资源描述
1 泉州七中泉州七中 20142014 届高三年上学期第二次月考理科数学试卷届高三年上学期第二次月考理科数学试卷 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分 命卷人：陈炳烈命卷人：陈炳烈 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 5050 分分. .） 1. 1. 已知集合已知集合1,3,1,=AmBmABBm则( )( ) A.0A.0 或或 1 1 B.0B.0 或或 3 3 C.1C.1 或或 3 3 D.0D.0 或或 1 1 或或 3 3 2. 2. 下列命题中，真命题是下列命题中，真命题是( )( ) A.A.命题“若命题“若 p p，则，则 q.q.”的否命题是“若”的否命题是“若 p p，则，则. q” B. a+b=0B. a+b=0 的充要条件是的充要条件是1ab C.C.已知命题已知命题 p p、q q，若“，若“pq”为假命题，则命题”为假命题，则命题 p p 与与 q q 一真一假一真一假 D. D. 命题命题2:1 0pxRx ，使得，则，则:pxR ，使得，使得21 0 x 3. 3. 2(sin22.5cos22.5 )的值为（的值为（ ） A A212 B B212 C C21 D D2 2 4 4已知已知 0a0aN BMN BMN CM0)0)的最小正周期为，则它的图象的一个对称中的最小正周期为，则它的图象的一个对称中心为心为( ( ) ) A.A. 8 8，0 0 B.B. 8 8，0 0 C C(0,0) D.(0,0) D. 4 4，0 0 7. 7. 已知已知na为等比数列为等比数列, ,472aa, ,568a a , ,则则110aa（ ） A A7 B B5 C C D D 8. 8. 设设i，j是平面直角坐标系是平面直角坐标系( (坐标原点为坐标原点为O O) )内分别与内分别与x x轴、轴、y y轴正方向相同的两个单轴正方向相同的两个单位向量，且位向量，且OA4 4i2 2j，OB3 3i4 4j，则，则OABOAB的面积等于的面积等于 ( ( ) ) A.15 B.10 C. 7.5 D.5A.15 B.10 C. 7.5 D.5 9. 9. 定义在定义在 R R 上的偶函数上的偶函数)(xf满足满足)()2(xfxf，且在，且在 3 3，22上是减函数，上是减函数，,是是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（ ） A A(sin)(cos)ff B B(cos )(cos)ff C C(cos )(cos)ff D D(sin)(cos)ff 1010数列数列 a an n 中中a a1 11 1，a a5 51313，a an n2 2a an n2 2a an n1 1；数列；数列 b bn n 中，中，b b2 26 6，b b3 33 3，b bn n2 2b bn nb b2 2n n1 1，在直角坐标平面内，已知点列在直角坐标平面内，已知点列P P1 1( (a a1 1，b b1 1) )，P P2 2( (a a2 2，b b2 2) )，P P3 3( (a a3 3，b b3 3) )，P Pn n( (a an n，b bn n) )，则，则向量向量P P1 1P P2 2P P3 3P P4 4P P5 5P P6 6P P20092009P P20102010的坐标为的坐标为 ( ( ) ) 2 A.A. 30153015，8 8 1 12 2100510051 1 B.B. 30123012，8 8 1 12 2100510051 1 C.C. 30153015，8 8 1 12 2201020101 1 D.D. 30183018，8 8 1 12 2201020101 1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分，把答案填在相应的横线上）分，把答案填在相应的横线上） 11. 11. 若复数若复数 22aii是纯虚数（是纯虚数（i是虚数单位） ，则实数是虚数单位） ，则实数a ; ; 1212已知向量已知向量(2,4)a ，b(1,1)，若向量，若向量()bab，则实数，则实数的值为的值为_._. 1313已知已知)tan(,31)6tan(,21)6tan(则 1414在在ABC中中，D D为为BCBC中点中点，若若120A，1 ACAB，则则AD的最小值是的最小值是 15. 15. 