二次函数综合(动点与三角形)问题方法与解析

九年级数学专项训练二次函数二次函数综合（动点与三角形）问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。二、例题精析【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一（2013铜仁地区）如图，已知直线y=3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（1，m），分三种情况讨论，MA=BA，MB=BA，MB=MA，求出m的值后即可得出答案解答：解：（1）直线y=3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，可得A（1，0），B（0，3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：抛物线解析式为：y=x2+2x3（2）令y=0得：0=x2+2x3，解得：x1=1，x2=3，则C点坐标为：（3，0），AC=4，故可得SABC=ACOB=43=6（3）抛物线的对称轴为：x=1，假设存在M（1，m）满足题意：讨论：当MA=AB时，解得：，M1（1，），M2（1，）；当MB=BA时，解得：M3=0，M4=6，M3（1，0），M4（1，6），当MB=MA时，解得：m=1，M5（1，1），答：共存在五个点M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，6），M5（1，1）使ABM为等腰三角形点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二（2013鞍山）如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可解答：解：（1）y=0.5x+2交x轴于点A，0=0.5x+2，x=4，与y轴交于点B，x=0，y=2B点坐标为：（0，2），A（4，0），B（0，2），二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2可设二次函数y=a（x2）2，把B（0，2）代入得：a=0.5二次函数的解析式：y=0.5x22x+2；（2）（）当B为直角顶点时，过B作BP1AD交x轴于P1点由RtAOBRtBOP1=，=，得：OP1=1，P1（1，0），（）作P2DBD，连接BP2，将y=0.5x+2与y=0.5x22x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD=，当D为直角顶点时DAP2=BAO，BOA=ADP2，ABOAP2D，=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.254=7.25，故P2点坐标为（7.25，0）；（）当P为直角顶点时，过点D作DEx轴于点E，设P3（a，0）则由RtOBP3RtEP3D得：，方程无解，点P3不存在，点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三（2013恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）（1）求直线BD和抛物线的解析式（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标（3）在抛物线上是否存在点P，使SPBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；（2）首先确定MCD为等腰直角三角形，因为BND与MCD相似，所以BND也是等腰直角三角形如答图1所示，符合条件的点N有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据SPBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解解答：解：（1）直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（1，0），B（0，3）；把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，C（1，0）设直线BD的解析式为：y=kx+b，点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，解得k=1，b=3，直线BD的解析式为：y=x+3设抛物线的解析式为：y=a（x1）（x3），点B（0，3）在抛物线上，3=a（1）（3），解得：a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3（2）抛物线的解析式为：y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）直线BD：y=x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，M（2，1）设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，MCD为等腰直角三角形以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，BND为等腰直角三角形如答图1所示：（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，N1（0，0）；（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N2（3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N3（0，3）满足条件的点N坐标为：（0，0），（3，0）或（0，3）（3）假设存在点P，使SPBD=6，设点P坐标为（m，n）（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PEx轴于点E，则PE=n，DE=m3SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=（3+n）m33（m3）n=6，化简得：m+n=7 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1，n1=3，n2=8，P1（4，3），P2（1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PEy轴于点E，则PE=m，OE=n，BE=3nSPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=（3+m）（n）+33（3n）m=6，化简得：m+n=1 ，P（m，n）在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m+4=0，=70，此方程无解故此时点P不存在综上所述，在抛物线上存在点P，使SPBD=6，点P的坐标为（4，3）或（1，8）点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解三、形成训练1（2013湘西州）如图，已知抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；（4）本问为存在型问题若ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解解答：解：（1）抛物线y=x2+bx+4的图象经过点A（2，0），（2）2+b（2）+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=x2+x+4，又y=x2+x+4=（x3）2+，对称轴方程为：x=3（2）在y=x2+x+4中，令x=0，得y=4，C（0，4）；令y=0，即x2+x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8或x=2，A（2，0），B（8，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，直线BC的解析式为：y=x+4（3）可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC与COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC=，AQ=，CQ=i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4）综上所述，存在点Q，使ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4）点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形ACQ可能有多种情形，需要分类讨论2 ：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标3、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点（1）求三点的坐标；（2）证明为直角三角形；（3）在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由4、如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q（1）求点B和点C的坐标；（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围（3）在线段BC上是否存在点Q，使得DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由5、（09年成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M,若直线MC的函数表达式为,与x轴的交点为N，且COSBCO。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?第13页