建模论文范文

淮 阴 工 学 院数学建模与实验课程设计班 级： 姓 名： 学 号： 选 题： 组 第 题教 师： 王小才胡 平 姜红燕 教 师王小才胡 平姜红燕答辩分总 分得 分数 数 理 院 2011年12月食品加工摘要：原料油的采购与精炼（加工）安排是否合理，直接影响着食品公司所获得的利润。本文针对食品加工问题建立了线性规划模型，制定了一套最优采购方案和精炼方案，使得公司获得最大利润，就原料油市场价格的波动对利润的影响作了全面计划。针对问题一，文中设定了60个决策变量，用来表示第个月第种原料油的采购量，用来表示第个月第种原料油的精炼量（加工量），以获得最大利润为目标，满足题中所规定的约束条件，建立了线性规划模型，利用8.0软件编程求解，得，从而得到了满足条件的采购方案和加工方案。针对问题二，文中就原料油的市场价格的波动对利润的影响，建立了以为参变量的参数线性规划模型。通过分析这个参数线性规划问题，来研究最优解的变化，对于不同的值,可求得不同的最大利润，文中采用拟合函数法，发现了与之间存在线性关系。在原料油的市场价格上升的同时，为了确保获得与原来相当的利润，则成品油的价格也应随之增长。文中利用逐步搜索法，分析出成品油的价格增长率与之间也存在线性关系，并通过拟合函数法求得。在模型的检验中，针对模型一，本文检验每个月的成品油的硬度是否在3至6个单位之间；针对模型二，本文验证与的关系及与的关系，是否符合本文所建立的线性规划模型。在模型的改进中，文中采用了另外一种解线性规划问题的方法利用EXCEL2003进行规划求解，这种方法的优点在于操作简便，输入量少，是解决线性规划问题的一种好方法。关键词：线性规划模型 拟合函数法 逐步搜索法一 、题重述 一项食品加工业，对几种粗油精炼，然后加以混合成为成品食用油。原料油有两大类，共5种。两种植物油，V1和V2，三种非植物油，O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购，未来半年中原料油的市场价格（元/吨）如下:月份油V1V2O1O2O3一11001200130011001150二1300130011009001150三1100140013001000950四12001100120012001250五10001200150011001050六900100014008001350成品油售价1500元/吨。植物油和非植物油要在不同的生产线精炼，每个月最多可非植物油250吨。精练过程中没有重量损失，精炼费用可以忽略。每种原料油最多可存储1000吨备用。存储费为每吨每月50元。成品油和经过精炼的原料油不能存储。对成品油限定其硬度在3至6单位之间。假设硬度是线性地混合的。各种原料油的硬度如下：油V1V2O1O2O3硬度8.86.12.04.25.0为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案。现存有5种原料油每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货。研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的值x（直到20），就方案的必要的变化及对利润的影响，做出全面计划。二、问题的假设针对所给问题，我们在以计算利润为总的目标下，进行了如下的假设：1.计算成本费用时只考虑原料油的采购费用；2.在计算总利润时不考虑机器的磨损费用和保修费用；3.原料油的采购和加工是均匀的、连续的；4.原料油始终能够满足的需要；5.原料油在存储的过程中没有质量的损失。三、符号的说明-表示第个月第种原料油采购的数量（单位：吨）-表示第个月第种原料油加工的数量（单位：吨）-表示第个月得成品油的数量（单位：吨）-表示第个月第种原料油的市场价（单位：元）-表示公司利润的最大值（单位：元）-表示原料油市场价格的波动-表示成品油的增长率其中=1，2，6; =1，2，5四、问题分析食品加工公司要想获得最大利润，就需要制定一个合理的方案来安排原料油的采购和精炼，本文对此展开分析。针对问题一，文中用来表示第月第种原料油的采购量，用来表示第月第种原料油的精炼量。由于成品油和经过精练的油不能存储,为了获得最大利润,假设每月生产的成品油均售完，可以建立一个线性规划模型：由题目中的每个月最多可炼植物油200吨可得，；由题目中的每个月最多可非植物油250吨可得，；由每种原料油最多可存储1000吨备用得，一月份存储条件：，同理得2-6月的存储条件；成品油的硬度控制条件：；针对问题二，当原料油的市场价格变化时，最大利润势必会受到影响，而公司为了获得最大的总利润，应做出怎样的计划。文中首先通过分析题意，确定价格波动的取值范围，因为的值呈线性上升，且上升的最大幅度为，即可取得的取值范围为，假设每个月每种植物油价均在一条直线上，则这条直线的方程为，可以建立一个参变量为的参数线性规划模型。分析当取不同的值时，计算出相应的最大利润，然后利用LINGO8.0数学软件来求出最大利润与价格波动之间的关系，并做出相应的对策，确保公司能获得最大利润。五、模型建立1.问题一模型的建立原料油有两大类，共5种。两种植物油，和，三种非植物油，、和。为了便于说明，文中依次将其标为第种油（）。