对于函数对于函数y yf f( (x x) )，我们把使，我们把使f f( (x x) )0 0 的实数的实数x x叫做函数叫做函数y yf f( (x x) )的零点，且有如的零点，且有如下零点存在定理：如果函数下零点存在定理：如果函数y yf f( (x x) )在区间在区间 a a，b b 上的图像是连续不断的一条曲线，并上的图像是连续不断的一条曲线，并且有且有f f( (a a) )f f( (b b)0)0，那么，函数，那么，函数y yf f( (x x) )在区间在区间( (a a，b b) )内有零点给出下列命题：内有零点给出下列命题： 若函数若函数y yf f( (x x) )在在 a a，b b 上是单调函数，则上是单调函数，则f f( (x x) )在在 a a，b b 上有且仅有一个零点；上有且仅有一个零点； 函数函数f f( (x x) )2 2x x3 33 3x x1 1 有有 3 3 个零点；个零点； 函数函数y yx x2 26 6和和y y|log|log2 2x x| |的图像的交点有且只有一个；的图像的交点有且只有一个； 设函数设函数f f( (x x) )对对x xR R 都满足都满足f f(3(3x x) )f f(3(3x x) )，且函数，且函数f f( (x x) )恰有恰有 6 6 个不同的零点，个不同的零点， 则这则这 6 6 个零点的和为个零点的和为 1818； 其中所有正确命题的序号为其中所有正确命题的序号为_( (把所有正确命题的序号都填上把所有正确命题的序号都填上) ) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分）分） 16. (16. (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 函数函数2( )lg(23)f xxx的定义域为集合的定义域为集合 A A，函数，函数( )2(2)xg xa x的值的值域为集合域为集合 B B （1 1）求集合）求集合 A A，B B； （2 2）若集合）若集合 A A，B B 满足满足ABB, ,求实数求实数 a a 的取值范围的取值范围 1717、( (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 已知向量已知向量a)sin,(cos，, 0，向量，向量b( (3，1)1) 3 (1)(1)若若ab，求，求的值的值； (2)(2)若若2abm恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围。的取值范围。 1818( (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 已知等差数列已知等差数列aan n 满足：满足：a a3 37 7，a a5 5a a7 726.a26.an n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n. . (1)(1)求求 a an n及及 S Sn n； (2)(2)令令 b bn n1 1a a2 2n n1 1(n(nN N* *) )，求数列，求数列bbn n 的前的前 n n 项和项和 T Tn n. . 1919、( (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 已知函数已知函数.212cos2sin32sin)(2xxxxf （1 1）求）求)(xf的单调递增区间；的单调递增区间； （2 2）将）将)(xfy 的图象向左平移的图象向左平移6个单位，得到函数个单位，得到函数)(xgy 的图象的图象. . 若若)0)(xxgy的 图 象 与 直 线的 图 象 与 直 线21y交 点 的 横 坐 标 由 小 到 大 依 次 是交 点 的 横 坐 标 由 小 到 大 依 次 是,21nxxx求数列求数列nx的前的前 2n2n 项的和项的和. . 4 2020( (本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 某港口某港口O O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口船位于港口O O北偏西北偏西 3030且与该港口相距且与该港口相距 2020 海里的海里的A A处，并正以处，并正以 3030 海里海里/ /小时的航行小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v v海里海里/ /小时的航行速度匀速行驶，小时的航行速度匀速行驶，经过经过t t小时与轮船相遇小时与轮船相遇 (1)(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达到 3030 海里海里/ /小时，试设计航行方案小时，试设计航行方案( (即确定航行即确定航行方向和航行速度的大小方向和航行速度的大小) )，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 