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三年级火箭班第12讲 和倍、差倍、和差问题复习应用知识网络已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数各是多少的应用题，我们称之为和倍问题；已知 几个数的差以及它们之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫差倍问题；已知两个数的和与它们之间的差，求这 两个数的问题叫做和差问题。基本公式和方法：（1）解答和倍问题，一般先确定一个数为标准数（即一倍数），再根据其他各数是标准数的几倍，确定总 和相当于标准数的几倍，可用除法先求出标准数，进而再算出其他各数分别是多少。基本公式：和+ （倍数 +1）=小数小数x倍数 次数 或者 和-小数次数（2）解答差倍问题，一般以小数作为标准数即一倍数，再根据大小两数间的倍数关系，确定差是标准数的 多少倍，可先用除法求出小数，进而再求出大数。基本公式：差一 （倍数的差）=标准数（一倍数）小数X倍数=大数 或者 小数+差=大数（3）解答和差问题，可以选择大数或小数作为标准数，然后进行思考。以小数为标准，从和里减去两数差， 恰好是小数的2倍，除以2可以求出小数；以大数为标准，把小数加上两数差，就与大数相等了，也就是用和加 上两数差，正好是大数的 2倍，除以2可以求出大数。解答和差问题的基本公式是：（和差）+ 2=小数和小数=大数（和+差）+ 2=大数和大数=小数重要提示：确定题目中数量间的倍数关系，关键是正确确定标准数，常常采用画线段图的方法，来帮助理解和解题。经典例题例1某畜牧场有牛、羊共 1502只，如果牛减少 50只，羊增加350只，那么羊的只数比牛的只数的3倍多2,求原来牛、羊各有多少只？思路剖析此题中给出的数量关系“羊的只数比牛的只数的3倍多2”是牛、羊数量减、增完后的关系。牛减少 50只，羊增加350只后，牛、羊总量发生变化： 1502-50+350=1802 （只）。这时的总量是此时牛的数量的 4倍多2只， 那么变化后的牛、羊数可求，原来牛、羊的数量易知。解答变化后牛、羊总数：1502-50+350=1802 （只）此时牛的只数：（1802-2） + （ 3+1） =1800+ 4=450 （只）此时羊的只数：1802-450=1352 （只）原有牛的只数：450+50=500 （只）原有羊的只数：1352-350=1002 （只）答：原来有牛500只，羊1002只。点津在求解此题时应注意牛、羊数前后的变化及变化后的数量关系。例2在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚。中国队、荷兰队各获金牌多少枚？思路剖析由条件“中国队的金牌数比荷兰队的3倍少8枚”，可把荷兰队的金牌数看作一份，那么中国队的金牌数为3份减8。如果把中国队与荷兰队的金牌总数40枚再加上8枚，就等于荷兰队金牌数的4倍。r和中蛆牧中 二TStt解答荷兰队的金牌数：（40+8） + （ 3+1） =12 （枚）中国队的金牌数：40-12=28 （枚）或者 12 X 3-8=28 （枚）答：中国队获金牌 28枚，荷兰队获金牌12枚。例3已知两数之和是649,其中一个数的个位数是 0,如果把这个数个位的 0去掉，则和另一个数相等，求 这两个数。思路剖析已知两个数的和是 649,又知把其中一个数个位的 0去掉，即缩小10倍后与另一个数相等， 可知大数是小数 的10倍，那么两数之和是小数的11倍，则可先求出一倍数，然后再求出另一个数。用为649解答小数：649+ （ 10+1） =649+11=59大数：649-59=590或者 59 X 10=590答：这两个数分别为 590和59。点津此题中两个数之间的数量关系是间接给出的，要通过分析得出它们之间的倍数关系。例4有一箱苹果和一箱桔子，已知苹果数是桔子数的3倍。若每天从苹果箱中拿出 2个苹果，从桔子箱中拿出1个桔子，经过几天后，还剩下7个苹果，桔子恰好取完，问原有桔子、苹果各多少个？