资源描述
2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分1. (5 分)(2015?浙江)已知集合 P=x|x 2 2x 可, Q=x|1 x nC. ?ncN*, f (nc) ?N*且 f (n0) n0B. ?nCN , f(n) ?N或 f (n) nD. ?n0CN , f (n0) ?N 或 f (n。) n05. （5分）（2015?浙江）如图，设抛物线 y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不 同的点A, B, C,其中点A, B在抛物线上，点 C在y轴上，则 BCF AACF的面积之 比是（）6. (5 分)(2015?浙江)设 A, B 是有限集，定义：d(A, B) =card (AUB) - card (APB), 其中card (A)表示有限集 A中的元素个数()命题：对任意有限集 A, B, A出”是d (A, B) 0”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A, B, C, d (A, C)司(A, B) +d (B, C)A .命题和命题都成立B.命题 和命题 都不成立C.命题成立，命题 不成立D.命题 不成立，命题 成立7. (5分)(2015?浙江)存在函数f (x)满足，对任意xCR都有()A - f (sin2x) =sinx B. f (sin2x) =x2+xC. f (x2+1) =|x+1| D. f (x2+2x) =|x+1|8. (5分)(2015?浙江)如图，已知ABC刀是人8的中点，沿直线CD将4ACD折成AA CD ,所成二面角A CD - B的平面角为a,则()D. /ACBA . /ADBW”B. Z A DB a C. Z A CB a非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分. J j9. (6分)(2015?浙江)双曲线 方-y1的焦距是,渐近线方程是.算一 3,10. (6分)(2015?浙江)已知函数 f(x)=乂，则 f(f(- 3)=lg (J+i)Klb（红巳1+肝2）I =1（Xq. v口 Er），则x0=,y0=, I b|=三、解答题：本大题共 5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.JI16. （14分）（2015?浙江）在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知A=,b2-a2=lc2 2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3,求b的值.17. （15 分）（2015?浙江）如图，在三柱 ABC A1B1C1 中，/ BAC=90 , AB=AC=2 ,AiA=4,Ai在底面ABC的射影为BC的中点，D是BiCi的中点.（1）证明：A1DL平面 A1BC;（2）求二面角 Ai - BD - Bi的平面角的余弦值.CiD18. (15 分)(2015硼江)已知函数 f (x) =x2+ax+b (a, b CR),记 M (a, b)是 |f (x) | 在区间-1, 1上的最大值.(1)证明：当|a|总 时，M (a, b)或；(2)当a, b满足M (a, b) V时，求|a|+|b|的最大值./2119. (15分)(2015硼江)已知椭圆 匕=1上两个不同的点 A, B关于直线y=mx+工对22称.(1)求实数m的取值范围；(2)求4AOB面积的最大值(O为坐标原点).20. (15 分)(2015硼江)已知数列an满足 a1=且 an+1=an-an2 (nCN*)*(1)证明：1(nCN );%+1(2)设数列an2的前n项和为Sn,证明1 U Sn12 (n+2) * n %2 (n+1)(nCN*).2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一 考试（浙江卷）数学（理科）1. （5 分）（2015?浙江）已知集合 P=x|x 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. （5分）（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（） 2x 可, Q=x|1 x222=rTn3 .33故选：C.点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力.3. （5分）（2015?浙江）已知an是等差数列，公差 d不为零，前n项和是Sn,若a3, 加, a8成等比数列，则（）A -aid0,dS40B.aid0,dS40,dS4 0D. aid0考点：等差数列与等比数列的综合.专题：等差数列与等比数列.分析：由a3, a4, a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断aid和dS4的符号.解答：解：设等差数列an的首项为ai,则03=ai+2d, a4=ai+3d, a8=ai+7d,由a3, a4, a8成等比数列，得 （%+3d）&（&+2d）（%+74），整理得:3d= - 5 d2.aid=-iai20,34乂3（一2）6a/d$4= 一5劭-）二一 耳勺（4%.了01）=_25- nC. ?noCN , f (no) ?N 且 (no) noB. ?nN*, f (n) ?N*或 f (n) nD. ?noCN , f (no) ?N 或 f (no) no考点：命题的否定.专题：简易逻辑.分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：？noCN*, f （no） ?N*或 f （n0） no, 故选：D.点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.5. （5分）（2。