江门市普通高中青年教师基本功比赛数学试卷与评分参考

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江门市2013年普通高中青年教师基本功比赛本试卷共4页,21小题,满分150分。闭卷笔答,答卷用时120分钟参考公式:锥体的体积,其中是锥体的底面积,是锥体的高线性回归方程中系数计算公式,一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1设集合,则A B C D2在平面直角坐标系中,已知点、,则A B C D以上都不对一年级二年级三年级女生373男生3773703某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为A24 B18 C16 D124记等差数列的前项和为若,则A70 B80 C90 D1005某一双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等比数列,则该双曲线的离心率是A B C D6执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的属于A B C D7若函数有两个极值点、,且,则关于的方程的不同实根个数是A6 B5 C4 D38设是整数集的非空子集,如果,都有,则称关于数的乘法是封闭的。若、是的两个不相交的非空子集,且,有;,有。则下列结论恒成立的是A、中至少有一个关于乘法是封闭的B、中至多有一个关于乘法是封闭的C、中有且只有一个关于乘法是封闭的D、中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。必做题(913题)9比较大小: (填“”或“” )10经过点且与抛物线相切的直线的方程是 11已知命题:,则命题的否定: ;是 命题(填“真”或“假” )12如图,平行六面体中,与相交于,与相交于,若,则 (用、表示)13某数学老师身高178,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是175、172和184因儿子的身高与父亲的身高相关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185选做题(1415题,参赛教师只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,圆的参数方程为(为参数),则直线与圆的位置关系是 15(几何证明选讲选做题)如图,圆的两条弦、相交于圆内一点,已知,。则圆的半径 三、解答题:本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)已知函数,的最小正周期 (直接填写答案即可);若在区间上的最大值为,最小值为,试求17(本小题满分13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市,并停留3天求此人到达当日空气重度污染的概率;设是此人停留期间空气质量优良的天数,求的分布列与数学期望;由图判断,此人哪天到达,停留期间空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)18(本小题满分14分)如图,直角梯形中,过作,垂足为。、分别是、的中点。现将沿折起,使二面角的平面角为求证:平面平面;求直线与面所成角的正弦值19(本小题满分13分)平面直角坐标系中,过椭圆:()右焦点的直线交于、两点,为的中点,且的斜率为求的方程;、为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值20(本小题满分14分)已知数列的首项,前项和为满足()求、,并求通项;若存在常数,使得,都有,则称数列有界。设,试判断是否有界,并说明理由21(本小题满分14分)设函数()当时,求函数的单调区间;当时,求函数在上的最大值江门市2013普通高中青年教师基本功比赛数学评分参考一、选择题 ABCC DBDA二、填空题9; 10;11,(3分);假(2分)12; 13187; 14相交; 15三、解答题162分4分5分,6分解得或,即或,8分解得或,10分依题意,是区间上的单调函数(单调递增或单调递减)11分,为()或()12分173月1日至3月12日中,空气重度污染的天数为21分所以,此人到达当日空气重度污染的概率为2分依题意,3分由图可知,7分0123分布列为9分11分3月5日到达,停留期间空气质量指数方差最大13分18证明:DEAE,CEAE,AE平面3分 AE平面,平面平面5分(方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴、轴,建立空间直角坐标系6分DEAE,CEAE,是二面角的平面角,即=7分,A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,,1)9分、分别是、的中点,F,G10分=,=11分由知是平面的法向量12分设直线与面所成角,则,故求直线与面所成角的正弦值为14分(列式1分,计算1分)(方法二)作,与相交于,连接6分由知AE平面,所以平面,是直线与平面所成角7分是的中点,是的中位线,8分因为DEAE,CEAE,所以是二面角的平面角,即=9分在中,由余弦定理得,(或)11分(列式1分,计算1分)平面,所以,在中, 13分(列式1分,计算1分)所以直线与面所成角的正弦值为14分19椭圆的右焦点为1分直线的方程为,解得2分由得3分,即,4分解得,5分椭圆的方程为6分由得,7分,所以8分,设直线:9分由得,且,即10分11分,因为,所以四边形面积12分,当且仅当时,四边形面积最大,最大值为13分20时,由得,1分同理可得,2分。由得,(否则,从而,与矛盾)3分由得4分,是首项,公差为1的等差数列,5分,6分,所以7分无界8分,9分,因为()是单调递减函数,根据定积分的几何意义,11分,即,所以12分,因为()是单调递增减函数,所以,取为大于的整数,均有,所以数列无界14分21时,1分,解得,2分当或时,;当时,所以的单调增区间为和,单调减区间为4分在内有唯一零点5分设,则,单调递增6分,7分,当时,当时,所以在上为减函数,在上为增函数8分,函数在上的最大值9分设,则10分设,则,在上为减函数11分因为,所以在内有唯一零点12分当时,;当时,故在上为增函数,在上为减函数13分又,所以当时,函数在上的最大值14分
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