2121( (本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 已知函数已知函数f f( (x x) )ln(1)x (1)xa x . . (1)(1)若函数若函数f f( (x x) )在在00，) )内为增函数，求正实数内为增函数，求正实数a a的取值范围；的取值范围； (2)(2)当当a a1 1 时，求时，求f f( (x x) )在在 1 12 2，11上的最大值和最小值；上的最大值和最小值； (3)(3)试利用试利用(1)(1)的结论， 证明： 对于大于的结论， 证明： 对于大于 1 1 的任意正整数的任意正整数n n， 都有， 都有1 12 21 13 31 14 41 1n nlnlnn n. . 泉州七中泉州七中 20142014 届高三年上学期第二次月考理科数学试卷答案届高三年上学期第二次月考理科数学试卷答案 考试时间：考试时间：120120 分钟分钟 满分：满分：150150 分分 命卷人：陈炳烈命卷人：陈炳烈 一、选择题： （每小题一、选择题： （每小题 5 5 分，共分，共 5050 分）分） 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 答案答案 B B D D B B A A A A B B C C D D A A C C 二、二、填空题（每小题填空题（每小题 4 4 分，共分，共 2020 分）分） 1111 4 4 1212、13 13. 1 14. 13. 1 14. 22 1515、 三、解答题（三、解答题（1616-1919 题各题各 1313 分，分，20.2120.21 题题 1414 分，共分，共 8080 分分 ） 1616解： （解： （1 1）A=A=2 |230 x xx= = |(3)(1)0 xxx = = |1,3x xx 或，-3 3 分分 B=B= |2,2 |4xy ya xyaya -6 6 分分 （2 2）ABB， BA，-8 8 分分 5 41a 或或3a ，-1010 分分 3a 或或5a ，-1212 分分 即即a的取值范围是的取值范围是(, 3(5,) -1313 分分 1717、( (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 1717、解：、解：(1)(1)ab， 0sincos3，-2 2 分分 得得3tan，-4 4 分分 又又, 0，所以，所以3；-6 6 分分 (2)(2)2ab) 1sin2 , 3cos2(，-7 7 分分 所以所以22abcos23sin2188) 1sin2()3cos2(22 3sin88，-1010 分分 又又00， ， 2,333 ， 3sin,132 ，-1111 分分 22ab的的最大值为最大值为 1616，-1212 分分 2ab的的最大值为最大值为 4 4，又又2abm恒成立，所以恒成立，所以4m 。-1313 分分 1818( (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 解析解析 (1)(1)设等差数列设等差数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1，公差为，公差为d d， 由于由于a a3 37 7，a a5 5a a7 72626， 所以所以a a1 12 2d d7,27,2a a1 11010d d2626， 解得解得a a1 13 3，d d2.2. -4 4 分分 由于由于a an na a1 1( (n n1)1)d d，S Sn nn na a1 1a an n2 2， 所以所以a an n2 2n n1 1，S Sn nn n( (n n2)2) -6 6 分分 (2)(2)因为因为a an n2 2n n1 1，所以，所以a a2 2n n1 14 4n n( (n n1)1)-7 7 分分 因此因此b bn n1 14 4n nn n1 11 14 4( (1 1n n1 1n n1 1) )-9 9 分分 故故T Tn nb b1 1b b2 2b bn n1 14 4(1(11 12 21 12 21 13 31 1n n1 1n n1 1) ) 1 14 4(1(11 1n n1 1) )4(1)nn . .-1212 分分 所以数列所以数列 b bn n 的前的前n n项和项和T Tn n4(1)nn . .-1313 分分 1919、( (本小题满分本小题满分 1313 分分) ) 6 解： （解： （I I）212cos2sin32sin)(2xxxxf xxxxcos21sin2321sin232cos1).6sin(x-3 3 分分 由由,22622kxk )(32232Zkkxk得-5 5 分分 所以所以)(xf的单调递增区间是的单调递增区间是).