15?浙江）如图，设抛物线 y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不 同的点A, B, C,其中点A, B在抛物线上，点 C在y轴上，则 BCF AACF的面积之 比是（）iBFl-H|AF|+1考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为胆口的关系进行求解即可.解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x= - 1,过A, B分另1J作AELDE于E,交y轴于N, BD，DE于E,交y轴于M , 由抛物线的定义知 BF=BD , AF=AE ,则 |BM|=|BD| 1=|BF| - 1 ,|AN|=|AE| 1=|AF| - 1,川不两画所T故选：A) +点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6. (5 分)(2015?浙江)设 A, B 是有限集，定义：d(A, B) =card (AU B) - card (APB), 其中card (A)表示有限集 A中的元素个数()命题：对任意有限集 A, B, A出”是d (A, B) 0”的充分必要条件；命题：对任意有限集 A, B, C, d (A, C)司(A, B) +d (B, C)A .命题和命题都成立B.命题 和命题 都不成立C.命题成立，命题 不成立D.命题 不成立，命题 成立 考点：复合命题的真假.专题：集合；简易逻辑.分析：命题根据充要条件分充分性和必要性判断即可, 借助新定义，根据集合的运算，判断即可.解答：解：命题：对任意有限集 A, B,若A田”，则AU BAAB,则card (AU B) card (APB)，故 d (A, B) 0”成立，若 d (A, B) 0，则 card (AU B) card (APB),则 AUB 次 AB,故 A 汨成立， 故命题成立，命题 ,d (A, B) =card (AU B) card (A AB), d (B, C) =card (B UC) card (b nc),d (A, B) +d (B, C) =card (AU B) - card (APB) +card (BUC) - card (BAC) =card (AU B) +card (BUC) - card (APB) +card (BAC)Rard (AUC) - card (A AC) =d (A, C),故命题 成立，故选：A点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素 个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数，体现两个集合的关 系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题.7. (5分)(2015?浙江)存在函数f (x)满足，对任意xCR都有()A . f (sin2x) =sinx B. f (sin2x) =x专题：函数的性质及应用.分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可.解答：解：A.取 x=0,则 sin2x=0, f (0) =0;取 x=三，贝U sin2x=0 , 1. f (0) =1; .f (0) =0,和1,不符合函数的定义；不存在函数 f (x),对任意x贝都有f (sin2x) =sinx;B.取 x=0,则 f (0) =0;取 x=兀，则 f (0) =7t2+ 兀； .f (0)有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；C.取 x=1 ,贝U f (2) =2,取 x= - 1,则 f (2) =0;这样f (2)有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D.令 |x+1|=t, t可，贝U f (t2 1) =t；令 t2 - 1=x ,则 t=Vx+l；f 二V7T1； _即存在函数f (x) =Vx+l,对任意x R,者B有f (x2+2x) =|x+1|;，该选项正确.故选：D.点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难.8.(5分)(2015?浙江)如图，已知4ABC , D是AB的中点，沿直线CD将4ACD折成AA CD , 所成二面角A CD - B的平面角为a,则()点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.+xC. f (x2+1) =|x+1| D. f (x2+2x) =|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法.C. /ACBWaD. /ACB考点：二面角的平面角及求法.专题：创新题型；空间角.分析：解：画出图形，分 AC=BC , AC由C两种情况讨论即可. 解答：解：当AC=BC时，/ A DB=% 当AC书C时，如图，点 A投影在AE上，炉/ A OE ,连结AA易得/ ADA / A OE,即/ A DB a综上所述，/ ADBa 故选：B.点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分.9. （6分）（2015?浙江）双曲线 卷- 叱1的焦距是渐近线方程是y=考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程.解：双曲线为/=1 中）a=v2, b=1）c=V3, .焦距是2c=2如，渐近线方程是 y=翼. 故答案为：273； y=1x.10. (6 分)(2015硼江)已知函数 f (x)= 工，贝U f (f( - 3) = 0lg (J+l)S1*f (x)的最小值是_2-3一考点：函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用.