基于正交球面波插值的近场声全息分辨率增强方法

精品论文推荐基于正交球面波插值的近场声全息分辨率增强方法徐亮，毕传兴，陈心昭，陈剑 合肥工业大学噪声振动工程研究所，安徽省汽车 NVH 与可靠性重点实验室， 安徽合肥(230009)摘要：本文提出一种基于正交球面波插值的近场声全息图像分辨率增强方法。该方法按照Helmholtz 方程确定的声学规律,通过若干不同阶次的球面波源叠加拟合实际声场，实现全息 面声压插值，从而等效地增加全息面声压数据，减小测量间隔，在一定程度上恢复由于实际 测量间隔太大而损失了的倏逝波信息，从而使近场声全息图像得到提高。数值仿真表明该方 法可以有效提高近场声全息图像的分辨率。关键词：Helmholtz 方程；近场声全息；图像分辨率；球面波 中图分类号：TB532文献标识码：A0. 引言近场声全息技术 (Nearfield Acoustic Holography，简称 NAH)是 20 世纪 80 年代 发展起来的一种具有强大的噪声源识别、定 位及声场可视化功能的声学前沿技术14。 由于该技术利用了包含丰富声源细节信息 的倏逝波成份，具有很高的声源识别与定位 精度，因此在机械故障诊断、机械设备噪声 治理工程中有着广泛的应用前景。现代机械设备结构日趋多样化、精细 化，其辐射的声场也越来越复杂，声场所包 含的细节信息也越来越多，要在这种复杂的 声场条件下准确地获得机械结构中噪声源 位置及其表面振动情况，对 NAH 图像的空 间分辨率提出了更高的要求。而高的空间分 辨率意味着丰富的细节信息，因此，要想提 高空间分辨率必须获取声源更多更高频的 空间频率信息（倏逝波）。根据 Nyguist 采样 定理，这就意味着需要提高空间采样频率， 亦即需要减小测量间隔、增加测量点数。然 而，减小测量间隔、增加测量点数将导致测 量工作的复杂化，测量工作量、时间开销都 大大增加，不利于 NAH 技术的广泛应用。 因此研究如何在不增加测量点数的情况下提高 NAH 系统的空间分辨率是很有实际意义的。国内外一些学者对此进行了很有意义 的研究：M R Bai 提出通过迭代 winner 滤波 可以改善全息重建结果的分辨率5，并给出 了数值仿真；M C Harris 提出通过振速传感 器测量表面振速进而计算声压梯度，并以此 为插值条件进行全息面声压插值可以提高 NAH 图像的分辨率6，并进行了实验验证。 在已有成果的基础上，本文提出一种基 于正交球面波插值的近场声全息分辨率增 强方法。该方法首先通过叠加一系列不同强 度、不同阶次的正交球面波源产生的声场来 拟合全息面上实际测得的声场，并由求得的 正交球面波源源强计算各插值节点上的声 压值，实现正交球面波插值；然后再采用基 于 FFT 法的 NAH 方法对插值后所得的全息 面声压进行重建，即可获得更高分辨率的 NAH 图像。与 M C Harris 提出的方法相比，该方法同样是通过全息面声压插值来提高NAH 图像的分辨率，但是该方法不需要声压 梯度信息，因此更容易实现；同时，由于插 值过程利用了全部测点的信息，并且插值所 得声压满足球坐标 Helmholtz 方程，因而具 有较高的插值精度。数值仿真研究验证了所 提出方法的有效性。1.本课题得到国家自然科学基金(10504006, 50675056)及教育部博士点基金(20060359003)的资助。-1-1. 通过插值提高 NAH 图像分辨 率NAH 图像的分辨率是指 NAH 图像对声 源或声场细节信息的反映能力。高的分辨率 意味着 NAH 图像包含随空间距离迅速变化 的丰富的细节信息，这种细节信息在空间频 率域（波数域）中对应于全息面声压傅立叶 谱的高波数分量（倏逝波）。因此如何准确 地获取全息面上更多的高波数成分是提高 NAH 图像的分辨率的关键。在测量系统具有足够的灵敏度和动态范围的条件下，若全息面测量间隔为 ，则根据 Nyguist 采样定理，测量系统理论上所+图 1 球坐标系及其参数球面坐标系下，对于在理想流体介质中 由微小扰动形成的时谐声场，其在无限域中 引起的外部声辐射问题可以由 Helmholtz 方 程的描述为-6-能准确获取的最高波数分量为空间采样频1 2 r2 p 12 sin p 率的二分之一，即r r r r sin 2 +1p + k 2 p = 01 2 = 2 2 2k max =2 （1）r sin （2）根据文献2，由于受到 kmax 的限制，NAH 图像的分辨率 R 始终大于等于测量间隔。由此可见，要提高 NAH 图像的分辨率需要减小测量间隔，提高 kmax，以获取更该方程可以通过分离变量法求解，具体 过程参见文献7，对外辐射问题，其行波解 为 n nm nnn高波数分量的信息。然而，减小就意味着增加测量点数。这将导致测量工作的复杂化，并且受实际测量条件限制，实施起来并p(r, , ) =n= 0 m = nC h(1) (kr )Y m ( , )（3）不容易。对此，按声学规律进行全息面声压 插值是一个更为理想的选择。