高数(一)全套公式

初等数学基础知识、三角函数1.公式同角三角函数间的基本关系式:平方关系:sin 人 2( a )+cos-2( a )=tan 人 2( a )+l=sec-2( ； 0)人 痣骏毅1=cs2( atan a =sin a /cos acot a =cosa/sin a阑数关系：tan a - cot a -sin a - esc a 二lcos a - sec a =1三角函数恒等变形公式:两角和与差的三角函数：cos ( a + 3 )=cos a - csin 3a sin 3cos ( a 3 )=cos a - cos 3 +sin a 一sin a3) =sin a cos 3 cos a - sin(3/tan a + 3 ) = (tan a +tan -tan (a tan(3)tan _3 ) = (tan -tan 3 )/ (1+tan a - tansin(2 a )=2sin a - cosQcos (2 a )=cos-2( -s)人 2( a )=2cos2( -a=l- 2si f=2tan a -半城毅皇sirT 2( a /2) = (lcosa )/2/ 、 /cos 2 ( a /2) = (l+cosa )/2/ 、 /tanA2 ( a /2) = (lcos喏啰)&in atan/ (1+cos ot-OGsla )/sin 万能公式:sin a =2tan(aa /2)/l+ta 门人 2(a =l-tanA2 ( a /2) /l-Ka 门人/当标a /2)/tb门人sin acos 3 =(1/2)sin( a +3-) +s n(a . rcos a - sin 3 =(1/2) Lsin( -sin(+ a1)cos a - cos 3 =(1/2) cos( a + 3 )+3$l a sin a - sin-(tl=) cosQ +-co) ( c 3 )和差化积公式：sin a +sin 3 =2sin(a + 3 )/2cos0/2 asin oesin 3 =2cos( & 3 )/2sin3 )/2x、函数角sincostgctg-a-sincos a-tg a-Ctg90 acos asin actg atg a90 + acos a-sin-ctg-tg a180 asin a-cos-tg a-ctg180 +a-sin-costg actg a270 a-cos-sinctg atg a270 + a-cossin a-ctg-tg a360 a-sincos a-tg a-ctg360 + asin acos atg actg a,符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割记忆规律：竖变横不变（奇变偶不变）cos a +cos 3 =2cos(a + 3 )/2cos (3 )/2：cosa-cos 3-2sin( a + 3 )/2sinR 3 )2x 2 特殊角的三角函数值0 (0 )6(30 )7(45 )3(60 )迈 (90 )cos173/272/21/20sin01/272/273/21tan01/V31不存在cot不存在11/730只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。00即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式b2 4acb2b) (a2 a(1)9(3)a(4)a3(5)a(6)(7)a3(8) a22ab2ab b3b3(ab2(ab2(a(a2 2(ab) (a2b) (a23a2b 3ab2b2 2 c 2ab(9) an bn (a b) (ab) b)2 b)2ababb2)b2)b3 (ab3 (a2bcn 1四、等差数列和等比数列1.等差数列通项公式：an ai前n项和公式文2.等比数列GP通项公式b)b)2ca (an2bb c)abn 2 bnl), (n 2)n ai anSnn n 1naid2n 1aiq 2 an0前n项和公式.4 n ai 1 qSnnaj五、常用几何公式平面图形名称符号周长C和面积S正方形a 一边长C = 4ac2S = a长方形a和b一边长C = 2(a+b) S = ab三角形a, b, c 三边长h a边上的高S一周长的一半A,B,C 一内角 其中 S =(a+b+c)/2S = ah/2二ab/2 sinC-s (s-a) (s-b) (s-c) 1, 2-a2si nBsi nC/(2si nA)平行四边形a, b 一边长h a边的图两边夹 角S = ah =absin a菱形a 一边长a夹角D 一长对角线长d一短对角线长S = Dd/22.=a sin a梯形a和b 一上、下底长h 高 m中位线长S = (a+b)h/2 =mh圆r半径d 一直径C = nd = 2 nrU2S = n =nd2/4扇形r一扇形半径&一圆心角度数C = 2r + 2n r X (a/360) S = n 2 Xa/360)圆环R-外圆半径r一内圆半径D 一外圆直径d内圆直径S = n (R*-r2) =n (C2-d2) /4椭圆D 长轴d 短轴S = n Dd/4立方图形表面积S和体积V名称符号正方体a一边长S = 6a2V 二/长方体a -长 b 宽 c iWjS = 2 (ab+ac+bc) V = abc圆柱r-底半径h 图C底面周长S底一底面积S侧一侧面积S表一表面积C = 2 nrS 底二n 2S 侧二ChS 表=Ch+2s 底二Ch+2 冗 rV 二 S 底 h = n 2h圆锥r-底半径h 图V = n 2h/3球r半径d 一直径V = 4/3 n 3 =ndV 6S= 4 n 2 =nd基本初等函数表达式 定义域常 数 函 数随而异， 但在R上 均有定义指 数 函 数过点（1, 1）；0时在R 单增；0时在R 单减.y 0 -过点0, 1 .1单增.a1单减.mm n H门 C -a , a a对logaX数0函业心数正弦 y sin x函数余弦 y cosx函数过点1, 0 .a 1单增.0a loga ai 单减.M，N 1, logal 0,0logaloga M loga N,MN , M 叫i w P 10gaM loga N, loga MPl Oga M ,logabC 0, 1 ,logcaloga a x(x 0)J x(x 0)奇函数.T 2 .y 1 偶函数.T 2 .y 1 一正切 y tan x函数奇函数.T在每个周期 内单增余切 y cotx函数1 111奇函数.T .在每个周期 内单减.反 正 弦 函 数arcsin x1, 1-/2奇函数.单增.反余弦函数arccosx1, 1单减.