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课题：5.4平面向量的坐标运算（第一课时）教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（下）授课教师： 单位： 教材分析与教法设计教学目标知识目标1、理解平面向量的坐标概念（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.2、掌握平面向量的坐标运算（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；（2）能熟练进行向量的坐标运算；（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.能力要求1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； 3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.情感态度设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.重点平面向量的坐标运算.难点理解向量坐标的意义.方法引导发现、合作探究.教具多媒体课件、实物投影仪、三角尺.教学过程环节具体内容及形式双边活动设计意图复习回顾判断题1、单位向量都相等； （ 假 ） 2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ）通过提问的方式让学生对命题作出判断；教师从学生活动出发，进行评价、拓展，为新课的讲解作铺垫.oxijy复习回顾: 复习向量定义，引出x 轴y轴正方向上的单位向量i和j.3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 . （ 真 ）通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.创设问题情境通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.学生体会数学与现实生活的联系，并通过教师引导，体会特殊化的思想.激发学生的学习兴趣，提高学习效率，在知识的迁移中进行创造性的学习，达到传授知识与培养学生能力融为一体的目的.师生共同探究及应用平面向量的坐标表示问题一：平面直角坐标系内，每个点可以用一对实数来表示，向量可以吗？解决途径：以向量i、j为基底，利用平面向量基本定理构造平行四边形，如图：oxyija 结论：若a = xi+ yj，则a =(x,y)叫做向量的坐标表示. 经历前两个环节的铺垫后，教师引导学生恰当的选取基底，完成基底特殊化的过程.教师通过多媒体课件演示，使学生直观理解平面向量的坐标概念,明确求向量坐标的思路.设置探究式教学，让学生经历知识的形成、发展、应用的过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用，充分体会数学探索的乐趣.以向量b为例讲解本题，可以让学生体会向量的坐标与点的坐标一样，有正负之分.在学生掌握课本例题的基础上进行挖掘、引申，探究新知，使得前后知识衔接自然.在教学中渗透类比和特殊化的数学思想，形成新的知识结构体系，为下一步突破教学难点做准备.应用一、初步运用定义求特殊向量的坐标.i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)应用二： (课本P111例1).例1、 用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标.123401234xyOabcd变式探究：将例1中向量d的方向取反向得到向量e，分析b、e两向量的关系后进行探究.探究一：相等向量的坐标有关系吗？结论：相等向量的坐标也相等，体现向量与其坐标的对应关系.探究二：将表示向量的有向线段的起点放在坐标原点后有何结论呢？结论：此时向量坐标就由这条有向线段的终点坐标唯一确定了. 学生独立完成，进一步体会特殊化思想.师生共同探究，教师板书过程.教师重点以向量b为例讲解本题，引导学生利用平面向量的坐标表示求出向量b的坐标，并提醒学生注意坐标符号.学生观察出向量b、e两向量大小相等，方向相同，应该是相等向量.教师提问：向量在坐标平面内任意平移而坐标不变，那么将其起点放在什么位置更有利于研究呢？教师利用多媒体课件进行动画演示，学生直接参与探究的过程，从亲身体验中获得深刻的认识.师生共同探究及应用平面向量的坐标运算问题二：若已知a =（1,3）,b =(5,1)，如何求a b 、a b的坐标呢？（由特殊到一般，探究向量加减的坐标运算法则）法则：若a =（x1 ,y1）,b =(x2 ,y2),则：a b = (x1x2 ,y1y2 ),a b = (x1x2 ,y1y2 )应用三：课本P112例2 及P114练习1.探究三：例一中向量a的坐标与它对应的有向线段的起点、终点坐标有何关系？bcOxyaAB（从具体例子寻找规律） 由图可知，a = c b 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.探究四：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？借助探究二的探究思路，利用向量坐标表示的推导过程来组织教学.结论：向量的坐标与表示它的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系.对具体的两个向量，教师启发引导学生分析规律，通过猜想、验证得出向量的坐标运算法则.例2以学生回答为主，教师板书过程；练习学生笔答，通过实物投影反馈.教师利用多媒体课件演示引导学生把任意向量用起点在原点的向量来表示.寻找各知识点的联系，挖掘问题实质.让学生经历主动观察、大胆猜想、积极验证，顺利得出向量的坐标运算法则，突出重点.同时培养学生的观察能力、推理能力、逻辑思维能力.让学生熟练运算法则的应用，体会向量坐标运算的优势：思路明确，过程简捷；强调步骤书写，发现问题及时解释说明.体现了向量坐标的意义，通过提出矛盾、回顾旧知、推理验证，对难点层层突破.应用四：课本P114练习2.