安徽省合肥168中、合肥六中高一数学下学期期末试卷（含解析）

2014-2015学年安徽省合肥168中、合肥六中高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015春合肥校级期末）若数列an的通项公式是an=2（3）n，则该数列是（） A 公比为3的等比数列 B 公比为2的等比数列 C 公比为3的等比数列 D 首项为2的等比数列考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 根据通项公式结合等比数列的定义进行判断即可解答： 解：当n2时，为常数，则数列an是公比为3的等比数列，故选：A点评： 本题主要考查等比数列的判断，根据等比数列的定义是解决本题的关键2（5分）（2015天门模拟）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（） A ，甲比乙成绩稳定 B ，乙比甲成绩稳定 C ，甲比乙成绩稳定 D ，乙比甲成绩稳定考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数专题： 概率与统计分析： 根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可解答： 解：由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；乙的得分情况为15，28，26，28，33，因此可知甲的平均分为，乙的平均分为=86，故可知，排除C、D，同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在86左右，甲的数据比较分散，乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B故选B点评： 本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式，考查学生的计算能力3（5分）（2014安徽模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（） A k7 B k6 C k5 D k4考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案解答： 解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环循环前 1 0第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是第五圈 6 88 否故退出循环的条件应为k5？故答案选C点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误4（5分）（2015春合肥校级期末）已知向量满足，且，则在方向上的投影为（） A 3 B 3 C D 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由，利用数量积等于0代入向量的模后求解解答： 解：因为，所以，即，所以故选B点评： 本题考查了数量积判断向量垂直的关系，考查了平面向量的数量积运算，关键是对投影概念的理解，是基础题5（5分）（2015春合肥校级期末）已知函数f（x）=2x与g（x）=x3的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，其中x1x2若x2（a，a+1），且a为整数，则a=（） A 7 B 8 C 9 D 10考点： 指数函数的图像与性质专题： 函数的性质及应用分析： 构造函数h（x）=f（x）g（x）=2xx3，根据函数零点存在定理即可求出9x210，再有x2（a，a+1），求出a的值解答： 解：设h（x）=f（x）g（x）=2xx3，当x=7时，h（7）=2773=1283430，当x=8时，h（8）=2883=2565120，当x=9时，h（9）=2993=5127200，当x=10时，h（10）=210103=102410000，9x210，x2（a，a+1），a=9，故选：C点评： 本题考查函数零点存在定理，以及指数函数的和幂函数的图象与性质6（5分）（2015春合肥校级期末）已知等比数列an公比为q，其前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（） A B 1 C 或1 D 1或考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的性质以及等差数列的关系进行求解即可解答： 解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q1，则=，即1q3+1q6=22q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2q31=0，解得q3=，故选：A点评： 本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件结合等比数列的前n项和公式建立方程关系是解决本题的关键7（5分）（2015春合肥校级期末）已知函数f（x）=sin2x+cos2xm在0，上有两个零点x1，x2，则tan（x1+x2）的值为（） A B C D 考点： 三角函数中的恒等变换应用专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： 利用两角和与差的正弦将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）m，由x0，2x+，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f（x）=2sin（2x+）m的值域，结合题意可从而可得答案解答： 解：f（x）=sin2x+cos2xm=2（sin2x+cos2x）m=2sin（2x+）m，x0，2x+，sin（2x+）1，12sin（2x+）2，f（x）=sin2x+cos2xm在0，上有两个零点x1，x2，正弦y=m与f（x）=sin2x+cos2x在0，上有两个交点，如图：x1+x2=，tan（x1+x2）=tan=，故选：A点评： 本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x1+x2是关键，属于中档题8（5分）（2015春合肥校级期末）已知函数f（x）的定义域为（32a，a+1），且f（x1）为偶函数，则实数a的值可以是（） A B 2 C 4 D 6考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 根据f（x1）为偶函数，便知f（x1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x1）的定义域为（42a，a+2），从而有42a+a+2=0，这样即可求出a的值解答： 解：f（x1）为偶函数；f（x1）的定义域关于原点对称；由32ax1a+1得42axa+2；42a+a+2=0；a=6故选：D点评： 考查偶函数的定义域的特点，弄清函数f（x）和函数f（x1）的不同，也可通过平移的知识求函数f（x1）的定义域9（5分）（2015春合肥校级期末）实数x，y满足，若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组表示的可行域，将目标函数变形y=x+z，判断出z表示直线的纵截距，结合图象，求出k的范围解答： 