由于空间中任式中：h (1) (kr ) 为 n 阶第一类球面 Hankel函数， r 为球面波源所处位置与声场中任意m何声波分量，包括低波数的传播波和高波数点之间的距离，Cnm 为待定系数；Yn( , )的倏逝波都遵循 Helmholtz 方程，因此利用为对应于（n,m）阶的球面谐波函数，且全息面实际测量点的数据，通过一定的数值Y m ( , ) =(2 n + 1) ( n m ) ! P m (co s )e im方法，求出各插值节点满足 Helmholtz 方程 的插值解，由于求解过程中利用了 Helmholtzn 4 ( n + m ) ! n（4）n方程所包含的信息，所以这些插值解与精确式中 P m (cos )连带 Legendre 函数，它值之间有着较高的近似程度，从而等效地减 小了测量间隔，提高了图像的分辨率。2. 正交球面波插值法2.1 基本原理是角度、的函数，反映了声压随角度不同而产生的变化。从式(3)可以看出，任何空间声场，无论 是由何种具体声源产生，总可以展开成一系 列不同阶次的第一类球面 Hankel 函数与球 面谐波函数乘积的加权和。因此，从这种意义上说该乘积项相当于一系列球面波源。又因为不同阶次的球面谐波函数具备正交性，J j j因此称该乘积项=j =0C * (r, , )（7）p* (r, , ) = h( 1 ) (kr)Y m ( , )式中，N 为选取的球面波源展开项数，mnnn*（5）为正交球面波源，于是方程(3)可写为 j 对应于（n,m）阶正交球面波源声压 pmn ，n C j 对应于（n,m）阶正交球面波源的源强p(r, , ) = Cnmn=0 m = npmn(r, , )（6）Cnm ，j = n2 + n + m + 1 。*由此可见，空间中任意物体稳态振动产 生的声场可等效为由一系列不同阶次、不同 强度的正交球面波源产生的声场。这样计算 实际声源产生的空间声场时即可抛开实际 声源的具体形式，而直接计算与之等效的正J 为球面波总阶数，J 与 N 的关系为J = ( N + 1) 2 。由式（7）全息面上 M 个实际测点处的声压与各阶正交球面波源间的关系可表示 为如下矩阵形式交球面波源产生的空间声场。于是，全息面插值过程也简化为如下两个步骤：PM =AC （8）T其一是实际声场的拟合，即通过全息面 有限测点处的声压数据来求解将实际声场式中 PM = p(r1 ) p(r2 )K p(rM ) 为全 息面上 M 个实际测点的声压，展开为正交球面波所需的各阶展开系数。 * (r ) * (r )L * (r ) 1 t12 t1J t1 * * * 其二是声辐射过程，即通过第一步中确A = 1 (rt 2 )2 (rt 2 )L J (rt 2 ) 定的各阶展开系数按球面波辐射规律计算 MMLM * (r ) * (r )L * (r )各阶正交球面波源在全息面插值节点处的 1 tM2 tM J tM 声压。实际中利用正交球面波源进行计算 时通常将正交球面波源放置于声源的最A 为各阶正交球面波源到全息面各测点的传递矩阵，其每一列对应一阶正交球面波源在全息面 M 个测点处的声压，如 * (r )JtM小外接球球心，以保证计算精度911。为第 J 阶正交球面波源在第 M 个测点位置的2.2正交球面波插值法的具体算法过声压； C = C1C2 KC jT为对应于各阶正交程由式（6）可知，理论上，要想精确地球面波源的源强组成的列向量。同理，全息面上 Q 个插值节点处的声压拟合实际声场需要无穷阶正交球面波源叠 加。这在实际计算中是不现实的，并且由于实测声压数据不可避免的存在误差，采用过也可表示为PQ = BCJ i1T式中（9）高的正交球面波阶数反而会导致计算误差PQ =p(r1 ) p(r2 )K p(rQ )为全息的增加，因而实际中只能通过有限阶次的球面上 Q 个插值节点处的声压，1 i12 i1 * (r ) * (r )L * (r ) 面波源来进行计算，具体选择方法参见文献 * * * 1 (ri2 ) 2 (ri 2 )L J (ri 2 )8。因此，式（6）可写为B = MMLMN n * * * p(r, , ) = Cnm*n=0 m= npmn(r , , ) 1 (riQ ) 2 (riQ )L J (riQ )B 为各阶正交球面波源到全息面各插值节点的传递矩阵，其每一列对应一阶正交球面波源在全息面 Q 个插值节点处的声压，如息面相同。 * (r) 为第 J 阶正交球面波源在第 Q 个插为了更清楚地反映正交球面波插值法JIQ值点位置的声压；T提高全息图像分辨率的效果，希望简支板振2动在其稍高阶的模态频率上，出现比较复杂C = C1C2 KC j为对应于各阶正交球而规则的模态图案，以便于分辨率的对比。面波源的源强组成的列向量。