复杂网络中具有免疫的SIRS模型的动力学研究

复杂网络中具有免疫的SIRS模型的动力学研究摘 要以WS小世界网络模型、BA无标度网络模型为线索，概述了复杂网络的概念，相关发展历史及若干应用。阐述了复杂网络对于复杂科学研究的重要作用，说明了将一些研究工作转移到复杂网络上的必要性。关键词：复杂网络，SIRS模型，无标度网络，平均场理论，计算机模拟Abstract With the WS small-word network and BA scale-free network as examples, a survey of the conception. the related history. and some typical applications of complex network was presented. It also illustrated the importance of complex networks to the complex science. It explains the necessity for some traditional researches to be redone n the context of certain complex network.Key Words: complex network; small-world network; scale-free network目 录中文摘要 I英文摘要 II第一章 引 言 1第二章 复杂网络的结构 4 2.1 复杂网络的提出及研究意义 4 2.2 复杂网络的统计性质42.21 平均路径长度 42.22 聚集系数 42.23 度分布 42.24 其他性质 4 2.3 复杂网络模型42.3.1 小世界网络 42.3.2 无尺度网络 4第三章 传染病模型的动力学行为分析 4 3.1 SIRS模型的介绍 43.1.1 SIRS模型的思想 43.1.2 平衡点及传播阈值的求解和传染曲线 4 3.2 SIRS模型仿真 4结束语 1参考文献 1致谢 1附录 114第一章 引 言传染病是人类的第一杀手,人类正面临着种种传染病长期而严峻的威胁。世界卫生组织搜集全球死亡数据，以下表列为2002年世界主要致死疾病，这些疾病都造成至少10万人死亡，1993年数据随表附加以兹参考。需特别注意表中前三名致死单一疾病分别是艾滋病、结核和疟疾，尽管几乎所有的疾病所造成的死亡案例皆逐步减少，但死于爱滋者却以四倍成长，而百日咳、小儿麻痹、白喉、麻疹和破伤风等儿童疾病，此外儿童也在腹泻、下呼吸道感染中占很大的百分比。排名死因2002年死亡百万人数占所有死亡%1993年死亡百万人数1993年排名无所有感染症14.725.916.432.2%1下呼吸道感染3.96.94.112艾滋病2.84.90.773肠胃炎1.83.23.024结核1.62.72.735疟疾1.32.22.046麻疹0.61.11.157百日咳0.290.50.3678破伤风0.210.40.15129脑膜炎0.170.30.25810梅毒0.160.30.191111B型肝炎0.100.20.93612-17六种热带疾病0.130.20.539，10， 16-18传染病数学模型及其动力学分析是研究传染病的一种重要方法,近年来,复杂网络的研究处于蓬勃发展的阶段,并且具有广泛的应用。病毒在计算机网络上的蔓延、传染病在人群中的流行、谣言在社会中的扩散等,都可以看作是服从某种规律的网络传播行为。真实复杂网络中的小世界现象和无标度特性,都对传染病以及病毒的传播行为有着重要的影响。因此借助复杂网络的工具来研究传染病,找出其特性和预防措施具有重要的现实意义。第二章 复杂网络的结构2.1复杂网络的提出及研究意义20世纪60年代末，哈佛大学研究生Mark Granobetter发现，网络的不同群体之间的连接具有很高的强度，弱连接的强度描绘了信息通过弱连接传递的重要性、有效性。 人们对真实世界客观事物间的相关关系进行了大量的实证分析，多角度的证实了这些实际网络既不是所谓的规则网络、也不是完全的随机网络，二十具有某些典型特征的复杂网络。