思路剖析由于每天取出2个苹果和1个桔子，则取出的苹果数是桔子的2+1=2倍，再由条件“苹果数是桔子数的3倍，可知剩下的苹果数应是桔子的3-2=1 （倍），即为桔子的个数。再由二者3倍的数量关系可求苹果数。解答桔子的个数：7+ （3-2+1） =7+1=7 （个）苹果的个数：7X3=21 （个）答：有桔子7个，有苹果21个。例5有两根同样长的铁丝， 第一根截去14分米，第二根接上180厘米，这时第二根铁丝的长度是第一根长 的3倍，两根铁丝原来各长多少分米？思路剖析由于变化后第二根铁丝是第一根铁丝的 3倍，因此将变化后的第一根铁丝长度看作一倍数，而180厘米=18分米。变化后两根铁丝的差正好相当于第一根铁丝剩下部分的长度的2倍，所以，当从第一根截去 14分米后剩下的长度（即一倍数）可以求出来了，那么两根铁丝的长度易求。解答180厘米=18分米第一根铁丝截去14分米后剩下的长度：（14+18） + （ 3-1 ） =32+2=16 （分米）两根铁丝原来的长度：16+14=30 （分米）答：两根铁丝原来的长度各为30分米。点津注意一倍数的选取，从两根铁丝变化后的长度差与一倍数的关系中求出一倍数。例6 A、B、C、D四个数，每相邻两个数的差是3,且D是A的4倍，求这四个数。思路剖析由于条件中给出“ D是A的4倍”，只需知道 D比A多多少，即D与A的差，那么此题易解。由“每相邻两 个数的差是3，那么D与A相隔4-1=3个数，则D与A的差为：3X 3=9。由条件“ D是A的4倍”，知D比A 多3倍。把A当作一倍数，那么 A值可求，B、C D也易求。解答D与 A 的差：3X （ 4-1 ） =9D比 A 多：4-1=3 （倍）A 值为：9+3=3B 值为：3+3=6C 值为：6+3=9D 值为：9+3=12答：这四个数分别为 3、6、9、12。例7在一道除法算式里，被除数、除数、商与余数的和是541,已知商13、余数5,求被除数和除数各是多少？思路剖析从四个数的总数541里面减去已知的商 13、余数5,就是剩下的被除数与除数的和：541-13-5=523。由于余数是5,那么被除数减去 5则正好是除数的13倍，这时总数为：523-5=518,这正好是除数的 13+1=14 （倍）， 把除数看作是1倍数，则除数可求。再根据“被除数=除数X商株数”，可求出被除数的值。解答被除数与除数的和：541-13-5=523 。除数：（523-5 ） + （ 13+1） =518+ 14=37被除数：37 X 13+5=486 或者 523-37=486答：被除数为486,除数为37。例8.数学兴趣小组有学生 45人，男生比女生多 3人，兴趣小组男、女生各有多少人?分析与解答：可画线段图帮助理解：男生： 145匚1J1女生：3A方法一：男生比女生多 3人，若男生减少3人，男、女生就同样多，但总人数会因此也减少3人：变为45 - 3=42（人），42人中男、女生同样多，各为 42+2=21 （人）；方法二：男生比女生多 3人，若女生增加3人，男、女生就同样多，但总人数会因此也家伙少年宫3人：变为45-3=42 （人），42人中男、女生同样多，各为 42 + 2=21 （人）；和：45;差：3;较小数：女生；较大数：男生女生（小数）：（45-3） + 2=21 （人）男生（大数）：（45+3） + 2=24 （人）小结：由此我们可以从中发现解决和差问题的一般公式（和+差）+ 2=大数（和差）+ 2=小数例9.小丽在一次考试中，语文和数学的平均分是93分，数学比语文多 4分，小丽的语文和数学各得了多少分？分析与解答：已知数学与语文的分数差是4分，而数学与语文的分数和没有直接告诉我们，要自己去找。从“语文和数学的平均分是 93分”可求出分数和，然后利用和差问题的一般公式就可求出语、数两科的分数。语文和数学的分数和是93 X 2=186,差：4数学（大数）（186+4） + 2=95 （分）语文（小数）（1864） +2=91 （分）例10.二（1）班和二（2）班共有82人，如果从二（1）班调4名学生到二（2）班，那么两班人数相等。两个班各有学生多少人？分析与解答：此题和已知，关键是找到两班的人数差，从“从二（1）班调4名学生到二（2）班，两班人数相等”可知，二（1）班比二（2）班多2个4人，即多8人，利用关系式：二（1）班（大数）：（82+8） + 2=45 人；二（2）班（小数）：（82-8） + 2=37 人。 