应用五：以表格形式对练习2 引申训练 起点A终点B向量AB（ 2，3 ）（ 1，1 ）( 3 , 4 )( 2 , 7 )应用六：课本P113例三.变式训练：将例三中平行四边形ABCD这一条件去掉，改为求点D，使这四个点构成平行四边形.（教学中可根据时间情况进行讲解或作为课后思考题）学生口答，教师进行评价、拓展.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.熟练向量的坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.例三是对本节内容综合训练，培养学生善于思考和严谨的学习态度，并对新知识进行深层次的理解和应用.归纳总结强调本节课的重点内容，为下节课的学习做简要铺垫.在教师提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充. 帮助学生把所学知识纳入知识体系，形成良好的认知结构，有益于学生对知识的巩固、理解和掌握.作业课本第114页第1、2、3题板书设计方案一：54平面向量的坐标运算（一）一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、向量的坐标运算法则2、向量AB的坐标与点A、点B的坐标的关系三、例题例1例2例3方案二：一、平面向量的坐标表示1、定义2、特殊向量的坐标表示3、相等向量的坐标也相等 4、向量OA的坐标表示二、平面向量的坐标运算1、坐标运算法则2、向量AB的坐标与A、B的坐标的关系三、例题例1例2例3教学环节流程安排复习回顾向量的坐标运算向量的坐标表示跟踪练习跟踪练习情境设置归纳总结探究及应用巩 固 提 高教案的设计说明：1、设计初衷：本节课内容难度不高，但知识点比较繁多，而且各知识点之间的衔接不够紧凑，对初学者来说容易产生杂乱无章的感觉.教师作为教学活动的设计者，在教学设计中应力求突出知识间的联系，指引学生理清众多的思绪，主动参与到思考、观察、猜想、验证、应用的教学活动中去，从而顺利地突破重、难点.2、呈现方式：根据教学大纲要求结合本节课具体的教学目标和学生的认知特点，我设计了“复习回顾创设问题情境合作探究和指导应用归纳小结布置作业”五个教学环节.3、新课程观的体现：本节课主要采用的是“引导发现、合作探究”的教学方法，以学生熟知的足球运动为情境引入新课，以问题为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的形成、发展和应用的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握方法.整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用. 4、可能出现的问题： 探究式教学需要留给学生充足的时间和空间，为学生提供活动的机会，学生情况不同，反馈给教师的信息也不同，因而在时间和内容上都不是固定的，需要教师在设计时富有一定的弹性，在实施时设计方案跟着学生转变，具有一定的开放性和灵活性.平面向量数量积的物理背景及其含义教案 课题：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4一、教学目标1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、教学重、难点教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义 2、性质与运算律及其应用教学难点：1、平面向量数量积的概念 2、 平面向量数量积的运算律（2）、（3）的证明三、教学过程活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 活动二：探究数量积的概念SF1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 bcos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos（2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。4、学生讨论，并完成下表：的范围090=9000的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当0时，向量与，与的方向的关系如何？此时，向量与及与的夹角与向量与的夹角相等吗？5、师生活动：证明运算律（3）活动五：应用与提高1、学生独立完成：已知=5,=4, 与的夹角=120，求2、师生共同完成：已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 224、师生共同完成：已知=3，=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？5、反馈练习1、判断下列各题正确与否：、若0，则对任一非零向量，有0、若0，则2、已知ABC中，=, =，当 0或0时，试判断ABC的形状。活动六：小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、本节课主要采用了什么研究方法？4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？布置作业： 1、课本P121习题2.4A组1、2、3。2、拓展与提高：已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。（本题供学有余力的同学选做）教学设计说明 平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。在小结这个环节中，我主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的内容进行全面回顾总结，达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。 以上就是我对本节课设计的简单说明。14
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