(322 ,32Zkkk-6 6 分分 （IIII）函数）函数)6sin()(xxf的图象向左平移的图象向左平移6个单位后，个单位后， 得到函数得到函数xysin的图象，即的图象，即.sin)(xxg-8 8 分分 若函数若函数)0(sin)(xxxg的图象与直线的图象与直线21y交点的横坐标由小到大依次是交点的横坐标由小到大依次是 ,21nxxx则由正弦曲线的对称性，周期性可知，则由正弦曲线的对称性，周期性可知， ,2) 1(22,222,222124321nxxxxxxnn-1010 分分 所以所以nnxxxx21221)()()(2124321nnxxxxxx )34(95n.)2(42) 1(12nnnnn -1313 分分 2020( (本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 某港口某港口O O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O O北偏西北偏西 3030且与该港口相距且与该港口相距 2020 海里的海里的A A处，并正以处，并正以 3030 海里海里/ /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直假设该小艇沿直线方向以线方向以v v海里海里/ /小时的航行速度匀速行驶，经过小时的航行速度匀速行驶，经过t t小时与轮船相遇小时与轮船相遇 (1)(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行速度只能达到 3030 海里海里/ /小时，试设计航行方案小时，试设计航行方案( (即确定航行方向和航行即确定航行方向和航行速度的大小速度的大小) )，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 1212解： （解： （1)1)设小艇与轮船在设小艇与轮船在B B处相遇，相遇时小艇航行的距离为处相遇，相遇时小艇航行的距离为S S海里，如图所示海里，如图所示 在在AOBAOB中，中，A A909030306060-2 2 分分 S S900900t t2 24004002 23030t t2020cos60cos60 900900t t2 2600600t t40040021900()3003t . .-4 4 分分 故当故当t t1 13 3时，时，S Sminmin1010 3 3，-6 6 分分 此时此时v v1010 3 31 13 33030 3 3. .-7 7 分分 即小艇以即小艇以 3030 3 3海里海里/ /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)(2)由题意可知由题意可知OBOBvtvt， 在在AOBAOB中利用余弦定理得：中利用余弦定理得：v v2 2t t2 2400400900900t t2 22 220203030t tcoscos 6060-9 9 分分 故故v v2 2900900600600t t400400t t2 2-1010 分分 7 0 0v v3030，900900600600t t400400t t2 2900.900. -1111 分分 即即2 2t t2 23 3t t0 0，解得，解得t t2 23 3，又，又t t2 23 3时，时，v v30(30(海里海里/ /小时小时) )，1212 故故v v3030 时，时，t t取得最小值，且最小值等于取得最小值，且最小值等于2 23 3. .-1313 分分 此时，在此时，在OAOAB B中，有中，有OAOAOBOBABAB2020，故可设计航行方案如下：，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东航行方向为北偏东 3030， 航行速度为， 航行速度为 3030 海里海里/ /小时， 小艇能以最短时间与轮船相遇小时， 小艇能以最短时间与轮船相遇 -1414分分 2121( (本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 已知函数已知函数f f( (x x) )ln(1)x (1)xa x . . (1)(1)若函数若函数f f( (x x) )在在00，) )内为增函数，求正实数内为增函数，求正实数a a的取值范围；的取值范围； (2)(2)当当a a1 1 时，求时，求f f( (x x) )在在 1 12 2，11上的最大值和最小值；上的最大值和最小值； (3)(3)试利用试利用(1)(1)的结论，证明：对于的结论，证明：对于大于大于 1 1 的任意正整数的任意正整数n n，都有，都有1 12 21 13 31 14 41 1n nln0)0) -1 1 分分 函数函数f f( (x x) )在在00，) )内为增函数，内为增函数， f f( (x x) )0 0 对任意对任意x x00，) )恒成立恒成立-2 2 分分 a a( (x x1 1) )1 10 0 对任意对任意x x00，) )恒成立，即恒成立，即a a1 1x x1 1对任意对任意x x00，) )恒成立恒成立 而当而当x x00，) )时，时，( (1 1x x1 1) )maxmax1 1， a a1. 