例如：社会领域中的电影演员网、科学家合作网、电话呼叫图、电子邮件交流网、本体网等；生物领域中的代谢网、蛋白质相互作用网、神经网络等；技术领域中的铁路网、航空网、电力网、internet、大型软件系统、大规模电子电路等。 大量的实证研究表明复杂网络无处不在。各种复杂网络的建模方法虽然含有人工设计的痕迹，但也标志着人们已经认识了某些复杂事物发生、发展的若干重要规律，复杂网络理论已经在社会学、生物学、工程也科学等领域得到应用并取得许多重要的研究成果。 由于传染病在网上一旦爆发，就能够迅速蔓延并在较短的时间内达到地方病状态，这使得疾病的初始控制非常困难或者不可能。因此，在地方病状态下如何制定有效的疾病防控策略显得尤为重要。当节点具有自我调整能力时，如人体个体，节点能够根据环境的变化，自动调整自己的度数，从而改变网络的拓扑结构，最终达到消除地方病的目的。但很多技术网络，如互联网和万维网等，绝大部分节点不具有自我调节能力；而且网络的拓扑结构一旦变动较大，将极大影响这些网络的承担的社会功能，因此必须考虑在保持现有网络拓扑结构的前提下的疾病防控策略，这是更有意义的，有待于进一步的研究。2.2 复杂网络的统计性质 用网络的观点描述客观世界起源于 1736年德国数学家Eular解决哥尼斯堡七桥问题。复杂网络研究的不同之处在于首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连接之间的性质，这些性质的不同意味着不同的网络内部结构，而网络内部结构的不同导致系统功能有所差异。所以,对这些统计性质的描述和理解是我们进行复杂网络相关 研究的第一步，下面简述之。2.2.1 平均路径长度（The average path length）网络研究中，一般定义两节点间的距离为连接两者的最短路径的边的数目；网络的直径为任意两点间的最大距离；网络的平均路径长度l则是所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的分离程度，即网络有多小。复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数大规模真实网络的平均路径长度比想象的小得多，称之为“小世界效应”。这一提法来源于著名的Milgram“小世界”试验，试验要求参与者把一封信传给他们熟悉的人之一,使这封信最终传到指定的人,籍此来探明熟人网络中路径长度的分布，结果表明平均传过人数仅为六，这一试验也正是流行的“六度分离”概念的起源。2.2.2 聚集系数(The clustering coefficien t)聚集系数 C用来描述网络中节点的聚集情况，即网络有多紧密，比如在社会网络中，你朋友的朋友可能也是你的朋友或者你的两个朋友可能彼此也是朋友。其计算方法为：假设节点i通过 条边与其它个节点相连接,如果这 个节点都相互连接， 它们之间应该存在 条边，而这个节点之间实际存在的边数只有E i 的话，则它与 之比就是节点 i 的聚集系数。的聚集系数就是整个网络中所有节点的聚集系数的平均。显然，只有在全连通网络(每个节点都与其余所有的节点相连接)中,聚集系数才能等于1，一般均小于 1。在完全随机网络中，C : ,然而实证结果却表明大部分大规模真实网络中的节点倾向于聚集在一起，尽管聚集系数C远远小于1，但都远比大。2.2.3度分布(The degreed istributio n )图论中节点 i的度 为节点i连接的边的总数目，所有节点i的度 的平均值称为网络的平均度，定义为 。网络中节点的度分布用分布函数p (k )来表示，其含义为一个任意选择的节点恰好有k条边的概率,也等于网络中度数为k的结点的个数占网络结点总个数的比值。2.2.4 其它性质上述三种统计特性是复杂网络研究的基础，随着研究的深入，人们逐渐发现真实网络还具有一些其它重要的统计性质，例如：（1）网络弹性(Network Resilience)网络的功能依赖其节点的连通性，我们称网络节点的删除对网络连通性的影响为网络弹性，其分析有两种方式随机删除和有选择的删除，前者称为网络的鲁棒性分析，后者称为网络的脆弱性分析。