由于成品油和经过精练的原料油不能存储，文中假设所有的原料油经过精练后全部变成成品油，而且所有的成品油均被售出。文中以6个月为一个周期来计算公司获得的总利润，建立如下线性规划模型： 目标函数： 约束条件： ， 2.问题二模型的建立2月份植物油价上升，非植物油上升；3月份植物油价上升，非植物油上升；其余月份保持这种线形的上升势头。现设1月份的每种植物油价为1，则2月份植物油价为，3月份植物油价为,每个月每种植物油价均在一条直线上。设这条直线的方程为，代入点（1，1），（2，）即可求得，即得。则每月每种植物油价格如下所示:表一月份一月二月三月四月五月六月价格11+1+1+1+同理可求出每月每种非植物油的价格如下所示：表二月份一月二月三月四月五月六月价格11+1+1+1+1+由于其余月份在一月的基础上呈线性上升，且上升的最大幅度为，即可取得的取值范围为。当取不同的值时，最大总利润也就随之而不同，这可视为一个参数线性规划问题，其中为参变量，文中将分析当时，这个参数线性规划问题的最优解的变化情况。此参数线性规划的数学模型可表示为： 目标函数： （其中表示变化后的价格）约束条件： ， 六、模型的求解1. 模型一的求解针对这个线性规划问题，我们利用LINGO8.0数学软件求解（见附录程序）。求得最大利润，具体方案如下所示： 每月采购方案如下 表三： （单位：吨） 油类月份一00000二0005000三0000250四00000五00000六6593540707500每月加工方案如下表四： （单位：吨） 油类月份一159340702500二020000250三159340702500四222177802500五159340702500六1593407025002. 模型二的求解对于此参数线性规划问题，可用单纯形法和对偶单纯形法进行分析，其步骤如下：令，用单纯形法求出最优解；用灵敏度分析法，将参变量直接反映到最终表中；当参变量连续变大或变小时，观察资源向量列和检验数行各数字的变化。若在资源向量列首先出现某负值时，则以它对应的变量为换出变量；于是用对偶单纯形法迭代一步。若在检验数行首先出现某正值时，则将它对应的变量为换入变量；用单纯形法迭代一步。在经迭代一步后得到的新表上，令参变量继续变大或变小。重复（3），直到资源向量列不能再出现负值，检验数行不能再出现正值为止。鉴于此题涉及变量过多，无法在此给出详细解答，仅对解题方法提供思路；这里我们用分析函数关系的方法对上述问题进行详细的求解。当时，每种原料油的市场价格在一月的基础上保持不变，将代入1的目标函数中，可求得此时的最大利润；当时，每种原料有的市场价格呈线性上升，将代入上述模型的目标函数中，可求得此时的最大利润。在区间上，随着的不同，可求得最大利润与之间的关系，进而在此区间中有规律的选取10个不同的值，则可以计算出相应的最大利润值，如下所示：表五00.20.40.60.85.833335.538675.244004.949334.654671.01.21.41.61.84.360004.065333.772823.484603.20594针对这组数据，我们利用EXCEL2003软件进行数据拟合，得下图示：图一通过观察图像，发现这些点在一条直线的左右波动，则可利用拟合函数法求得这条直线的方程为，画此直线方程图如下：图二这说明最大利润与之间呈线性关系，随着的增长，最大利润逐渐减少。通过以上分析可知，原料油的市场价格上涨，公司获得的最大利润呈直线下降。而公司的意图在于获得最大利润，其必定会对成品油的价格作相应的调整，成品油的价格增加幅度过大，势必会影响销售，导致每月的成品油无法全部售完而亏损，增加幅度过小又无法保证利润。下面我们将分析成品油的价格增长率与之间的关系。当时，即原料油市场价格保持不变时，公司获得的最大利润为，这是公司的心理底线，他们想获得的最大利润不会低于此。文中现假设公司获得的最大利润为，对于不同的值可以利用逐步搜索法找到与值相对应的值。3.逐步搜索法算法思想：将定义域划分为有限多个区间，在中选取();通过，精确计算出其分别所对应的，使得总利润在原来的基础上保持不变；在附近搜索取值，使得利润在原来的基础上保持不变；在附近搜索取值，使得利润在原来的基础上保持不变；取尽所有，直至最终得到所有的。按上述算法思想，得到其结果如表六所示：表六00.10.30.50.70.900.00363790.01091360.01818930.02546500.03274071.11.31.51.71.92.00.04001630.04726590.05448750.06143350.06831410.0717544针对该组数据，我们同样利用EXCEL2003软件进行数据拟合，得下图：图三通过观察图像，也发现这些点在一条直线的左右波动，则也可利用拟合函数法求得这条直线的方程为，画此直线图如下：图四这说明成品油的增长随着的增加而增加，并且呈线性关系。七、模型的评价与推广模型的评价1本文所建立的模型成功地为公司获得最大利润提供了最优方案，合理地安排原料油的采购和精炼，并且针对原料油市场价格的波动对利润的影响，做出了全面计划，确保公司能获得最大利润；2 在模型的建立与求解过程中，文中多次利用图表，使文章所要表达的思想简明了，更形象、直观；3 在模型二中，文中采用逐步搜索法成功地找到了成品油的价格增长率与原料油市场价格波动之间的关系，使得公司在对成品油的提价上掌握分寸；4 在模型的求解过程中，分别利用EXCELL数学软件和8.0软件两种软件来求解，大大减少了计算量。