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：y=x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z=2a=4a=2故选：B点评： 解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义10（5分）（2015春合肥校级期末）对于正项数列an，定义Hn=为an的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn=，则数列an的通项公式为（） A an= B an= C an= D an=考点： 数列递推式专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 通过定义及Hn=可得a1+2a2+nan=、a1+2a2+（n1）an1=，两式相减，进而计算可得结论解答： 解：Hn=，a1+2a2+nan=，又Hn=，a1+2a2+nan=，a1+2a2+（n1）an1=，两式相减得：nan=，an=，故选：A点评： 本题考查新定义，考查数列的通项，解题的关键是理解新定义，注意解题方法的积累，属于中档题11（5分）（2015春合肥校级期末）已知O是锐角ABC的外接圆圆心，A=30，+=2m，则m的值为（） A B C 1 D 考点： 向量数乘的运算及其几何意义专题： 平面向量及应用分析： 根据向量的三角形法则结合向量数量积的运算进行化简求解即可解答： 解：+=2m，（）+（）=2m，即（）+（）=2m，则（）+（）=2m，即|2（cos2C1）+|2（cos2B1）=2m|2，即（cos2C1）+（cos2B1）=2m，则2cosBsinC2cosCsinB=2m，即2sin（B+C）=2m，则m=sin（B+C）=sinA=sin30=，故选：D点评： 本题主要考查向量数量积的运算以及向量三角形法则的应用，考查学生的运算和推理能力12（5分）（2015绍兴校级模拟）若等差数列an满足a12+a102=10，则S=a10+a11+a19的最大值为（） A 60 B 50 C 45 D 40考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式得（a109d）2+a102=10，由求和公式可得a10=代入（a109d）2+a102=10整理可得关于d的方程，由0可得S的不等式，解不等式可得解答： 解：设等差数列的公差为d，由a12+a102=10得，（a109d）2+a102=10，因为S=a10+a11+a19=10a10+45d，则a10=，代入（a109d）2+a102=10，并整理可得（1352+452）d2360dS+2S21000=0，由关于d的二次方程有实根可得=3602S24（1352+452）（2S21000）0，化简可得S22500，解得S50故选：B点评： 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及二次函数方程根的存在性，考查转化思想，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卷相应位置13（5分）（2014沛县校级模拟）已知函数y=，其中m，n是取自集合1，2，3的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 计算题；概率与统计分析： 在m，n是取自集合1，2，3的两个不同值时得到的函数y=是幂函数，要保证幂函数为偶函数，则需要的分子为偶数，且分母为奇数解答： 解：m，n是取自集合1，2，3的两个不同值，得到的分数为（个）而使函数y=为偶函数的分数需分子为偶数，分母为奇数，共有2，两个所以函数为偶函数的概率为P=故答案为点评： 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了幂函数的奇偶性，是基础题14（5分）（2015春合肥校级期末）在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如表：（已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系）学生的编号i12345数学成绩x8075706560物理成绩y7066686462现已知其线性回归方程为=0.36+a，则根据此线性回归方程估计数学得80分的同学的物理成绩为70（四舍五入到整数）考点： 线性回归方程专题： 概率与统计分析： 分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程，代入x=80，得到y的值即可得到结果解答： 解：由已知数据得，=70，=66，线性回归方程为=0.36+a，则66=0.3670+a，a=40.8线性回归方程为=0.36x+40.8，x=80时，y=0.3680+40.870故答案为：70点评： 本题考查线性回归方程的应用，线性回归方程经过样本中心点，基本知识的考查15（5分）（2015春合肥校级期末）在ABC中，若（+）=|2，则=5考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由已知得到（+）（）=|2，得到三角形的三边关系，结合余弦定理以及三角函数求出解答： 解：由已知（+）=|2，所以（+）（）=|2，即CB2=CA2+AB2，又BC2=AB2+AC22ABACcosA，所以CA2+AB2=AB2+AC22ABACcosA，整理得AB=ACcosA，设AB边上的高为CD，则AD=ACcosA，所以BD=5AD，所以=5故答案为：5点评： 本题考查了平面向量与余弦定理相结合的三角形问题；关键是由已知得到三角形三边关系16（5分）（2015春合肥校级期末）定义数列xn：x1=1，xn+1=3xn3+2xn2+xn；数列yn：yn=；数列zn：zn=；若yn的前n项的积为P，zn的前n项的和为Q，那么P+Q=1考点： 数列递推式专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 通过对xn+1=3+2+xn变形可得=，累乘可得P=，通过变形、分离分母可得zn=，并项累加可得Q=，进而计算可得结论解答： 解：xn+1=3+2+xn，=，P=y1y2yn=，zn=，Q=（）+（）+（）=，x1=1，P+Q=+=+1=1，故答案为：1点评： 本题考查了经过变形利用“累乘求积”求数列的乘积、利用“累加求和”求数列的和的基本技能方法，属于难题三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（2015春合肥校级期末）设集合，P=x|xa（1）求MN（2）若P（RN）=R，求实数a的取值范围考点： 交、并、补集的混合运算；交集及其运算专题： 集合分析： 利用函数的定义域求出M，不等式的解法求出N，补集的定义求出RN，再根据交并运算求出答案解答： 解：（1）对于集合M，得到42xx20，解得1x1+，所以集合M=x|1x1+|，对于集合N，1，即0，即（x2）（x+1）0，解得1x2，所以集合N=x|1x2，MN=x|1x1+，（2）有（1）得RN=x|x1或x2，P=x|xaP（RN）=R，a2点评： 