1. -4 4 分分 (2)(2)当当a a1 1 时，时，f f( (x x) )2(1)xx 当当x x 1 12 2，0)0)时，时，f f( (x x)0)0)0，f f( (x x) )在在(0,1(0,1上单调递增上单调递增 f f( (x x) )在在 1 12 2，11上有唯一极小值点故上有唯一极小值点故f f( (x x) )minminf f(0)(0)0.0. -6 6 分分 又又f f( (1 12 2) )1 1lnln1 12 21 1ln2ln2，f f(1)(1)1 12 2ln2ln2， f f( (1 12 2) )f f(1)(1)3 32 22ln22ln23 3ln16ln162 2 lnelne3 3ln16ln162 2. . e e3 31616， f f( (1 12 2) )f f(1)0(1)0，即，即f f( (1 12 2)f f( (1)1) f f( (x x) )在在 1 12 2，11上的最大值为上的最大值为f f( (1 12 2) )1 1ln2.ln2. -8 8 分分 8 综上，函数综上，函数f f( (x x) )在在 1 12 2，11上的最大值是上的最大值是 1 1ln2ln2，最小值是，最小值是 0.0. -9 9 分分 (3)(3)法一：用数学归纳法法一：用数学归纳法 当当n n2 2 时，要证时，要证1 12 2ln21ln41，显然成立，显然成立 假设当假设当n nk k时，不等式时，不等式1 12 21 13 31 14 41 1k kln11，k kN N* *) )成立成立 则当则当n nk k1 1 时，时，1 12 21 13 31 14 41 1k k1 1k k1 1lnlnk k1 1k k1 1. . 要证要证 lnlnk k1 1k k1 1ln(ln(k k1)1)成立，只要证成立，只要证1 1k k1 1lnlnk k1 1k k，即，即1 1k k1 1ln(100，则上式化为，则上式化为x x1 1x xln(10)0) 只要证：只要证：ln(1ln(1x x) )x x1 1x x0(*)0(*) 由由(1)(1)知，当知，当a a1 1 时，时，f f( (x x) )ln(1ln(1x x) )x xx x1 1在在00，) )内是增函数内是增函数 故有故有f f( (x x) )f f(0)(0)，即，即 ln(1ln(1x x) )x xx x1 1，x x00，) )成立成立-1212 分分 而而(*)(*)中中x x1 1k k( (k k11，k kN N* *) )，x x00， ln(1ln(1x x) )x x1 1x x00，即，即(*)(*)式成立式成立 当当n nk k1 1 时，不等式成立时，不等式成立-1313 分分 由由知对任意知对任意n n11 的正整数不等式都成立的正整数不等式都成立-1414 分分 法二：由法二：由(1)(1)知，当知，当a a1 1 时，时，f f( (x x) )ln(1ln(1x x) )x xx x1 1在在00，) )上是增函数上是增函数 故有故有f f( (x x) )f f(0)(0)，即，即 ln(1ln(1x x) )x x1 1x x，x x00，) )成立成立-1010 分分 令令x x1 1n n( (n nN N* *) )，则，则x x0.0. 有有 ln(1ln(1x x)x x1 1x x，即，即 lnlnn n1 1n n 1 1n n1 1. .-1111 分分 由此得由此得 lnln2 21 1 1 12 2，lnln3 32 2 1 13 3，lnln4 43 3 1 14 4，lnlnn nn n1 1 1 1n n， 则则 lnln2 21 1lnln3 32 2lnln4 43 3lnlnn nn n1 1 1 12 21 13 31 14 41 1n n， 即得即得 lnlnn n 1 12 21 13 31 14 41 1n n. .-1313 分分 故对大于故对大于 1 1 的任意正整数的任意正整数n n，都有，都有1 12 21 13 31 14 41 1n nlnlnn n. . -1414 分分
展开阅读全文