分析：根据已知函数可先求f ( - 3) =1,然后代入可求f (f (-3);由于x*时，f (x)二工+2 - 3,当x 1时，f (x) =lg (x2+1),分别求出每段函数的取值范围，即可求X解解答：f 9解： f (x)=工，lg (x2+l) , X2& - 3,即最小值 2V2 - 3,当 xv 1 时，x2+1 高，(x) =lg (x2+1)用最小值 0,故f (x)的最小值是2近-3.故答案为：0; 2加一3.点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题.11. (6分)(2015?浙江)函数f (x) =sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 兀.单调递减区 间是 k +12, kj+工工(kez).88考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性.专题：三角函数的求值.由三角函数公式化简可得f (x) =sin (2x-) +1,易得最小正周期，解不等式24 二j Ij Iq JI2k 71+Vx k 7t+一丁可得函数的单调递减区间.242解答：解：化简可得 f (x) =sin2x+sinxcosx+1= (1 - cos2x) +?sin2x+1223 +，:V2兀=rsin (2x 7)24原函数的最小正周期为丁=空=兀,2由 2k Tt+JLx .210, IP |6-x-3y|=6-x - 3y,如图直线2x+y -2=0将圆x2+y2=i分成两部分，在直线的上方(含直线)，即有2x+y - 2涮，即|2+y - 2|=2x+y - 2,此时 |2x+y2|+|6x3y|= (2x+y 2) + (6- x- 3y) =x - 2y+4 ,利用线性规划可得在 A (-,-)处取得最小值3;在直线的下方(含直线)，即有2x+y - 24，即 |2+y 2|= ( 2x+y - 2),此时 |2x+y 2|+|6 x 3y|= ( 2x+y 2) + (6 x3y) =8 - 3x - 4y,综上可得，当x=:y二| 时,|2x+y 2|+|6 x 3y| 的最小值为 3.利用线性规划可得在 A (-,-)处取得最小值3.点评：本题考查直线和圆的位置关系， 主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于 中档题.且对于任意x,yCR,不训,若空间向量E满足15. （6分）（2015?浙江）已知：,工是空间单位向量，|b- （x 巴+产已2）llb（X小+0 巳2）1二1（工口，y口 ER），则 x0=1y0= 2 、 |b|= 2 五 考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算.专题：创新题型；空间向量及应用.析1 一 0,“ I由题意和数量积的运算可得V7/哆不妨设彳（笔，0)=(1,。,y- 42；,、+ (y 2)4o）,由已知可解z=（2亚 2 2t),可得 |b ( R 已+y 已2| = (x+2+t2,由题意可得当 x=x0=1,y=y0=2 时，(x+U)* 2+3(y-2) 2+t2取最小值1,由模长公式可得hi.解答：解：;祝二|“G|cos=3=!包.匕22/?=，不妨设U= ，立el e2 3 el 220),6=(1, 00), b= (m,n,t),则由题意可知- -,=m+122n=2， b G=m=-,解得2呜,T，.最(i2+TX）2+tt),(x - y, 2 2,5 1、(万万X V)=x2+xy+y 2 - 4x - 5y+t2+7= ( x+y- 4Z)2+ (y-2)2+t2） 2+t2取最小值1,此时 t2=1,故 | b|=,J (：I . =2 ：故答案为：1; 2; 2班点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题.三、解答题：本大题共 5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （14分）（2015?浙江）在4ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知A二 b2-a2c2.2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3,求b的值.考点：余弦定理.专题：解三角形.分析：（1）由余弦定理可得：J=b2+ 2-为3口号工，已知b2-a2c2.可得匕二4sinCcosC42a=X12c.利用余弦定理可得 cosC.可得sinC=,i _ s 做,即可得出tanC=（2）由S3gd&bsinCu 乂当皆心乂乌心应空=3，可得 c，即可得出 b.解答：解：（1）A=-,，由余弦定理可得：/二b,c2-2bG8吟, b2-a2=Vr2bc-c2,又b2a2=2c2. .亚bcc2=c2. .血b=c.可得匕金岳, 2224.a2=b222,2C 8C2,k2 _ 2 八 a +b - c . cosC=2ab8C2X笔X斗.ce （0,兀）,sinC=Tl - co s2C=p . tanC=W%.cosC（2） -，.：U .厂二=3（2）丽音1心/丁白丁二=3解得c=2企.b干=3.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：（1）以BC中点O为坐标原点，以 OB、OA、OAi所在直线分别为x、y、z轴建系,；=h ）?BC=0及线面垂直的判定定理即得结论;（2）所求值即为平面 AiBD的法向量与平面 B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对 值的相反数，计算即可.则 BC= AC=2 AiO=：3_1=1解答：（1）证明：如图，以 BC中点O为坐标原点，以 OB、OA、OAi所在直线分别为 x、 V、z轴建系.