Albert等人分别对度分布服从指数分布的随机网络模型和度分布服从幂律分布的 BA网络模型进行了研究，结果显示：随机删除节点 基本上不影响 BA网络的平均路径长度，相反，有选择的删除节点后，BA网络的平均路径长度较随机网络的增长快得多。这表明，BA 模型相对随机网络具有较强的鲁棒性和易受攻击性。出现上述现象的原因在于幂律分布网络中存在的少数具有很大度数的节点在网络连通中扮演着关键角色，一般也称它们为Hub节点。(2)介数(betweeness)介数分为边介数和节点介数。节点的介数为网络中所有的最短路径中经过该节点的数量比例；边的介数含义类似。介数反映了相应的节点或者边在整个网络中的作用 和影响力，具有很强的现实意义。例如，在社会关系网络或技术网络中，介数的分布特征反映了不同人员、资源和技术在相应生产关系中的地位，这对于在网络中发现和保护关键资源和技术具有重要意义。(3)度和聚集系数之间的相关性网络中度和聚集系数之间的相关性被用来描述不同网络结构之间的差异，它包括两个方面不同度数节点之间的相关性和节点度分布与其聚集系数之间的相关性。前者指的是网络中与高度数(或低度数)节点相连接的节点的度数偏向于高还是低；后者指的是高度数节点的聚集系数偏向于高还是低。实证表明，在社会网络(演员合作网络、公司董事网络、电子邮箱网络)中节点具有正的度的相关性，而节点度分布与其聚集系数之间却具有负的相关性；其它类型的网络 (信息网络、技术网络、生物网络)则相反。正因为如此，这两种相关性被认为是社会网络区别于其他类型网络的重要特征，在社会网络研究中引起了高度重视。2.3 复杂网络模型2.3.1小世界网络(Smallworld networks)实证结果表明，大多数的真实网络具有小世界性(较小的最短路径)和聚集性 (相对较大的聚集系数)，见表1所示。然而，规则网络虽具有聚集性，平均最短路径却较大；随机图则正好相反，具有小世界性，但聚集系数却相当小。可见规则网络和随机网络并不能很好展现真实网络的性质，这说明现实世界既不是完全确定的也不是完全随机的。Watts 和Strogatz在1998年提出了一个兼具小世界性和高聚集性的网络模型，它是复杂网络研究中的重大突破！他们通过将规则网络中的每条边以概率p随机连接到网络中的一个新节点上，构造出一种介于规则网络和随机网络之间的网络(简称W S网络)，它同时具有较小的平均路径长度和较大的聚集系数，而规则网络和随机网络则分别是W S网络在p为0和1时的特例。模型构造过程如图1所示。表 1实际网络的 Sm a ll2w o r ld 现象 2 Ne tworkSizell randCC randWWW ，site leve l153，12735. 213. 13. 350. 10780. 00023Inte rne t，doma in level3015 62093. 52 4. 113. 7 3. 766. 36 6. 180. 18 0. 30. 001Movie actors225，226613. 652. 990. 790. 00027MEDLN E co 2author ship1，520，25118. 14. 64. 910. 0661. 110- 5Ma th. co 2author ship709753. 99. 58. 20. 595. 410- 5Ecoli，reaction g raph31528. 32. 621. 980. 590. 09S ilwood Pa rk foo d web1544. 753. 403. 230. 150. 03Wo rk d s，synoyms22，31113. 484. 53. 840. 70. 0006Powe r g rid4，9412. 6718. 712. 40. 080. 005C. Elegans282142. 652. 250. 280. 05 注: 下标 rand 为随机网络模型下的计算，通过对比实际网络与相应随机网络( 相同的节点数和边数) 的性质，可以发现真实网络具有小世界和较高聚集系数的性质。图 1W S 小世界网络模型的构造 12 WS模型提出后,很多学者在此基础作了进一步改进，其中应用最多的是Newman和Wat t s提出的所谓NW小世界模型。