5 模型的不足之处在于没有给出参数线性规划的解答过程，仅只提供了利用了单纯形法来解题的思路。模型的推广本模型的建立为解决变量较多的线性规划问题提供了一个合理的方案，可以应用于其他类似的线性规划问题。由此可见，模型的应用非常广泛，对于实际问题，具有很强的适应性，如可以推广到库存材料的利用问题、产销不平衡的运输问题、材料的订购与运输问题和最低成本问题等规划问题上。参考文献1 韩伯棠，管理运筹学（第2版），北京：高等教育出版社,2005年.2 赵静，但琦，数学建模与数学实验（第二版），北京：高等教育出版社，2003年.3 钟学军，矩阵损失下均值向量的线性可容许估计，数学年刊，18(6):719-724，1997.附录程序代码max=1500*(c1+c2+c3+c4+c5+c6)-(1100*x11+1200*x12+1300*x13+1100*x14+1150*x15+1300*x21+1300*x22+1100*x23+900*x24+1150*x25+1100*x31+1400*x32+1300*x33+1000*x34+950*x35+1200*x41+1100*x42+1200*x43+1200*x44+1250*x45+1000*x51+1200*x52+x12+x13+x14+x15-s11-s12-s13-s14-s15+x21+x22+x23+x24+x25-s21-s22-s23-s24-s25+x31+x32+x33+x34+x35-s31-s32-s33-s34-s35+x41+x42+x43+x44+x45-s41-s42-s43-s44-s45+x51+x52+x53+x54+x55-s51-s52-s53-s54-s55+x61+x62+x63+x64+x65-s61-s62-s63-s64-s65)*50);s11+s12=200; /提炼原料油的控制量s13+s14+s15=250;s53+s54+s55=250;s61+s62=200;s63+s64+s65=250;500+x11-s11=0;500+x12-s12=0;500+x14-s14+x24-s24=0;500+x15-s15+x25-s25=0;500+x11-s11+x21-s21+x31-s31=0;500+x15-s15+x25-s25+x35-s35=0;500+x11-s11+x21-s21+x31-s31+x41-s41+x51-s51+x61-s61=500;500+x15-s15+x25-s25+x35-s35+x45-s45+x55-s55+x65-s65=500;8.8*s11+6.1*s12+2*s13+4.2*s14+5*s15=3*c1; /成品油硬度控制量8.8*s11+6.1*s12+2*s13+4.2*s14+5*s15=3*c6;8.8*s61+6.1*s62+2*s63+4.2*s64+5*s65=6*c6;c1=s11+s12+s13+s14+s15; /成品油与原料油的比例关系c2=s21+s22+s23+s24+s25; c6=s61+s62+s63+s64+s65;程序结果Global optimal solution found at iteration: 66 Objective value: 1078426. Variable Value Reduced Cost C1 450.0000 0.000000 C2 450.0000 0.000000 C3 450.0000 0.000000 C4 450.0000 0.000000 C5 450.0000 0.000000 C6 450.0000 0.000000 X11 0.000000 300.0000 X12 0.000000 400.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1078426. 1.000000 2 0.000000 700.0000 3 0.000000 650.0000 4 0.000000 650.0000 5 0.000000 600.0000 6 0.000000 600.0000 7 0.000000 550.0000 8 0.000000 550.0000 9 0.000000 500.0000 /价格波动图形代码x=0:0.2:1.8;y=5.833335.538675.244004.949334.65467 4.360004.065333.772823.484603.20594;plot(x,y)title(直线方程图);x=0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 2.0;y=0 0.0036379 0.0109136 0.0181893 0.0254650 0.0327407 0.0400163 0.0472659 0.0544875 0.0614335 0.0683141 0.0717544;plot(x,y,r) title(直线方程图);13