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学科：数学教学内容：简单几何体【考点梳理】一、考试内容1棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。2球。3体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。二、考试要求1理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。3了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。三、考点简析1棱柱2棱锥 3棱柱、棱锥的侧面积与体积S正棱柱侧=Ch S正棱锥侧= Ch V柱体=S h V锥体=Sh4球S球=4R2 V球=R3四、思想方法1割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。2正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。3正棱锥的侧面积与底面积的关系。正棱锥：S底=S侧cos4多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。5关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。6关于等积变换问题。等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。【例题解析】例1 如图81，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACCB，ABC=30，侧面A1ABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面，A1AB=60，E、F分别是AB1、BC的中点。（1）求证：EF侧面A1ACC1；（2）求四棱锥AB1BCC1的体积；（3）求EF与侧面A1ABB1所成角的大小。 （1）连结A1B、A1CA1ABB1是菱形，且E是AB1的中点，E是A1B的中点。又F是BC的中点，EFA1C。又A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，EF面A1ACC1。（2）平面A1ABB1平面ABC，交线为AB，在平面A1ABB1内，过A1作A1OAB于O，则A1O平面ABC，且h=A1O=a，又ACCB，ABC=30，V ACCBB=V柱V AABC=Sh Sh=Sh=ACBCA1O=a aa =a3（3）在平面ABC内，过F作FHAB于H，则FH侧面A1ABB1。连结EH，则HEF为EF与侧面A1ABB1所成的角。在RtFHB中，FH=BF=a,BH=a；在HEB中，HE=a，在RtEHF中，tanHEF=,HEF=arctan。例2 如图83，三棱锥PABC中，ABC是正三角形，PCA=90，D为PA的中点，二面角PACB为120，PC=2，AB=2。（1）求证：ACBD；（2）求BD与底面ABC所成的角（用反正弦表示）；（3）求三棱锥PABC的体积。 解 （1）如图84，取AC中点E，连DE、BE，则DEPC，PCAC，DEAC。ABC是正三角形，BEAC。又DE平面DEB，BE平面DEB，DEBE=E，AC平面DEB。DB平面DEB，ACDB。（2）法一：AC平面DEB，AC底面ABC，平面DEB底面ABC，EB是DB在底面ABC内的射影，DBE是BD与底面ABC所成的角。又DEAC，BEAC，DEB即为二面角PACB的平面角。在DEB中，DE=PC=1，BE=AB=3，由余弦定理，得 BD2=12+32 213cos120=13，BD=，由正弦定理，得=，解得sinDBE=，即BD与底面ABC所成的角为arcsin。法二：AC平面DEB，AC平面ABC。平面DEB平面ABC，作DF平面ABC，F为垂足，则F在BE的延长线上，DBF是BD与平面ABC所成的角。DEAC，BEAC，DEB是二面角PACB的平面角。在RtDBF中，DE=PC=1，BE=AB=3，DEB=120，DEF=60，DF=。在DEB中，由余弦定理得BD=，sinDBF=，故BD与底面ABC所成的角为arcsin。（3）AC平面DEB，AC平面PAC，平面DEB平面PAC，过点B作平面PAC的垂线段BG，垂足G在DE的延长线上。在RtBEG中，BEG=60，BE=3，BG=，VPABC=VBPAC=SPACBG=3。例3 如图85，三棱锥PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA、BC的公垂线DE=h，求三棱锥PABC的体积。分析：思路一直接求三棱锥PABC的体积比较困难。考虑到DE是棱PA和BC的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥PEBC和AEBC，利用PA截面EBC，且EBC的面积易求，从而体积可求。解 如图851，连结BE，CE。DE是PA、BC的公垂线，PADE。又PABC，PA截面EBC。VPEBC=SEBCPE，VAEBC=SEBCAE。DEBC，SEBC=BCDE=lh,VPABC=VPEBC+VAEBC=SEBC（PE+AE）=PASEBC=l2h。注 本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面EBC，而高的和恰为PA，因而计算简便。思路二 本题也可用补形法求解。解 如图852，将ABC补成平行四边形ABCD，连结PD，则PAAD，且BC平面PAD，故C到平面PAD的距离即为BC和平面PAD的距离。MNPA，又MNBC，BCAD，MNAD， MN平面PAD。故 VPABC=VPADC=VCPAD=SPADMN=（PAAD）MN=l2h。注 本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，以达到求体积的目的。本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？