高考复习：极坐标参数方程练习题

极坐标参数方程练习题1.(导学号：05856335)选彳4 4:坐标系与参数方程以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知A(2,兀)，R2,-),圆C的极坐标方程为 p 2 6 p cos 0 + 8 p sin 0 + 21 = 0. F为圆C上的任意一点.(I)写出圆C的参数方程；(n )求4 ABF的面积的最大值.2 .(导学号：05856289)选彳4-4:坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 p x2 t .= 2(sin 0 + cos 0 ),直线l的参数万程为：( t为参数).y 1 t(I)写出圆C和直线l的普通方程；(t为参数)，若以该直(n)点P为圆C上动点，求点 P到直线l的距离的最小值.x3 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y曲线C的极坐标舟的值.角坐标系的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 方程为 psin2 9 4cos 8= 0.1MA求直线l与曲线C的普通方程；(2)已知直线l与曲线C交于A, B两点，设M(2, 0),求4 .选彳4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy中，射线l ： y= V3x(x0),曲线C的参数方程为x 3cos( ay 2sin为参数)，曲线。的方程为x2+(y2)2=4;以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系.曲线C3的极坐标方程为 p=8sin 0 .(I)写出射线l的极坐标方程以及曲线 C的普通方程；(n)已知射线l与G交于Q M与Q交于Q N,求|MN的值.5.在平面直角坐标系xxQy中，C的参数方程为y1刍2 (t为参数)，在以坐标原点15t为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，G的极坐标方程P 22 P cos 0 - 3= 0.(I)说明Q是哪种曲线，并将 G的方程化为普通方程； (n)C1与C2有两个公共点 A, B,定点P的极坐标 72,求线段AB的长及定点P到A,B两点的距离之积.6.已知直线1：sin 告m,曲线C：x 1 3cos 一y 、3sin当m = 3时，判断直线1与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在到直线1的距离等于咚的点,求实数m的范围.7.选修4-4 :坐标系与参数方程一x tcos ,在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线C的参数方程为(t0,y sin以坐标原点。为极点， x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线极坐标方程为2 sin 一 34(I)当t 1时，求曲线C上的点到直线1的距离的最大值;(n)若曲线C上的所有点都在直线1的下方，求实数t的取值范围. x8.已知直线1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的左焦点F在直线1上，且直线C的极坐标方程为 1与曲线C交于A,2 2- f2cos 2 8= 12.若曲线B两点.求m的值并写出曲线C的直角坐标方程;求I FA |fb|./士H的值.IFBI 网9.在直角坐标系 xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆直线 Q的极坐标方程分别为p= 4sin q p cos求Ci与C2交点的极坐标;(2)设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点.为参数),求a, b的值.已知直线PQ的参数方程为x = t + a匕？v = -t + 12(t =R为参数)，以坐标原点为极点,x轴的正半x= 2cos ,10.已知曲线C的参数万程是3 .(6轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程是P = 2.正方形ABCD勺顶点都在C2上，且A,B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1)求点A B, C, D的直角坐标；(2)设p为C上任意一点，求|PA2+|PB2+|PC2+|PD2的取值范围. .x= - 2 3t.11 .在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，它与曲线y= 2-4tC： (y2)2 x2=1 交于 A、B两点.(1)求| AB的长；3(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为 2J2 3，求点4P到线段AB中点M的距离.x 2 2cos , 一12 .已知在直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，在极y 2sin坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为sin 272 .4(1)求曲线C在极坐标系中的方程；x= - -t+2,l的参数方程是5( t为(2)求直线l被曲线C截得的弦长.13 .已知曲线 C的极坐标方程是p =2sin 0 ,直线参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与x轴的交点是 M N是曲线C上一动点，求 MN的最大值.,t为参数x 1 cos15.在直角坐标系 xOy中，曲线M的参数方程为(。为参数)，右以直角坐y 2 sin标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为psin( 0+ -)= ?t(其中t为常数).(I)若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的值；(n)当t=1时，求曲线 M上的点与曲线 N上的点的最小距离.16以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知圆 C 的极坐标方程为p = 2sin 0 ,直线l 的参数方程为t3t（t 为参数 ） ，若 l 与 C 交于 A， B两点(I)求 |AB| ；(n)设 P(1,2),求 |PA| |PB| 的值.