NW模型不同于WS模型之初在于它不切断规则网络中的原始边，而是以概率 p 重新连接一对节点。NW模型的优点在于其简化了理论分析，因为WS模型可能存在孤立节点，但NW不会事实上，当 p很小而N很大的时候，这两个模型理论分析的结果是相同的，现在我们统称它们为小世界模型。2.3.2 无标度网络(Scale f ree ne twork s)尽管小世界模型能很好的刻画现实世界的小世界性和高聚集性，但对小世界模型的理论分析表明其节点的度分布仍为指数分布形式。实证结果却表明对于大多数 大规模真实网络用幂率分布来描述它们的度分布更加精确，即 P (k )k - ，见表 2所示。表 2实际网络的 Sca le2f ree 现象 2 Ne tworkS izeou tinlrea llrandlp owWWW ，site325，7294. 512. 452. 111. 28. 324. 77Inte rne t，ro ute r150，0002. 662. 42. 41112. 87. 47Movie actors212，25028. 782. 32. 34. 543. 654. 01Co autho rs，SPIRES56，6271731. 21. 242. 121. 95Co authors，math.70，9751202. 52. 59. 58. 26. 53Sexua l contac t s2，8103. 43. 4Me tabolic，Ecoli7787. 42. 22. 23. 23. 322. 89P ro te in ，S.ce rev.18702. 392. 42. 4Cita t io n783，3398. 573P ho ne call531063. 162. 12. 1Wo rd s，co o ccu r rence460，90270. 132. 72. 7 注: 下标 ou t、in 分别表示出度和入度的幂率分布指数，可见很多网络的度分布具有幂率特征。下标rea l、rand 和 p ow 分别表示真实网络、随机网络模型和 Sca le2f ree 网络模型中计算的平均路径长度。幂率分布相对于指数分布其图形没有峰值，大多数节点仅有少量连接，而少数节点拥有大量连接，不存在随机网络中的特征标度，于是Barabsi等人称这种度分布具 有幂率特征的网络为Scale free网络。为解释Scale free网络的形成机制，Barabsi和Albert 提出了著名的BA模型，他们认为以前的网络模型没有考虑真实网络的两个重要性质增长性和择优连接性，前者意味着网络中不断有新的节点加入进来，后者则意味着新的节点进来后优先选择网络中度数大的节点进行连接。他们不仅给出了BA模型的生成算法并进行了模拟分析，而且还利用统计物理中的平均场方法给出了模型的解析解,结果表明：经过充分长时间的演化后，BA网络的度分布不再随时间变化，度分布稳定为指数为3的幂律分布。BA模型的提出是复杂网络研究中的又一重大突破,标志着人们对客观网络世界认识的深入之后，许多学者对这一模型进行了改进，如非线性择优连接、加速增长、重绕边的局域事件、逐渐老化、适应性竞争等等。需要注意的是，绝大多数而不是所有的真实网络都是Scale free网络，如有的真实网络度分布为指数分布截断形式等等。2.3.3 其它网络模型除了经典的小世界模型、无标度网毕业论文络模型之外，学者们也提出了一些其它的网络模型来描述真实世界的网络结构。(1) 局域世界演化模型 李翔和陈关荣认为择优连接机制不可能在整个网络上都起作用而只会在某个局域世界里被遵守，通过将局域世界的概念引入BA模型对其作了推广，提出了所谓的局域世界演化网络模型，其度分布介于指数网络和无标度网络的度分布之间。该模型表明，随着局域世界的扩大，网络演化越不均匀，越接近于BA模型，即：局域世界的规模决定了网络演化的非均匀性。(2) 权重演化网络模型上述研究均将网络看作无权网，然而现实网络大多为有权网，即网络节点之间的连接强度是有区别的。Yook等人提出了一种权重演化模型：假定节点权重正比于节点的度数，也即度数大的节点拥有更大的权数。