例4 如图86，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，并且PD=a, PA=PC=a。（1）求证：PD平面ABCD；（2）求异面直线PB与AC所成的角；（3）求二面角APBD的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。解 （1）PC=a，PD=DC=a,PDC是Rt，且PDDC。同理，PDAD。而ADDC=D，PD平面ABCD。（2）如图87，连BD，ABCD是正方形，BDAC。又PD平面ABCD。BD是PB在平面ABCD上的射影。由三垂线定理，得PBAC。PB与AC成90角。（3）设ACBD=O，作AEPB于E，连OE。ACBD，又PD平面ABCD，AC平面ABCD。PDAC。而PDBD=D，AC平面PDB，则OE是AE在平面PDB上的射影。由三垂线定理逆定理知OEPB，AEO是二面角APBD的平面角。PD平面ABCD，DAAB。PAAB。在RtPAB中，AEPB=PAAB。又AB= a ，AP=a，PB=a，AE=a。 又AO=asinAEO=,AEO=60二面角APBD的大小为60。（4）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为R。由体积关系，得VPABCD=R（SPDC+ SPDA+ SPBC+ SPAB+ S正方形ABCD）=R（+a2+a2 + a2）。又，R(2a2+a2)= a3R=。例5 如图88，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。求：（1）二面角CEBO1的正切值；（2）异面直线EB与O1F所成角的余弦值；（3）三棱锥O1BEF的体积。解 如图89，（1）取上底面的中心O， OGEB于G，连OO1和GO1。由长方体的性质得OO1平面ABCD，则由三垂线定理得O1GEB，则OGO1为二面角CEBO1的平面角。由已知可求得EB=2。利用ABEGEO（图810），可求得OG=。在RtO1OG中，tanO1GO=4。（2）在B1C1上取点H，使B1H=1，连O1H和FH。易证明O1HEB，则FO1H为异面直线EB与所成角。又O1H=BE=，HF=5，O1F=2，在O1HF中，由余弦定理，得cosFO1H=（3）连HB，HE，由O1HEB，得O1H平面BEF。VOBEF=VHBEF= VEBHF=SBHFABSBHF=32（18+34+44）=14BEF=144=例6 如图812，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解 如图812，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。注 本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。例7 如图813所示，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成的角为arccos，求四面体ABCD的体积。解 如图814，过A引BE的平行线，交CB的延长线于F，则DAF是异面直线BE与AD所成的角。DAF=arccosE是AC的中点，B是CF的中点，且BF=AB=2。ABBC=2 AF=2BE=2DF=DA，DBBA，DBBF，BF=BA，则三角形ADF是等腰三角形，AD=，BD=4故四面体VABCD=ABBCBD=，因此四面体ABCD的体积是。例8 如图815，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。解 （1）如图816，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而OM=ON。 点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=AO=AMsec=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9 =,A1O=，平行六面体的体积V=54=30。例9 如图817，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC与底面ABCD所成角为45，AB=a。（1）求截面EAC的面积；（2）求异面直线A1B1与AC之间的距离；（3）求三棱锥B1EAC的体积。（1999年全国高考试题）解 （1）如图818，连结DB交AC于O，连结EO。底面ABCD是正方形，DOAC。又ED底面AC，EOAC。EOD就是面EAC与底面AC所成的二面角的平面角，EOD=45。又DO=a, AC=a, EO=asec45=a,故SEAC=a2。（2）由题设ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，得A1A底面AC，A1AAC。又A1AA1B1，A1A是异面直线A1B1与AC之间的公垂线。D1B面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，D1BEO。又O是DB的中点，E是D1D的中点，D1B=2EO=2a。D1D=a，即异面直线A1B1与AC之间的距离为a。（3）法一：如图818，连结D1B，D1D=DB=a,四边形BDD1B1是正方形。连结B1D交D1B于P，交EO于Q。B1DD1B，EOD1B，B1DEO。又ACEO，ACED，AC面BDD1B1，B1DAC，B1D面EAC。则B1Q是三棱锥B1EAC的高。由DQ=PQ得B1Q= B1D=a,=a 2a =a 3。所以三棱锥B1EAC的体积是a 3。法二：连结B1O，则AO面BDD1B1，AO是三棱锥AEOB1的高，且AO=a。在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如图819），则=a2。=2 a 2a=a 3。所以三棱锥B1EAC的体积是a 3。
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