例11 .聪聪和明明共买了 20本书，如果聪聪给明明 6本书，那么聪聪就比明明少 2本书。问聪聪和明 明各买了多少书？分析与解答：从题中我们可以很容易找到“和”，“差”却没有明确告知，从“如果聪聪给明明6本书，那么聪聪就比明明少2本书”中可知：如果给了后两人一样的话，那么聪聪比明明多6X 2=12本，但是给了后聪聪比明明少2本，说明实际上聪聪比明明只多12 2=10本。这样和差的关系都有了，就可以用和差问题的方法来解决。聪聪的本数（大数）：（20+10） +2=15 （本）明明的本数（小数）：（2010）+2=5 （本） 或1510=5（本）例12.小明、小刚、小虎三人共有课外书49本。小明比小刚多4本，小刚又比小虎多 6本，三人各有多少本?共酒本分析与解答：先画图分析 小明:小刚:小虎:4本，再增加4本，小明可看出，小明比小虎多 6+4=10本，如果增加10本，小明和小虎一样多；小明比小虎多和小刚一样多；即：总数增加（6+4） +4=14本后，正好是小明的 3倍，可以求出小明的数量为（49+14） +3=21本，进而得出小刚、小虎的数量。反之，如果将总数减少（6+4+6）本，就正好是小虎的三倍，可以先得出小虎的数量，再求其他的数量。即:方法一：小明（最大数）：（49+4+6+4） + 3=21本，小刚：21-4=17本；小虎：17-6=11本方法二：小虎（最小数）：（49-4-6-6 ） +3=11本小刚：11+6=17本；小虎:17+4=21本练一练：工厂将875元奖金奖给有发明创造的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得奖金多少元？分析与解答：第三名（即最小数）钱数的 3倍是：875 125 125-250=375 （元）第三名的钱数为375+ 3=125 （元）第二名的钱数为 125+ 125=250 （元）第一名的钱数为 250+ 250=500 （元）思考如果以第一名或第二名为标准又该怎样解答呢？小结：解决三个数之间的和差关系要注意：在分析三个数之差时，如果以最大数为标准或以最小数为标准，总数增加或减少的量是不同的，要特别细心分析。发散思维训练1 .小江和小天总共有 52张邮票。如果从小江的邮票中拿走一张，再把3张邮票放入小天的邮票中，小天的邮票就是小江的2倍。小江和小天各有几张邮票？2 .已知A、B、C三个数之和是131, A除以B, B除以C,商都是5,余数都是1,求这三个数。3 .甲、乙两车间的工人数相等，由于工作需要，从甲车间调57人到乙车间去，这时乙车间人数正好是甲车间人数的4倍。求甲、乙车间原来各有多少人？4 .某农场有鸡、鸭共4571只，如果鸡减少230只，鸭增加100只，那么鸡的只数比鸭的只数的 3倍多1只， 求原来有鸡、鸭各多少只？5 .三个物体的平均重量是37千克，甲物体比乙、丙物体重量之和重5千克，乙物体比丙物体的 2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？6 .某校参加运动会的男生比女生的4倍少10人，比女生的3倍多22人，这个学校参加运动会的男、女生各有多少人?7 .甲、乙、丙三人的年龄和是134岁，其中甲比乙的 3倍少9岁，丙比乙的2倍多5岁，求三人的年龄各是多少岁？8 .有A B两个水塘，A塘中有水3000立方米，B塘中有水1200立方米，现从 A塘中往B塘中引水，流速 为每分钟50立方米，多少分钟后 B塘中的水量是 A塘中水量的2倍？9 .学校一、二年级工友 230人，一年级比二年级少 30人，一、二年级各有多少人？10 .师徒两人合作2小时，共生产零件110个，师傅每小时比徒弟多生产 5个，师徒两人每小时各生产零件多少个?11 .两只油桶共装油 60千克，如果把第一桶里的油倒出6千克，两个油桶中的油就一样多。第一桶里原来有油多少千克？12 .姐妹两人共有480元零花钱，如果姐姐给妹妹 34元，则两人的钱数相等，原来姐妹两人各有多少钱？13 .把长118厘米的铁丝围成一个长方形，并且要求长比宽多11厘米，那么长与宽各应该是多少？