2054021139北京市高三理科数学一轮复习专题突破训练：数列

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、选择、填空题1、（2015年北京高考）设是等差数列. 下列结论中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2、（2014年北京高考）若等差数列满足，则当_时，的前项和最大.3、（2013年北京高考）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.4、（朝阳区2015届高三一模）设S n为等差数列的前n 项和。若，则通项公式。5、（东城区2015届高三二模）已知为各项都是正数的等比数列，若，则（A） （B）（C） （D）6、（丰台区2015届高三一模）在等比数列中，则公比等于(A) -2(B) 1或-2(C) 1(D)1或27、（海淀区2015届高三二模）若等比数列满足，则公比_； 8、（石景山区2015届高三一模）等差数列中，则该数列前项之和为（ ）A B C D9、（西城区2015届高三一模）若数列an满足a1 = 2，且对于任意的m, nN，都有 , 则= ；数列 an 前10 项的和S10 = .10、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列为等差数列，若，则的前项和_11、（丰台区2015届高三上学期期末）等差数列的前n项和为，如果，那么等于_12、（北京四中2015届高三上学期期中）在等差数列中，已知，则该数列前11项和 .13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）数列的前项和记为，若，则数列的通项公式为_14、（东城区2015届高三4月综合练习（一）设等差数列的前项和为，若，则的公差 15、（）已知是等差数列，那么=_；的最大值为_二、解答题1、（2015年北京高考）已知数列满足：， ，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值2、（2014年北京高考）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，（1） 对于数对序列，求的值.（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.3、（2013年北京高考）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1,2,3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.4、（朝阳区2015届高三一模）若数列 中不超过 f (m)的项数恰为b m (mN * )，则称数列是数列 的生成数列，称相应的函数 f (m)是生成 的控制函数。设 f (m) = m2。（1）若数列单调递增，且所有项都是自然数， b1 =1，求a1；（2）若数列单调递增，且所有项都是自然数， a 1= b1 ，求a1 ；（3）若an = 2 n (n =1 ，2 ，3 ) ，是否存在 生成 的控制函数 g(n) = pn2 + qn + r （其中常数p，q，rZ），使得数列也是数列 m b 的生成数列？若存在，求出 g (n)；若不存在，说明理5、（东城区2015届高三二模）已知数列的前项和为，且满足，设，()求证：数列是等比数列；()若，求实数的最小值；（）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前 项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由6、（房山区2015届高三一模）下表给出一个“等差数阵”：47（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.（I）写出的值；（II）写出的计算公式；（III）证明：正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积.7、（丰台区2015届高三一模）如果数列：，且，满足：，； ，那么称数列为“”数列（）已知数列：-2，1，3，-1；数列：0，1，0，-1，1试判断数列，是否为“”数列；（）是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论；（）如果数列是“”数列，求证：数列中必定存在若干项之和为08、（海淀区2015届高三二模）对于数列，经过变换交换中某相邻两段的位置（数列中的一项或连续的几项称为一段），得到数列.例如，数列（，）经交换两段位置，变换为数列.设是有穷数列，令.（）如果数列为，且为. 写出数列；（写出一个即可）（）如果数列为，为，为，为.写出数列；（写出一组即可）（）如果数列为等差数列：，为等差数列：，求的最小值.9、（石景山区2015届高三一模）设数列满足：；所有项；设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3()若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；()设，求数列的伴随数列的前30项之和；()若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和 10、（西城区2015届高三一模）已知点列 (kN*，k2)满足P 1（1，1），中有且只有一个成立写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；证明：对于任意给定的k (kN*，k2)，不存在点列T ，使得；当k = 2n 1且 时，求 的最大值11、（朝阳区2015届高三上学期期末）若有穷数列，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”例如，和都是“对称数列”（）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列求的所有项和；（）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列求的前项和，.12、（东城区2015届高三上学期期末）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和13、（北京四中2015届高三上学期期中）已知数列满足：，.数列的前项和为，.（）求数列，的通项公式；（）设，.求数列的前项和.14、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）给定正奇数，数列：是1，2，的一个排列，定义E（，）为数列：，的位差和。（I）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；（II）若位差和E（，）=4，求满足条件的数列：，的个数；（III）若位差和，求满足条件的数列：的个数。15、（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习）已知数列，是正整数1，2，3，n的一个全排列若对每个都有或3，则称为H数列（）写出满足的所有H数列；（）写出一个满足的数列的通项公式；（）在H数列中，记若数列是公差为d的等差数列，求证：或参考答案一、选择、填空题1、C解析： 2、 由等差数列的性质，于是有，故故，为的前 项和中的最大值3、答案：22n12解析：由题意知.由a2a4a2(1q2)a1q(1q2)20，a12.Sn2n12.4、答案：5、B6、B7、2， 8、C9、答案：8，68210、11、1512、8813、14、115、二、解答题1、解析:（），（）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数由 可归纳证明对任意，是的倍数如果，则的所有元素都是的倍数如果，因为或，所以是的倍数，于是是的倍数类似可得，都是的倍数从而对任意，是的倍数因此集合的所有元素都是的倍数综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数（）由，可归纳证明因为是正整数， 所以是的倍数从而当时，是的倍数如果是的倍数，由（）知对所有正整数，是的倍数因此当时，这时的元素的个数不超过如果不是的倍数，由（）知对所有正整数，不是的倍数因此当时，这时的元素的个数不超过当时，共个元素综上可知，集合元素个数的最大值为2、,;当时：，；，；因为是中最小的数，所以，从而；当时，；，；因为是中最小的数，所以，从而。