江门市普通高中青年教师基本功比赛数学试卷与评分参考

江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛本试卷共4页，21小题，满分150分。闭卷笔答，答卷用时120分钟参考公式：锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高线性回归方程中系数计算公式，一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则A B C D2在平面直角坐标系中，已知点、，则A B C D以上都不对一年级二年级三年级女生373男生3773703某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为A24 B18 C16 D124记等差数列的前项和为若，则A70 B80 C90 D1005某一双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列，则该双曲线的离心率是A B C D6执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于A B C D7若函数有两个极值点、，且，则关于的方程的不同实根个数是A6 B5 C4 D38设是整数集的非空子集，如果，都有，则称关于数的乘法是封闭的。若、是的两个不相交的非空子集，且，有；，有。则下列结论恒成立的是A、中至少有一个关于乘法是封闭的B、中至多有一个关于乘法是封闭的C、中有且只有一个关于乘法是封闭的D、中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。必做题（913题）9比较大小： （填“”或“” ）10经过点且与抛物线相切的直线的方程是 11已知命题：，则命题的否定： ；是 命题（填“真”或“假” ）12如图，平行六面体中，与相交于，与相交于，若，则 （用、表示）13某数学老师身高178，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是175、172和184因儿子的身高与父亲的身高相关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185选做题（1415题，参赛教师只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（为参数），则直线与圆的位置关系是 15（几何证明选讲选做题）如图，圆的两条弦、相交于圆内一点，已知，。则圆的半径 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)已知函数，的最小正周期 （直接填写答案即可）；若在区间上的最大值为，最小值为，试求17(本小题满分13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市，并停留3天求此人到达当日空气重度污染的概率；设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；由图判断，此人哪天到达，停留期间空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）18(本小题满分14分)如图，直角梯形中，过作，垂足为。、分别是、的中点。现将沿折起，使二面角的平面角为求证：平面平面；求直线与面所成角的正弦值19(本小题满分13分)平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线交于、两点，为的中点，且的斜率为求的方程；、为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值20(本小题满分14分)已知数列的首项，前项和为满足（）求、，并求通项；若存在常数，使得，都有，则称数列有界。设，试判断是否有界，并说明理由21(本小题满分14分)设函数（）当时，求函数的单调区间；当时，求函数在上的最大值江门市2013普通高中青年教师基本功比赛数学评分参考一、选择题 ABCC DBDA二、填空题9； 10；11，（3分）；假（2分）12； 13187； 14相交； 15三、解答题162分4分5分，6分解得或，即或，8分解得或，10分依题意，是区间上的单调函数（单调递增或单调递减）11分，为()或()12分173月1日至3月12日中，空气重度污染的天数为21分所以，此人到达当日空气重度污染的概率为2分依题意，3分由图可知，7分0123分布列为9分11分3月5日到达，停留期间空气质量指数方差最大13分18证明：DEAE，CEAE，AE平面3分 AE平面，平面平面5分（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴、轴，建立空间直角坐标系6分DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=7分，A（2，0，0），B（2,1,0），C（0,1,0），E（0,0,0），D（0，,1）9分、分别是、的中点，F，G10分=,=11分由知是平面的法向量12分设直线与面所成角，则，故求直线与面所成角的正弦值为14分（列式1分，计算1分）（方法二）作，与相交于，连接6分由知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角7分是的中点，是的中位线，8分因为DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即=9分在中，由余弦定理得，（或）11分（列式1分，计算1分）平面，所以，在中， 13分（列式1分，计算1分）所以直线与面所成角的正弦值为14分19椭圆的右焦点为1分直线的方程为，解得2分由得3分，即，4分解得，5分椭圆的方程为6分由得，7分，所以8分，设直线：9分由得，且，即10分11分，因为，所以四边形面积12分，当且仅当时，四边形面积最大，最大值为13分20时，由得，1分同理可得，2分。由得，（否则，从而，与矛盾）3分由得4分，是首项，公差为1的等差数列，5分，6分，所以7分无界8分，9分，因为（）是单调递减函数，根据定积分的几何意义，11分，即，所以12分，因为（）是单调递增减函数，所以，取为大于的整数，均有，所以数列无界14分21时，1分，解得，2分当或时，；当时，所以的单调增区间为和，单调减区间为4分在内有唯一零点5分设，则，单调递增6分，7分，当时，当时，所以在上为减函数，在上为增函数8分，函数在上的最大值9分设，则10分设，则，在上为减函数11分因为，所以在内有唯一零点12分当时，；当时，故在上为增函数，在上为减函数13分又，所以当时，函数在上的最大值14分