14 .把99颗大白兔糖分给甲、乙、丙三个小朋友，甲比乙多分4个，乙又比丙多分4个，甲、乙、丙三个小朋友各分得多少个糖？15 .四个人的年龄之和是 77岁，其中最小的10岁，最小的与最大的年龄之和比另外两人的年龄之和大7岁，最大的年龄是多少岁？参考答案发散思维训练1 .解：从小江的邮票中拿走 1张，再把3张邮票放入小天的邮票中，这时邮票总数：52-1+3=54张，这时小天的邮票是小江的2倍，那么邮票总数是小江邮票数的3倍，那么小江现有邮票数：54+ （2+1） =18 （张）小江原有邮票数：18+1=19 （张）小天原有邮票数：52- 19=33 （张）答：小江有邮票19张，小天有邮票 33张。2 .解：将C看作标准数，即一倍数，因为 C最小，那么B是C的5倍加1, A是B的5倍加1,即是C的5X （5 倍+1） +1 =25倍+6,三数之和为131,是标准数的1+5+25=31倍，再加上1+6=7,那么可求标准数为（131-7） + 31=124+31=4,即 C=4,那么 B=4X 5+1=21 , A=21X 5+1=106。答：A、B、C的值分别为106, 21, 4。3 .解：把调走57人的甲车间人数看作1倍数，则乙车间调入57人后的人数是4倍数。甲、乙两车间的人数相差 4-1=3 倍数，而甲、乙两车间人数相差 57X2= 114人，这114人正是3倍数。那么调走 57人后的甲车间人数为：114 + 3=38 （人），甲、乙车间原有人数： 38+57=95 （人）。答：两车间原来各有 95人。4 .解：若鸡减少230只，鸭增加100只，则鸡、鸭的总数变成：4571-230+100=4441 （只），此时鸡的只数比鸭的只数的3倍多1只，即总数是鸭的只数的 4倍多1只，把鸭数当作1倍数，则鸭数：（4441-1 ） + （ 3+1） =1110 （只）原来有鸭：1110-100=1010 （只）原来有鸡：4571 - 1010=3561 （只）答：农场原有鸡 3561只，鸭1010只。5 .解：由甲物体比乙、丙物体的重量之和重5千克，可知甲物体是乙、丙物体重量和的1倍多5千克。那三物体的总重量是乙、丙物体重量和的2倍多5千克。把乙、丙物体重量和当作1倍数，三物体总重量：37X3=111 （千克），乙、丙物体的重量和：（111 5） + （ 1+1） =106+ 2=53 （千克），那么甲物体的重量：111 53=58 （千再由乙物体比丙物体的 2倍还重2千克，知乙、丙物体的重量和是丙物体的3倍还重2千克，这时取丙物体重量为1倍数，丙物体：（53-2 ） + （ 2+1 ） =51 + 3=17 （千克）乙物体：53- 17=36 （千克）或者 17X2+2=36 （千克）答：甲重58千克，乙重36千克，丙重17千克。6 .解：由题意知，若男生人数增加10人则为女生人数的 4倍；若男生人数减少 22人则为女生人数的 3倍。女生人数白4 4倍与女生人数的3倍的差：22+10=32 （人）,即女生有 32人。男生人数：4X3210=118 （人）或者 3X 32+22= 118 （人）答：参加运动会的男生有118人，女生有32人。7 .解：由题中条件易知乙的年龄最小，把乙的年龄当作1倍数，由于甲是乙的 3倍少9,丙是乙的2倍多5,那么三人的年龄和是乙的 1+3+2= 6倍，且少9-5 = 4岁。则乙的年龄：134+ （9-5） + （ 1+3+2 ） =138+6=23 （岁）甲的年龄：23X 39=60 （岁）丙的年龄：23X2+5=51 （岁）答：甲、乙、丙白年龄分别为60岁、23岁、51岁。8A塘、B塘中共有水量：3000+1200=4200 （立方米）。经过几分钟后使 B塘中水量为A塘中水量的2倍，那 么总水量为此时 A塘水量的3倍，此日A塘有水：4200+ （2+1） = 1400 （立方米），比原来减少：3000-1400=1600 （立方米），每分钟排水 50立方米，那么所需时间：1600 + 50=32 （分钟）答：32分钟后B塘水量为A塘的2倍。三年级火箭班
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