结果表明,其度分布也符合幂律特征。(3) 确定性网络模型 上述所有网络模型都引入了某种程度的随机性，那么是否一定要有随机性才能展现出小世界性和无标度特性呢？Barabsi等人提出了一种具有层次结构的网络模型，它在确定性机制下也能表现出无标度特性，节点度-ln2分布为 P(k): k ln3。第三章 传染病模型的动力学行为分析3.1 SIRS模型的介绍3.1.1传染病的基本概念1.有效接触率和传染率一般说来，传染病是通过接触传播的。单位时间内一个患者与其他人口接触的次数称为接触率，它通常依赖于疫区中总人口数，记作。如果被接触者为易感者，就有可能被传染。设每次接触传染的概率，我们把附有传染率接触率，称为有效接触率，即，它表示一个患者传染给他人的能力，反映了患者的活动能力、环境条件以及病菌的毒力等因素。应当注意，一般说来，总人口中除了该患者外，还有其他患者、免疫者和潜伏者，当患者与这些人口接触时不会发生传染，只有与易感者接触时才可能传染，而易感者S在总人口中所占比例为。因此，每一患者对易感者的平均有效接触率应为，它就是每一个患者平均对易感者的传播率，简称传染率。从而时刻在单位时间内被所有患者传染的新人口数为：，称其为疾病发生率或传染率。若假设接触率与总人口数成正比，即，于是有效接触率为，其中称为传播率系数，这时疾病发生率为，这种疾病的发生率称为双线性发生率。当所讨论种群的数量很大时，与总人口数成正比的接触率假设显然是不合实际的，因为单位时问内一个患者能接触其他成员的数量是有限的。这时，常假定接触率为一常数，从而疾病发生率为，其中为传播率系数，这种发生率称为标准型发生率。在经典的传染病模型中，这两种传染率被大量使用。2基本再生数对于经典的传染病模型，有一个量被称为基本再生数，它表示当总种群达到稳定地平衡态且个体均为易感者时，引入一个染病者，然后他在平均染病期内所能传染的人数。显然作为疾病是否消亡的阀值，其实实际涵义是十分明显的。当时，即一个病人在平均染病期内所能传染的最大人数小于l，模型仅存在无病平衡点，它是全局渐进稳定的，这时疾病就会自然逐步消亡；反之，当模型还存在唯一的全局渐进稳定的地方病平衡点，即疾病将始终存在，并进而形成地方病，这时模型的无病平衡点是不稳定的。因此，有许多研究工作者致力于寻找一定的传染病模型的基本再生数。3.1.2本文中的SIRS模型按照流行病学对人群的划分方法，我们把网络的节点分成三类：易感着S（susceptible）、感染者I（infective）、康复者R（recovery），t时刻3类节点的密度分别记作：、。 .(1)本文中模型的假设为：（1）总的节点数即总的人数是一定的，既不存在自然地出生和死亡。疾病在节点之间的传播规律为：易感节点如果与染病节点相连，则以概率变成染病节点；染病节点以概率康复；康复节点以概率失去免疫能力重新变为易感节点。其图如下所示：易感者感染者恢复者根据平均场理论，对于，我们列出模型，如下： (2)（1）平衡点和阈值的求解令可得： (3) (4)将(3)式（4）式代入（1）式得： (5)由（5）式可得平衡解： （6） （7） （8） （9）表示度为的节点与度为的节点相连的概率。如果为，则可能相连。 表示传染的程度表示度为的节点在总的节点中的概率； （10）表示任意取一条边与染病节点相连的概率。将（6）、（9）代入（10）中得： （11） 即 （12）解总是满足（12）式，当时，假设连续可微，则（12）式右边必须满足条件，可得 （13）即可求到阈值 （14）结论1：无标度网络上此模型的传播阈值为模型仿真参考文献（1）夏承遗，刘忠信，陈增强，袁著祉.复杂网络上带有直接免疫的SIRS 类传染模型研究.控制与决策,23（2008),468-472.（2）李光正，翟龙余，左传桂.基于Matlab的无标度网络仿真.百色学院学报,21（2008）,107-110.（3）王延，郑志刚.无标度网络上的传播动力学.物理学报，7 (2009) ,44212-4425.（4）Jingzhou Liu，Yifa Tang,Z. 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