综上，这两种情况下都有。数列序列，的的值最小；，.3、解：(1)d1d21，d3d43.(2)(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，)(必要性)因为dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn.又因为anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列(3)因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am2的最小正整数，则m2，并且对任意1km，ak2.又因为a12，所以Am12，且Amam2.于是，BmAmdm211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am1，即数列an有无穷多项为1.4、5、解：() 因为，且，所以是首项为，公比为等比数列所以 4分() 由()可得，因为，所以，且所以的最小值为 9分（）由()当时，当时，所以对正整数都有 由，(且)，只能是不小于3的奇数 当为偶数时，因为和都是大于1的正整数，所以存在正整数，使得，,，所以且，相应的，即有，为“指数型和”； 当为奇数时，由于是 个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和” 14分6、（I）解：a45=49. 3分（II）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j1），第i行是首项为4+3（i1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i1）+（2i+1）（j1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j. 7分（III）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），从而N=k（2l+1）+l=akl，可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积 13分7、解：（）数列不是“”数列；数列是“”数列 2分（）不存在一个等差数列是“”数列证明：假设存在等差数列是“”数列，则由 得，与矛盾， 所以假设不成立，即不存在等差数列为“”数列 7分（）将数列按以下方法重新排列：设为重新排列后所得数列的前n项和（且），任取大于0的一项作为第一项，则满足，假设当时，若，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证，若，则剩下的项必有0或与异号的一项，否则总和不是1，所以取0或与异号的一项作为第n项，可以保证如果按上述排列后存在成立，那么命题得证；否则，这m个整数只能取值区间内的非0整数，因为区间内的非0整数至多m-1个，所以必存在，那么从第项到第项之和为，命题得证综上所述，数列中必存在若干项之和为0 13分8、解：（）或. 2分.（）； 4分. 6分（）考虑数列，满足的数对的个数，我们称之为“顺序数”则等差数列：的顺序数为，等差数列：的顺序数为 首先，证明对于一个数列，经过变换，数列的顺序数至多增加2实际上，考虑对数列，交换其相邻两段和的位置，变换为数列.显然至多有三个数对位置变化假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由变为分别将三个不等式相加得与，矛盾所以 经过变换，数列的顺序数至多增加2 其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1设的最小值为，则，即 10分最后，说明可以按下列步骤，使得数列为对数列，第1次交换和位置上的两段，得到数列：；第2次交换和位置上的两段，得到数列：；第3次交换和位置上的两段，得到数列：；，以此类推第次交换和位置上的两段，得到数列：；最终再交换和位置上的两段，即得：所以 的最小值为1008. 13分9、（）1,4,7 3分（）由，得当时， 4分当时， 5分当时， 6分当时， 7分 8分（III） 当时， 9分由得：因为使得成立的的最大值为，所以 当时： 11分当时： 12分所以 13分10、11、（）依题意，.则，.则 .6分（）依题意，因为是50项的“对称数列”，所以， 所以当时，；当时，.综上， .13分12、 13、解: （）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是，.当时，当时，又时，所以，. （）由（）知，所以.所以 (1)等式两边同乘以得(2)(1)-(2)得所以.14、解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）（II）若数列：，的位差和E（，）=4，有如下两种情况：情况一：当，且，其他项（其中）时，有种可能；（5分）情况二：当分别等于，或，或，其他项（其中）时，有种可能；（7分）综上，满足条件的数列：的个数为。（8分）例如：时， 情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4； 情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3； 形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3； 形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。（III）将去绝对值符号后，所得结果为112233的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明，（10分）此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，2个和1个。（11分）上面的讨论表明，题中所求的数列是使得E（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为，的对应值，较小的个数的排列作为，的对应值，于是所求数列的个数为。综上，满足条件的数列的个数为（14分）例如：时，E（）。此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。若E（）=12，此时时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为，将剩余数中较大的2个数的排列作为，的对应值，较小的2个数的排列作为的对应值，于是所求数列的个数为。4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。题目背景：假设现在有种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这种物品进行排列依次编号为，其中是1，2，的一个排列，那么可以用数列：的位差和E（）=，来评判鉴别师的能力。当E（）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；当E（）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；第二问，位差和E（）=4时，给出数列：的情况；第三问，说明位差和E（）最大值为，且给出取得最大值时，数列：的情况。15、解：（）满足条件的数列有两个：（）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，即得数列其中，如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中）（）由题意知，且有解：，则，这与 是矛盾的时，与类似可得不成立时，则不可能成立时，若或，则或若或，则，类似于可知不成立时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或