根据简支板固有频率公式由式（8）可在最小二乘意义下解出源D m 2 n 强 CMC = A1 P（10）f mn = x h L+ =L y m, n (1,2,3K)(12)式中， A1 为 A 的广义逆矩阵。为了保证解的唯一性，正交球面波阶数 J 应小于等式中 D 为板的弯曲刚度Eh3D =12(1 2 )(13)于全息面上的测量点数 M。将式（10）代入式（9）即可得到 PQ 与 PM 之间的关系式中 为泊松比，取为 0.33。由式（12）可得该简支铝板的(3,3)阶模态频率为 532P = B( A1 P )QM（11） 通过式（11）即可利用全息测量面上实 际测得的数据，求出全息面上的各个插值节 点处的声压数据，实现插值过程。得到插值 声压后，通过基于 FFT 法的 NAH 方法进行重建即可获得更高分辨率的 NAH 图像。3. 数值仿真为了验证正交球面波插值法提高全息 图像分辨率的效果，本文进行了单点激励简 支铝板全息声压图像重建的数值仿真研究。3.1仿真参数的选择简支铝板参数如下：长 Lx、宽 Ly 为 0.5 m和 0.6 m，厚度 h 为 0.003 m，杨氏模量 E 为7.11010 Pa,密度 为 2.7103 kg/m3,激励点选在板中心处。全息过程中各面的空间位置关系如下：取激励点为坐标原点，简支铝板 所在的平面 z = 0，全息面位于 z = 0.05m 的平面中，尺寸为 1m1m (-0.5mx0.5m，-0.5my0.5m)，x, y 方向的测量间隔均取为0.05m，因此全息面上共有 2121 个测点。重建面位于 z = 0.02m 的平面中，尺寸与全Hz。因此，选择频率为 532 Hz，大小为 400N 的简谐力激励该简支铝板。3.2 仿真结果图 2 是通过 Ralyiegh 积分计算所得的重 建面上声压理论值。从中可以看到非常清晰 的(3,3)阶模态图案。图 3 为采用全息面上的实测声压直接通 过基于 FFT 法的 NAH 方法重建所得的重建 面上的声压图像。从图中可以看出由于测量间隔较大，图像的分辨率非常低，模态图案边缘处细节损失殆尽，导致图像十分模 糊。对比图、图 3，可见图 3 中模态图案 的形状与理论形状相比只在轮廓上大致相 似，细节上差别很大。图 2 重建面上的理论声压图 3 直接重建所得的重建面上的声压图 4 经正交球面波插值后重建所得重建面上的声 压图 4 为使用正交球面波插值法对全息面 声压数据插值后，利用插值所得的声压数据 通过基于 FFT 法的 NAH 方法重建所得的重 建面声压图像。本次插值过程中，正交球面 波源均置于坐标点（0，0，-0.43）处，共使 用了 16 阶正交球面波拟合声场，x, y 方向的 插值节点间距取为实际测量间距的三分之一，因此插值后声压数据点增加到 6161 个。由图可见，图 4 和图 2 中模态图案的形状 非常一致，仅在模态图案的边缘处有极其细 微的差别。显然，图 4 的分辨率远远高于图3。由此可见经过正交球面波插值后，重建 图像的分辨率得到了显著的提高。4. 结语在测量系统灵敏度和动态范围足够的 情况下，测量间隔是影响 NAH 图像分辨率 的主要因素。它决定了测量系统所能正确获 取的最高波数成分，从而决定了 NAH 图像 分辨率。然而由于空间中的任何声波分量， 包括低波数的传播波和高波数的倏逝波都 遵循 Helmholtz 方程，因此通过满足球坐标 Helmholtz 方程的正交球面波插值，可在一 定程度上恢复由于测量间隔太大损失的高 波数成分，从而实现在不增加测量点数的情 况下有效提高全息图像的分辨率。本文提出 的基于正交球面波插值的近场声全息分辨 率增强方法正是基于上述原理。参考文献1Williams E G ， Maynad J D ， Holographic imaging without the wavelength resolution limit J.Phys. Rev. Lett.，1980，45: 554560.2Maynad J D，Williams E G E G，Lee Y. Nearfieldacoustic holography I: Theory of generalized holography and development of NAH J. J. Acoust.Soc. Am.，1985，78(4): 13951413.3Veronesi W A，Maynad J D. Nearfield acoustic holography (NAH) : Holographic reconstructionalgorithms and computer implementation J. J. Acoust. Soc. Am.