，.- V2x=0易知 Ai (0, 0, V14), B 电,0, 0), C (一瓜 0, 0), A (0,遮 0), D (0,-&,VH), B1(&,-花，VH),币=(0,-立，0), BD=(-加，-加，V14),“=(-V2, 0, 0), BC= (-272, 0, 0),西=(0, 0, V14),1 a7d?O=0，-a1DOA1,又 T?BC=0，1, A1DXBC,又OA1 nBC=O ,A1DL平面 A1BC;(2)解：设平面 A1BD的法向量为ir= (x, y, z),jnrAiD = 0 /-五 尸 0由，T _，得*LJ J,m-BD=0 I - V2-V2y+V14z=0取 z=1 ,得 IT= ( W, 0, 1),设平面B1BD的法向量为=(x, y, z),取 z=i，得:=(0, W,i),cosvir, n =Im | In | W2W2 8.又.该二面角为钝角，二面角Ai-BD- Bi的平面角的余弦值为- L8点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的 积累，属于中档题.18.(15 分)(2015硼江)已知函数f (x)=x2+ax+b(a,bCR),记 M(a,b)是 |f(x)|在区间-1, 1上的最大值.(1)证明：当|a|总 时，M (a, b)或；(2)当a, b满足M (a, b) V时，求|a|+|b|的最大值.考点：二次函数在闭区间上的最值.专题：函数的性质及应用.分析：(1)明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；(2)讨论a=b=0以及分析 M (a, b)磴得到-3Q+b4且-34-a 4,进一步求出 |a|+|b|的求值.解答：解：(1)由已知可得f (1) =1+a+b, f ( - 1) =1 - a+b,对称轴为x=-且，2因为|a|或，所以-或一丹话，22所以函数f (x)在-1, 1上单调，所以 M (a, b) =max|f (1), |f ( - 1) |=max|1+a+b| , |1 - a+b|,所以 M (a, b)上(|1+a+b|+|1 a+b|)| (1+a+b) ( 1 a+b) |4|2a|汗a|或；222(2)当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|bp0,所以0为最小值，符合题意；又对任意x - 1, 1.有-2虫2+ax+b0,设线段AB 的中点 P (xo, yo),贝U y0 =2m2+2 xo= 一 m八?in +22n+nl-，m +2由于点P在直线y=mx+工上， g =1n +1,2in2 m0,即可解出.+2 m2+2 22.9泮一代入 。，可得 3m4+4m2-40, 2 m解得m2, - nr -近或m 33(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,占 八、评:q 11 III 1. 19 3(m2 - n+2)加目Saoab= ；,h.,一|=Jn|?，= ,一乙in +2V一 门。2) (m2+2)2222, 2、2由均值不等式可得：n2(m2-n2+2)* (n +m_二) 屋 11rl +)24 S/xaobX、g=gL 当且仅当 n2=m2n2+2,即 2n2=m2+2,又n二一小里, V 4 22m解得m= &,当且仅当m= 土加时，SaAOB取得最大值为 立. 一2本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得 根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦 长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.20. (15 分)(2015硼江)已知数列an满足 ai=,且 an+1 =an- an2 (nCN )、一 rr .*(1)证明：i(nCN );%+l设数列an2的前n项和为Sn,证明出-(号嵩(nCN*).:数列的求和；数列与不等式的综合.:创新题型；点列、递归数列与数学归纳法.(1)通过题意易得 0van二(nCN*),利用an- an+1 = , 2可得3-高 利用2%+i1=j=TT V,%+1 an - an 1 即得结论;(2)通过dj/=an - an+1累加得Sn=1 - an+1,利用数学归纳法可证明W1 _ 1 1 _ 1 _ 1从而 2(/D 二,化简即得结论.nn n证明：(1)由题意可知：0van埼(nCN ),又 a2=a1 一- =力2 4 41 ,2 一=- &2 4a7rt2-4又an an+1=为 2).anan+1 n，an _ an%+1 %a 2 1-n2 %1U_0,dS40B.a1d0,dS40,dS4 0D,a1d0由题意当 x=x0=1, y=y0=2 时，(x+工) 2+3 (y J点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题.17.（15 分）（2015?浙江）如图，在三柱 ABC A1B1C1 中，/BAC=90 , AB=AC=2 ,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点.（1）证明：Aid,平面 A1BC;（2）求二面角 Ai - BD - B1的平面角的余弦值.创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题.(1)由题意，可设直线AB的方程为x= - my+n ,代入椭圆方程可得(m2+2)y2-2mny+n2-2=0,设 A (x1，y1)，B (x2, 1喻.可得 0,设线段 AB 的中点 P (xo, yo),利2用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y=mx+1，可得 好一三型，代入
展开阅读全文