)中的中的 x，即得到，即得到 fg(x)的解析式；的解析式；(2)拼凑法，拼凑法，对对fg(x)的解析式进行拼凑变形， 使它能用的解析式进行拼凑变形， 使它能用g(x)表示出来，表示出来，再用再用 x 代替两边的所有代替两边的所有“g(x)”即可；即可；(3)换元法，设换元法，设 tg(x)，解出，解出 x，代入，代入 fg(x)，得，得 f(t)的解析式即可；的解析式即可；(4)待定待定系数法， 若已知系数法， 若已知 f(x)的解析式的类型， 设出它的一般形式，的解析式的类型， 设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式赋予某些特殊值，从而求出其解析式 变式训练变式训练 2 (1)已知已知 f 2x1 lg x，求，求 f(x) (2)已知已知 f(x)是一次函数，且满足是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1) 2x17，求，求 f(x) 解解 (1)令令2x1t，则，则 x2t1， f(t)lg2t1，f(x)lg2x1，x(1，) (2)设设 f(x)axb (a0)，则，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b axb5a2x17， a2，b7，故，故 f(x)2x7. 题型三题型三 分段函数分段函数 例例 3 已知已知 f(x) 1 (x0)1 (x0)， 求不等式， 求不等式 x(x2)f(x 2)5 的解集的解集 思维启迪思维启迪 分段函数问题，要把握好分段求解分段函数问题，要把握好分段求解 解解 由题意知：由题意知： x20 xx25或或 x20 xx25， 解之得解之得2x32或或 x2. 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 ，32. 探究提高探究提高 分段函数是一个函数， 要注意每一分支中的分段函数是一个函数， 要注意每一分支中的自自变量的取值范围，这些范围的并集形成函数的定义变量的取值范围，这些范围的并集形成函数的定义域同样它的值域应是各阶段相应域同样它的值域应是各阶段相应 y 的范围的并集的范围的并集 变式训练变式训练 3 (2010 湖北湖北)已知函数已知函数 f(x) log3x，x0，2x， x0， 则则 f f 19的值为的值为 ( ) A4 B.14 C4 D14 解析解析 f f 19f log319f(2)2214. B 题型四题型四 反函数反函数 例例 4 求下列各函数的反函数：求下列各函数的反函数： (1)ylog12(1x)1 (x1)； (2)y4 3x (x3) 思维启迪思维启迪 解关于解关于 x x 的方程的方程将将 x、y 两个字母对换两个字母对换确定定义域确定定义域 解解 (1)由由 ylog12(1x)1 (x1)， 得得 y1log12(1x) 1x 12y1，即，即 x1 12y1. 又当又当 x0 且且 a1) 解解 (1)原函数原函数 y x2的定义域是的定义域是x20， 即即 x2，值域为，值域为 y0， 由由 y x2，得，得x2y2. xy22. 故故 y x2的反函数是的反函数是 yx22 (x0) (2)设设 y12(axax)，则，则 a2x2yax10. 解得解得 axy y21，由，由 ax0，知，知 axy y21， 即即 xloga(y y21) f1(x)loga(x x21) (xR) 易错警示易错警示 2求函数解析式忽略定义域致误求函数解析式忽略定义域致误 试题：试题：(12 分分)求函数解析式：求函数解析式： (1)已知已知 f x1xx31x3，求，求 f(x)； (2)已知已知 f( x1)x2 x，求，求 f(x) 学生解答展示学生解答展示 解解 33331111(1)()()3(),( )3 .f xxxxxxxxf xxx22222(2)1,(1)21,(1)2,( )21 2(1)1,( )1.xtxtttfxxxf tttttf xx 令即审题视角审题视角 解决此题目的关键是把解决此题目的关键是把 x1x， x1 作为一作为一个整体，然后将其用一个字母个整体，然后将其用一个字母 x 换下所以，可从右侧换下所以，可从右侧入手，如入手，如(1)将右端变成含将右端变成含“x1x”的表达式也可以从的表达式也可以从左端分析，用换元法解决，如左端分析，用换元法解决，如(2)，令，令 x1t，左端为，左端为f(t)然后化简右端然后化简右端 规范解答规范解答 解解 (1)f x1xx31x3 x1x33 x1x， 2 分分 f(x)x33x.又当又当 x0 时，时，x1x2； 当当 x0 时，时，x1x2. 4 分分 f(x)x33x (x2 或或 x2) 6 分分 (2)令令 x1t，则，则 t1.x(t1)2t22t1， f( x1)x2 x， f(t)t22t12(t1)t21. 即即 f(x)x21 (x1) 12分分 批阅笔记批阅笔记 求函数的解析式是一类重要的题目类型 换求函数的解析式是一类重要的题目类型 换元法是解决此类问题的基本方法，但根据题目特点，换元法是解决此类问题的基本方法，但根据题目特点，换元时略有不同一是先配凑，再换元，即通过观察、分元时略有不同一是先配凑，再换元，即通过观察、分析，将右端配凑成括号内的表达式二是令括号内的式析，将右端配凑成括号内的表达式二是令括号内的式子等于子等于 t，然后化简，然后化简 易错点提醒易错点提醒 求函数的解析式问题，一定要注意函数的求函数的解析式问题，一定要注意函数的定义域 这两个小题最易忽略定义域， 从而致误 换元，定义域 这两个小题最易忽略定义域， 从而致误 换元，首先要确定新元的取值范围，这是防止漏掉定义域的好首先要确定新元的取值范围，这是防止漏掉定义域的好办法办法 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法与技巧方法与技巧 1若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数两个函数为同一函数 2函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法，针对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视对近几年的高考分段函数问题要引起足够的重视 3定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的是为了防止出现错误，有时还会为解题带来很大的方便方便 失误与防范失误与防范 1判断对应是否为映射，即看判断对应是否为映射，即看 A 中元素是否满足中元素是否满足“每每元有象元有象”和和“且象惟一且象惟一”但要注意：但要注意：(1)A 中不同中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；多；(2)B 中元素可无原象，即中元素可无原象，即 B 中元素可有剩余中元素可有剩余 2求分段函数应注意的问题求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值在求分段函数的值 f(x0)时， 一定要首先判断时， 一定要首先判断 x0属于属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集的取值范围的并集 返回返回
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