，1987，81(5): 13071322.4Hald J，Ginn K B. Vehicle noise investigationusing spatial transformation of sound fields J. Sound& Vibration，1989，23(4): 3845.5Bai M R. Acoustical source characterization by using recursive Wiener filtering J. J. Acoust. Soc. Am., 1995, 97(5): 26572663.6Harris M C，Blotter J D. Obtaining the complexpressure field at the hologram surface for use in near-field acoustical holography when pressure and in-plane velocities are measured J. J. Acoust. Soc.Am., 2006，119: 809816.7莫尔斯 P M，英格特 K U. 理论声学M. 北京: 科学出版社, 1984.8毕传兴. 基于分布源边界点法的近场声全息理 论与实验研究D. 合肥工业大学博士学位论文,2004.9Wang Z and Wu S F. Helmholtz equation-least squares method for reconstructing the acousticpressure field J. J. Acoust. Soc. Am.，1997，102: 20202 032.10 Ayess N，Wu S F. Experimental validations ofthe HELS method for reconstructing acoustic radiation from a complex vibrating structure J. J. Acoust. Soc.Am.，2000，107: 29552964.11 Isakov and Wu S F. On theory and applications of the Helmholtz equation least squares method ininverse acoustics J. Inverse Probl ， 2002 ， 18:11471159.Resolution enhancement of nearfield acoustic holography by interpolation using orthogonal spherical wave sourcesXu Liang, Bi Chuanxing, Chen Xinzhao, Chen JianInstitute of Sound and Vibration Research, Hefei University of Technology, Anhui Key Laboratory of Vehicle NVH and Reliability, Hefei, China (230009)AbstractTo enhance the resolution of the nearfield acoustic holography image，a new method based oninterpolation using orthogonal spherical wave source is proposed in this paper. According to the acoustic rule which is demonstrated by the Helmholtz equation，the interpolation for acoustic pressure is realized by superposing a series of spherical wave sources of deferent orders. So that，acoustic pressure data on hologram surface are increased equivalently，the sampling interval is reduced， information on evanescent waves which is lost because of large sampling interval is recovered，and thenearfield acoustic holography image is improved. Numerical simulation shows that the method can enhance the resolution of the nearfield acoustic holography image efficiently.Keywords：Helmholtz equation；nearfield acoustic holography；resolution；orthogonal spherical wavesourc