数学专业毕业论文1

宁夏师范学院2010届毕业生毕业论文题 目： 感受数学中的美 院 系： 数学与计算机科学学院 指导教师： 班 级： 姓 名： 完成时间： 摘 要所谓“数学的和谐”不仅是宇宙的特点，原子的特点，也是生命的特点，人的特点。宇宙的概念常常在哲学家的脑子里被表现为和谐，因为宇宙是和谐的。庄子、毕达哥拉斯、柏拉图等均把宇宙的和谐音乐的和谐，比拟为我们听不到的一首诗。数学也是自然科学的语言，故它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见，让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。因而数学美是具体、形象、生动的数学美的起源遥远、历史悠久. 美与和谐是人们追求数学美的准则，也是人们建立数学理论的依据关键词 ：和谐性、简洁美、和谐美、对称美、形式美目 录前言：和谐是数学美的一种本质，它来自自然各部分的和谐的秩序。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见，让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界。以一颗追求美的心与对数学的热爱结合，那么，我们将发现一个更令我们心旷神怡的和谐的数学世界。学习了数学专业后，发现自己对数学越来越是喜爱，尤其是每天看着一些几何图案后，发觉到自己的身边原来一直隐藏着这么多的数学知识，而这些数学知识又组成了生活中无数美丽的风景。总觉得突然看到了另一番场景，令我痴迷。这些数字，那些符号仅仅是表现在课本中么？仅仅发挥在算术中么？不，它们存在于我们的生活中，无时无刻，围绕着。下面，我们就从数学中的简洁、和谐、对称、形式四个方面来谈谈数学中的美。一、简洁美-41、从欧拉公式看简洁-42、动能系统公式下的简洁-43、数学中简洁美的其他体现-4二、和谐美-51、黄金分割美-52、笛卡尔曲线美-5三、对称美-61、杨辉三角对称美-6 2、数学中的其他对称美-6四、形式美-71论述数学中的形式美-7 2从堆垒函数看形式美-7结论-8参考文献-9一、简洁美爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是美外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。这种简洁明了的美才体现了人类追求和谐的美，数学不追求实用，而是竭尽全力致力于美的追求索取。数学基本概念、理论或公式所呈现的简单性就是一种实实在在的简洁美。而且这一种简洁美中，往往又包含了物质世界的伟力和完美性。1、从欧拉公式看简洁表达数学简洁明了而囊括宇内的美，人们常常提到的是“欧拉公式”。这个公式吧数学里面三个既富有魅力又具有霸权的三个量，结合成一个明晰爽朗的式子：欧拉公式里面，e是自然对数的底，i是虚数单位，而则是众所周知的圆周率。这三个量经常在非常繁杂的运算或推导中扮演着重要的角色，有关圆的推导计算是绝对离不开的；e则不仅是对数活动的主角，它还在一系列概率分布里面经常出现；i对于现代化的最大贡献是电工学公式离不开它，所以电灯电话、卫星影视、手机等全少不了一个i，欧拉公式一举把这三个量用最简单的等式联系起来，等于让三美并立，哪得不美？而这份美又是多么的和谐，让人产生无限的遐想2、动能系统公式下的简洁数学上的简洁直接孕育和产生美。俄国数学家李雅普诺夫，他在研究微分方程稳定性时得出了一般动能系统公式。动能系统公式一般都很复杂，可以拿一个简化的叠代公式做例子。但是，有这份简洁所产生的氛围和宇宙，却是一种奇巧冷峻的和谐的美。上面的简单代数叠代里，b是一个常数，r的值可以在一定范围内选取，再让n趋向于无穷，就得到了这么一份份伸展向无穷遐想的无上的数学美。3、数学中简洁美的其他体现著名科学家伽利略也说过：“数学是上帝用来书写字宙的文字”数学之所以用途如此之广，系由其自身的特点决定简洁本身就是一种美，而数学的首要特点在于它的简洁数学家莫德尔说：在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了自然界原本就是简洁的：光是直线方向传播这是光传播的最捷路线；植物的叶序排布(比如我们介绍过的某些物相邻两叶片在茎上排布夹角为137028,)是植物叶子通风、采光最佳的布局；某些攀缘植物如藤类，它们绕着攀依物螺旋式的向上延长，它们所选的螺线形状对于植物上攀路径来讲是最节省的大雁迁徙时排成的人字形，一边与其飞行方向夹角是，从空