本题考查分式不等式的解法，函数的定义域，交、并、补的运算，属于基础题18（12分）（2015春合肥校级期末）已知函数的部分图象如图所示（1）求f（x）的解析式；（2）在ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=，且a=b+c，试判断三角形的形状考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （1）由函数图象可知T，利用周期公式可求，又点（，0）是f（x）=sin（2x+）的一个对称中心，可得2+=k，kZ，从而解得，即可求得解析式（2）由sin（2B+）=，结合0B可求B，由正弦定理可得sinA=sinB+sinC，化简可得sin（A）=，从而解得A，C的值，即可得解解答： （本小题满分12分）（1）T=2（）=，=2又点（，0）是f（x）=sin（2x+）的一个对称中心，2+=k，kZ，=k令k=1，得=f（x）=sin（2x+），（2）sin（2B+）=，0B，B=，又a=b+c，则sinA=sinB+sinC，sinA=sin（A）=，sin（A）=，A=，所以C=，故ABC为直角三角形点评： 本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本知识的考查19（12分）（2012淄博一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片（I）若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；（）若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率考点： 排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率专题： 计算题分析： （1）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于或等于7的找出来，由此求得3张卡片上数字之和大于或等于7的概率（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字2，从前面列举出的结果中找出来解答： 解：（）由题意知本题是一个古典概型，设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），其中数字之和大于或等于7的是（1、3、4），（2、3、4），（1，2，4），P（A）=（）设B表示事件“至少一次抽到2”，每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果事件B包含的基本结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个基本结果所求事件的概率为P（B）=点评： 本题主要考查古典概型、等可能事件的概率，用列举法计算，可以列举出所有基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题20（12分）（2015春合肥校级期末）已知 an，bn均为等差数列，前n项和分别为 Sn，Tn（1）若对 nN*，有 ，求 的最大值（2）若平面内三个不共线向量 满足 ，且A，B，C三点共线是否存在正整数n，使 Sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由考点： 等差数列的前n项和；平面向量的基本定理及其意义专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由题意和等差数列的求和公式和性质可得 =，由函数的单调性可得；（2）由题意和向量的知识可得a3+a15=1，进而又等差数列的性质可得a1+a17=1，代入等差数列的求和公式可得，可得结论解答： 解：（1）=由反比例函数的单调性可得当n=1时，式子取最大值33；（2）A，B，C三点共线，假设存在正整数n，使，即由平面向量基本定理得，消去得a3+a15=1，又a3+a15=a1+a17，即存在n=17时，S17为定值点评： 本题考查等差数列的求和公式，涉及函数和平面向量的知识，属中档题21（12分）（2013宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设COP=，求POC面积的最大值及此时的值考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数专题： 解三角形分析： （1）在POC中，根据，OP=2，OC=1，利用余弦定理求得PC的值（2）解法一：利用正弦定理求得CP和OC的值，记POC的面积为S（），则，利用两角和差的正弦公式化为，可得时，S（）取得最大值为解法二：利用余弦定理求得OC2+PC2+OCPC=4，再利用基本不等式求得3OCPC4，所以，再根据OC=PC 求得POC面积的最大值时的值解答： 解：（1）在POC中，OP=2，OC=1，由得PC2+PC3=0，解得（2）解法一：CPOB，在POC中，由正弦定理得，即，又，记POC的面积为S（），则=，时，S（）取得最大值为解法二：，即OC2+PC2+OCPC=4又OC2+PC2+OCPC3OCPC，即3OCPC4，当且仅当OC=PC时等号成立，所以，OC=PC，时，S（）取得最大值为点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的，属于中档题22（12分）（2015春合肥校级期末）已知an、bn都是各项均为正数且公差不为0的等差数列，满足anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*）（1）求证：数列an有无穷多个，而数列bn惟一确定；（2）设an+1=，sn=b1+b2+b3+b2n1+b2n，求证：26考点： 数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （1）通过将an=a1+（n1）d，bn=b1+（n1）d2代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*），计算即得结论；（2）一方面通过an+1an计算可得anan+1，放缩可得2nbn+1+bn，进而有Sn=21+3+（2n1），另一方面通过anbn+1=（2nbn）an+10，an+10，可得Sn=2（1+2+2n），计算可得结论解答： 证明：（1）设an、bn公差分别为d1、d2（d1d20），则an=a1+（n1）d，bn=b1+（n1）d2，代入anbn+1+an+1bn=2nan+1（nN*），可得a1+（n1）d1b1+nd2+（a1+nd1）b1+（n1）d2=2n（a1+nd1）是个恒等式，可得，解得，可得an=na1，bn=na1可取无穷多个正实数，可得数列an有无穷多个，而数列bn惟一确定；（2）an+1=，an+1an=an+1=an=0，anan+1，anbn+1+an+1bn=2nan+1an+1bn+1+an+1bn，2nbn+1+bnSn=（b1+b2）+（b3+b4）+（b2n1+b2n）21+3+（2n1）=2n2又anbn+1=（2nbn）an+10，an+10，2nbn0Sn=2（1+2+2n）=2n（1+2n）=4n2+2n，Sn（2n2，4n2+2n），24+6点评： 本题是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题- 17 -