反 正 切 函 数arcta nx反 余 切 函 数arccot xy10奇函数.单增.单减.极限的计算方法一、初等函数:1. lim C（C是常值函数）2若f特别:（即x是有界量），lim C 0lim 0 (即是无穷小量），lim f x（即特别:x是有界 量）lim C 4. lim C05未定式1理0A.分子，分母含有相同的零因式，消去零因式B.等价无穷小替换（常用sin xx, e“ 1 x, In x1 - X)C.洛必达法则：要求f X, gX存在，且lim存在，此时,lim g Xg Xlim2 一型A忽略掉分子，分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大，保留最高阶的无穷大，再化简计算B分子，分母同除以最高阶无穷大后，再化简计算.C.洛必达法则.3 型通过分式通分或无理函数有理化转化为型或一型014 0转化为0 0T 0切线方程为：y y f (xo) (x Xo)法线方程为y y。(X Xo) f (Xo)0型求对数 .0开J求对数p-01型，通过1 Y v a或或对物或管567x o分段函数：分段点的极限用左，右极限的定义来求解 基本初等函数的导数公式(1 (O)(as) ax In a,特别地，当 1(log aX),特别地,xln a(sin x) cosx(tan X)sec xcos X(9 (secx) (secx)ta nx)/一、t I vrdi) MV J J(arctan x) - 2(13)1 X(X )X ee 时，(In X)(cosx) sin Xc 1 2v(cot X) -2-; esc X o 111 A(10) (cscx(cscx)cot)x(12 (arccosx) (arccot_1_(14) x)1 X2函数的和、差、积、商的求导法则函数U函X）及0V（X）都在点X可导,函X）及v（x）的和、差、商（除分母为0的点外）都在点X可导,(12)、 d (arccos x)Ex;(13)、d (arctan x)(14)、d(arc cot x)(1) u(x) v(x) u(x) v(x)(2) u(x) v(x) u (x) v (x) u(x) v(x) u(x) U(x)v(x)2u(x)v(x) (v(x)O) V (x) v(x)基本初等函数的微分公式（1）de O（c为常数）；、d（x ） x】dx（为任意常数）;、d(a ) a In adx,特别地，当a1、d(logax)dx,特别地，当 T -1O、 d(sin x) cosxdx ;e r x xe 时，d(e ) e dx ;1a e 时，d (In X)一 dx x、(8)d (cos x)d (ta nx)d (cot x)d(secx)sin xdx ;sec xdx ;esc2 xdx ;secx tan xdx ;(1) d(cscx) esc x cot xdx ;y0f，(Xo) (X Xo)曲线的切线方程幕指函数的导数In极限、可导、可微、连续之间的关系(11) d (arcsin #7dx ；、 x)极限(6) exdx ex C可微条件A 条件B, A为B的充分条件 条件B 条件A, A为B的必要条件 条件A 条件B, A和B互为充分必要条件 边际分析 边际成本 MC二C(q);边际收益MR=R(q);Xoyy (Xo )0ED 和(p)边际利润 ML = L (q), L (q) R(q) C (q)= MR MC 弹性分析Ey y f (x)在点Xo处的弹性， Ex x x。 特别的，需求价格弹性：罗尔定理若函数f(X)满足：(1)在闭区间&,b连续； (2)在开区间(a, b)可导；拉格朗日定理设函数f(x)满足：则在(a, b) 基本积分公式(1) Odx kdx(3) ff (b),则在(a, b)内至少存在一点，使f ( ) 0 .(1)在闭区间a,b连续.t至少存虐蟹间切可导,. ，使得f 0 baCkxk为常数特别地：dxXCX(3) X dx 1(4)x In 1(有时绝对值符号也可忽略不写)AXx a(5) axdx Ina(8)、 cosxdx d sin x2(9)、sec xdx d tan x(10) esc2 xdx dcot、X八dx(11) ；darcs、inxL dx(12) 1 x- d arcta、n x一阶线性非齐次微分方程dydx P(x)y Q(x)的通解为yP(x) dxP (x) dxQ (x) e dx C平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式1、绕X轴的旋转体体积（右图）Vxb f2 (x) dx注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.2、绕y轴的旋转体体积(右图)VyC g- (y) dy注意：此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴.由边际函数求总函数C(q) o f (x) dx Co (Co C(0)为固定成本)R(q) 0 g(x) dx总利润函数为 L(q) R(q) c(q) Jgix) f (x) dx Co多元复合函数的导数公式设函数u= (x, y)、V=(x, y)在点(x, y)有偏导数，函数z=f (u, v)在对应点(u, v)处可微，则复合 函数Z = f ( (x, y)4 (x, y)在点(x, y)的偏导数两个特例:z = f (u, v), u (t), v(t)：嵬z dz uz = f (u), u = u(X, y)：x du x隐函数导数公式dudtf (u)dv dtdzduf (u)二元方程F(x, y)0所确定的隐函数：此dx Fy三元方程F(x, y, z)二0所确定的二元隐函数：力且FzFz1确定函数定义域的主要依据：(1)当f(x)是整式时，定义域为R一(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不 的x取值的集合；(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负_x取值的集合；(4)当f(x)是零指数鬲或负数指数基时，定义域是使鬲的底数非零或大于0的x取值范围;(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大 0的x取值的集合；(6)正切函数的定义域是x x k , k Z 1 ;余切函数的定义域是 1X XM kn, k Z；2当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.2求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等