气动力学角度看，这个角度对于大雁队伍飞行是最佳的，即阻力最小在人体中，人的粗细血管直径之比总剿2：l，这种比值的分支导流系统经流体动力学研究表明，它在输导液体时能量消耗最少生物学家和数学家们(比如著名科学家开普勒、数学家列厄木、柯尼希等在研究蜂房构造时发现：在体积一定的条件下，蜂房的构造是最省材料的这些最佳、最好、最省、的事实，来自生物的进化与自然选择，然而它同时展现了自然界的简洁，而且也展现了自然界的和谐宇宙万物如此，描述宇宙的文字与工具的数学也应如此诗人但了曾赞美道：“圆是最美的图形”太阳是圆的、满月是圆的、水珠看上去(投影)是圆的、，圆的线条明快、简练、对称近代数学研究还发现圆的等周极值性质，在周长给定的封闭图形中，圆所围的面积最大。数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。”二、和谐美 数学的严谨自然流露出它的和谐，为了追求严谨、追求和谐，数学家们一直在努力，以消除其中的不和谐东西，比如悖论，它是指一个自相矛盾、对广泛认同的见解的一个反例、一种误解，或看似正确的错误命题及看似错误的正确命题在很大意义上讲，悖论对数学的发展起着举足轻重的作用数学史上被称作“数学危机”的现象正是由于某些数学理论不和谐所致但通过消除这些不和谐事例的研究，反过来却导致和促进了数学本身的进一步发展 1、黄金分割美 一切空间图形都可以简化抽象为点、线、面、体，这充分显示出数学和谐的美的规范。这种美感既是精细的，又是深邃的。 和谐的实例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割。它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志。这神圣的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神。人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的的魅力也离不开它。真是：哪里有黄金数，哪里就有美的闪光。 2、笛卡尔曲线美数学的和谐美还体现在公式、图形的对称性之中。数学的和谐不仅在于要能解释自然，仿效自然，还在于它能描述自然很久以前数学家们就已经注意到某些植物的叶、花形状与一些封闭曲线非常相似17世纪法国数学家笛卡尔由于发明坐标法使他得到了富有诗意和数学美感的“莱莉花瓣”笛卡尔曲线，其方程是：此后有人利用上述方程去描述花的外部轮廓，这些曲线称为“玫瑰形线”，在极坐标系下方程为，其中a和k为给定的正的常数k的取值不同时，得到花办数不一样；a的大小确定花办的长短毕达哥拉斯有句名言：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形小最美的是圆形。”而圆和球形正是几何中对称美的杰出体现，圆是关于圆心对称的，也是关于圆心的任一条直线对称的。球形既是点对称，又是线对称，还是面对称的。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。 数学首先有一种和谐精巧的美。和谐，像“斜影风前合，圆纹水上开”那么和谐。数学就像一件精美的艺术品，各个组成部分镶嵌拼合在一起，注定是像“善附者异旨如肝胆”一般，“蝶穿花径，鹤舞云衢”那么珠联璧合，天衣无缝。三、对称美对称通常是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广，常把某些具有关联或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分。对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都有重大意义，数学则是它的根本，美和对称紧密相连。 大自然中具有对称美的事物许许多多，如枫叶、雪花等等。对称本身就是一种和谐，一种美。对称美是数学美的一个重要的组成部分，它普遍存在与数学的各个分支。1、杨辉三角对称美对称是代数中随处可见的现象。譬如，实数a与-a互为相反数，复数a+bi与a-bi互为共轭复数，导数的运算法则，（u+v）u+v，（uv）uv+uv，这些有着明显的对称性。还有，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感。 古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。是不是只有几何中才有对称美呢?