1.1.1任意角 1.1.2弧度制（教、学案）

1.1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。三、教学重点难点1判断已知角所在象限；2终边相同的角的书写。四、学情分析五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习引入：1初中所学角的概念。2实际生活中出现一系列关于角的问题。（二）新课讲解：1角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为2角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。说明：零角的始边和终边重合。3象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。例如：都是第一象限角；是第四象限角。（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。4终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。5例题分析：例1 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1） （2） （3） 解：（1），所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；（2），所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；（3），所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。例2 若，试判断角所在象限。解： 与终边相同， 所以，在第三象限。例3 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）； （3）解：（1），中适合的元素是 （2），S中适合的元素是 （3）S中适合的元素是 （三）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（四）发导学案、布置预习。九、板书设计十、教学反思以学生的学习为视角，可以对这节课的教学进行如下反思：（1）学生对课堂提问，回答是否积极？学生能否独立或通过合作探索出问题的结果？（2）学生处理课堂练习题情况如何？可能的原因是什么？（3）教学任务是否完成？下面我们着重分析一下提问的效果。在回答教学设计中的各项提问时，大多数学生存在一定困难，特别是“问题1：任意画一个锐角，借助三角板，找出sin的近似值”和“问题5：现在，角的范围扩大了，由锐角扩展到了0360内的角，又扩展到了任意角，并且在直角坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合在这样的环境中，你认为，对于任意角，sin怎样定义好呢？”对于问题1，除了由于时间久而遗忘有关知识外，学生不熟悉独立地由一个锐角，构造直角三角形并求锐角三角函数的过程是主要原因，他们更习惯于在给定的直角三角形中解决问题。对于问题5，教师强调“在坐标系下怎么样？”后，有学生开始尝试回答。这说明这个问题要求的思维概括水平较高，学生仅利用锐角三角函数的有关知识，难以形成当前研究任意角三角函数的思想方法。因此，教师必须要提供必要的脚手架。 在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!十一、学案设计(见下页)临清三中数学组 编写人：孙文森 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.1.1任意角课前预习学案一、预习目标1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3、能用集合和数学符号表示象限角；4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.二、预习内容1回忆：初中是任何定义角的？一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。 在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？2.角的概念的推广：3正角、负角、零角概念 4.象限角思考三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.5.终边相同的角的表示三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；学习重难点：重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。二、学习过程例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）例2.写出终边在轴上的角的集合.例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.（三）【回顾小结】1.尝试练习（1）教材第3、4、5题. （2）补充：时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.2.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3)你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?(四)当堂检测1设， ，那么有（ ）ABC（ ）D 2用集合表示：（1）各象限的角组成的集合（2）终边落在 轴右侧的角的集合3在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） 3.解：（1） 与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角课后练习与提高1. 若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？2. 下列命题正确的是： （ ） （A）终边相同的角一定相等。 （B）第一象限的角都是锐角。 （C）锐角都是第一象限的角。 （D）小于的角都是锐角。3. 若a是第一象限的角，则是第 象限角。4.一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _5.集合M=k，kZ中，各角的终边都在（ ）A轴正半轴上，B轴正半轴上，C 轴或 轴上，D 轴正半轴或 轴正半轴上6.设 ， C|= k180o+45o ,kZ ， 则相等的角集合为_ _参考答案1. 解：2小时40分=小时， 故分针走过的角为480。 2. C 3. 一或三 4. 5. C 6. _BD，CE 1.1.2 弧度制 【教学目标】 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【教学重难点】 重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系. 【教学过程】（一）复习引入. 复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系 提出问题：初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ 1的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 角的范围是什么？如何分类的？（二）概念形成 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？1自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：(1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？(3)弧度是如何定义的？(4)角度制与弧度制的区别与联系?2学生动手画图来探究：(1)平角、周角的弧度数(2)角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？3角度制与弧度制如何换算？ rad 1=归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： 一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整30901201502700例1、把下列各角从度化为弧度：(1) （2） (3) (4)解：(1) （2） (3) (4) 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 30 （2）210 (3)1200 解：(1) （2） (3) 例2、把下列各角从弧度化为度：（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)解：（1）108 (2)200.5 (3)114.6 (4)45 变式练习：把下列各角从弧度化为度： （1） （2） （3） 解：（1）15 （2）-240 （3）54 正角零角负角正实数零负实数弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为扇形面积公式：说明：以上公式中的必须为弧度单位 例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，求该扇形的面积。解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4变式练习：1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。答案：2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的2 倍。3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm2 4、以原点为圆心，半径为的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角的弧度数为 (三） 课堂小结：1、弧度制的定义；2、弧度制与角度制的转换与区别；3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；（四）作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。（五）课后检测1在中，若，求A，B，C弧度数。答案：A= B= C=2直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？答案：3选做题如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。答案：板书设计1.1.2 弧度制（一）复习引入（二） 概念形成 例1 例2（三）弧度下的弧长公式和扇形面积公式例3 小结： 临清三中数学组 编写人：郭振宇 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.1.2 弧度制课前预习学案一、预习目标： 1.了解弧度制的表示方法；2.知道弧长公式和扇形面积公式.二、预习内容 初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？ 自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：1、 角的弧度制是如何引入的？2、 为什么要引入弧度制？好处是什么？3、 弧度是如何定义的？4、 角度制与弧度制的区别与联系?三、提出疑惑1、平角、周角的弧度数？2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？课内探究学案一、学习目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；4熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。二、重点、难点弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。三、学习过程（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制弧度制。 叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 。练习：圆的半径为，圆弧长为、的弧所对的圆心角分别为多少？：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？由上可知：如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是： ，的正负由 决定。正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 。：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 （三）角度与弧度的换算 rad 1=归纳：把角从弧度化为度的方法是： 把角从度化为弧度的方法是： ：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整30901201502700例1、把下列各角从度化为弧度：(1) （2） (3) (4)变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 30 （2）210 (3)1200 例2、把下列各角从弧度化为度：（1） (2) 3.5 (3) 2 (4)变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1） （2） （3）（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.正角零角负角正实数零负实数（五） 弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式：因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为扇形面积公式：说明：以上公式中的必须为弧度单位 例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，求该扇形的面积。变式练习 1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 4、以原点为圆心，半径为的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角的弧度数为 （六） 课堂小结：1、弧度制的定义；2、弧度制与角度制的转换与区别；3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；（七）作业布置 习题1.1A组第7，8，9题。 课后练习与提高1在中，若，求A，B，C弧度数。2直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？3选做题如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。15