下列是对称的杨辉三角。美吗？当然！ 1 1 1 1 2 1 l 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 它具有的性质： （1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 （2）第n行的数字个数为n个。 （3）第n行数字和为2（n-1）。 （4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形。 “杨辉三角”形式上所具有的对称美和谐统一，令人叹为观止。2、数学中的其他对称美几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界。 在几何中，许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性。自然对数(以e为底)的产生也是因为常用对数的真数N与其对数logN增长的不对称(或不匀称)性启发而产生的这样说也许并不夸张：数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的，数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。数学中的对称性，不仅给我们带来了计算上的方便，更给我们的思维以启迪，从而促进创造性思维的萌生。四、形式美 数学的美表现在一种重现自然美，而又高于自然美的一种形式美，这关乎数学模型，也涉及数学计算。数学模型就是一堆数学式子，连同一些大白话来描述、或者重现我们观察到的自然或社会现象，数学模型重现自然，但是高于自然，它重现的很干净、整洁。在形式数学中，每一步骤或为允许的，或为不正确的。艺术家们追求的美中，形式是特别重要的比如艺术家注意到：泰山的雄伟、华山的险峻、黄山的奇特、峨眉山的秀丽、青海的幽深、滇池的开阔、黄河的婉蜒、长江的浩瀚、，艺术家渲染它们的美时，常常运用不同的形式数学家们也十分注重数学的形式美，尽管有时它们含义更加深邃，比如整齐简练的数学方程、匀称规则的几何图形都可以看成一种形式美，这是与自然规律的外在表述(形式)有关的一种美寻求一种最适合表现自然规律的方法(语言)是对科学理论形式美的追求我们将数堆垒表示成某种数和（包括连分数）的形式，通常把它拓广到函数的情形。函数的幂级数展开、泰勒级数展开、正是这种对形式美感追求的必然结果。利用对数和根号表示整数，比如：你会觉得奇妙，那么任何可积函数f（x）均可以表示成三角级数：其中 ( n=0,1,2)这就更令人觉得奇妙，若使函数f(x)在x=0的邻域内无穷次可微，且有常数M，使M（x,nN）,则f(x)还可以写成幂级数：函数的这些展开，从形式上看显然富有美感，从数学意义上讲更是有其深刻的内涵。数学有其自身的美，这显然包括所求结果(论)的对称与符合比例，没有多余的成分以及方法严格地适合日的，在数学之外，这些只有在最美的音乐艺术、文学作品中才能见到数学是艺术，然后才是科学，因为数学家的活动是不断创造的，这与音乐家、艺术家、画家、作家的活动相似数学中的美与艺术美的相似性不像与自然美的相似性那样大，它反映了具有分析、反射、抽象、创新能力的思想，并取得了人们的一致认可与赞誉，数学又是一种语言，且是内容、形式与结构上最完美的语言。结论：数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。在数学中，毕达哥拉斯首先提出“美是和谐与比例”，“世界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”美与和谐是人们追求数学美(如果他们意识到了的话)的准则，也是人们建立数学理论的依据“对称”最初源于几何，但对称也是一种和谐美。毕达哥拉斯、柏拉图所认为的宇宙结构最简单的基元正多面体是对称的；他们喜欢的图案五角星也是对称的；圆也是一种对称图形(诗人坦丁曾感叹到：圆是最美的图形；形式美也是为数学家们所关注的，无论是毕达哥拉斯学派对于多角数的研究；还是数千年来一直为人们所称奇的“幻方”的制作；都是人们对数学形式美追求的结晶。 参考文献马一书。数学中的对称之美（J）肖倩。对称美在高等数学中的应用（A）胡本荣。从对称性看数学中的美学（N）牛宏宝。 美学概论（M）。 中国人民大学出版社。2003.8吴振奎，吴旻。数学中的美（M）。 上海教育出版社 2002.9。王朝闻。美学概论M。北京:人民出版社，1981。塞吉兰。做数学之美妙（M）。四川大学出版社。2001