参考答案x 3 2cos ,4仝花-1.为参数 (2) 9 +272y 4 2sin ,【解析】试题分析：(1)圆C的极坐标方程为p2- 6 P cos 0 +8 p s21= 0,利用p2=x2+y2,y= p sin 0 , x= p CoS伤为直角坐标方程，利用 cos2 a +sin2 a =1可得参数方程.(2) A (2,兀)，B(2,万)，分别化为直角坐标：A(- 2, 0),B (0, 2).可得 |AB|二2J2,直线AB的方程为：x-y+2=0.因此圆C上的点F到直线AB的距离取得最大值时， 那BF 的面积取得最大值.试题解析：(I)因为 p26pcos 0+8psin 0+21 = 0,故 x2+y26x+8y + 21 = 0,即(x3)2+(y +jr = 3 * Tax &.I4)2 = 4,故圆C的参数方程为(0为参数).(n)易知 A(2,0), B(0,2),故直线 AB 的方程为 x-y+2 = 0,点F(x, y)到直线AB： x y+2 = 0的距离为d= 市 ,1MBF 的面积 S = 2x AB| dIE= |2cos e-2sin 0+9| = |2应sin( - 0)+9|,所以 ABF面积的最大值为9+ 2位.2. (1) ( x-1)2+(y- 1)2=2 , x -y-3= 0 (2) 2【解析】试题分析：(I )由已知圆 C的极坐标方程为p =2 (sin。+cos。)，即p 2=2 p(sin Q+cosQ),利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程.由直线 l的参数方程x 2 t为： x 2 t (t为参数)，消去参数t可得普通方程. y 1 t(n )由圆的几何性质知点 P到直线l的距离的最小值为圆心 C到直线l的距离减去圆的半 径，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离为d,进而得出.试题解析：(I )由已知 p= 2(sin 0+ cos 0)得p2= 2( psin 0+ pcos e),所以x2 + y2=2y + 2x,即圆C的普通方程为：(x1)2+(y1)2= 2.J=2+ h由Iju-4力得y = - 1 + (x 2),所以直线l的普通方程为 x y 3 = 0.(n)由圆的几何性质知点 P到直线l的距离的最小值为圆心 C到直线l的距离减去圆的半径，令圆心C到直线l的距离为d ,1-1地则 d= 丐 = i,生 2 ，二 2所以最小值为2 出=十.3. (1) y= 33 (x 2); y2=4x. -.4【解析】试题分析：(1)利用三种方程的转化方法，求直线 l与曲线C的普通方程即可；(2)直线l的参数方程，代入y2 4x ,整理可得3t2 8t 32 0 ,利用参数的几何意义，即可求得二工的值.|ma| |mb|试题解析：x=2+1/,、，y 2 (t为参数)，消去参数，得普通方程 y =Wx 2).曲线C的极坐标方程为 p sin2。 4cos 0,=直角坐标方程为 y2 = 4x.=招、，2(t为参数)，代入y2 = 4x,整理可得3t2 8t 32 = 0,设A、B对应的参数分别为t1，t2,则 t1 + t2 = 3 , t1t2 = 3 ,-J!_| |n| M MIL,也 1=4.224. (1) e0 1 (2)273394【解析】试题分析：(1)因为射线l : y= J3x(x0),故射线l ： e = ( p 0),把曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线G的极坐标方程为 P=4sin e ,设点M N对应的极径分别为p 1, p 2,进而表示| MN的值即可.试题解析：n(I)依题意，因为射线l : y=3x(x0),故射线1： 0 =3 ( p 0);因为曲线G: b二痴。.故曲线G: 9 + 4=1.(n )曲线 Q的方程为 x2+ (y 2) 2= 4,故 x2+y24y=0,故曲线G的极坐标方程为 p = 4sin 9 ,设点M N对应的极径分别为 p 1, p 2,故| MN| = Ip1=闺 I虫 1T 11Tl = 2-3.5. ( i)C2是圆2的普通方程是=x=作y2=4)答案见解析.【解析】试题分析：(1) C2是圆，利用极坐标方程与普通方程转化方法，将Q的方程化为普通方程；(2)利用参数的几何意义，求线段AB的长及定点P到A, B两点的距离之积.试题解析：(IC2是圆，C2的极坐标方程 P2 2pcos e- 3 = 0,化为普通方程：x2+y2 2x3 = 0 即：（x1）2 + y2 = 4.(np的极坐标为平面直角坐标为(1,1),在直线G上,将C1的参数方程为代入 x2 + y22x3=0 中得:化简彳导:t2 + V2t-3 = 0设两根分别为t1, t2,由韦达定理知:/t+f2=一也，门七=-3 所以 AB 的长 |AB|=|ti t2|= 7sThf2=也卜 I2=g定点P到A, B两点的距离之积|PA| PB|=|tit2| = 3.6. (1)直线l与曲线C相切.(2) =2=4.【解析】试题分析：(1)分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d与半径比较即可得出结论.(2)曲线C上存在到直线l的距离等于 立 的点,2可得圆心0(1,0)到直线l的距离一 3 一d V3 即得解.2试题解析：(1 )当m 3 时，直线sin3,32展开可得1 .33,3sincos 222化为直角坐标方程：,3x y 3.3 0x 1 、3cos曲线C：,利用平方关系化为y 3sin22x 1 y23圆心C 0,1到直线的距离dr ,因此直线l与曲线C相切.(2) .曲线 C上存在到直线的距离等于. 3钻上的点,2圆心 0(0,1)到直线的距离实数m的范围是 2,4点睛：本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7(1) 0，2点【解析】试题分析:(1)将直线l的极坐标方程化为普通方程x y 3 0,进而由圆的参数方程彳#曲线 C上的点到直线l的距离,cos sin 3亚sin34利用三角函数求最值即可;(2)曲线C上的所有点均在直线l的下方，即为对R,有 tcos sin 3 0恒成立，即 t2 1cos3 (其中tan1)恒成立，进而得 Jt2 1 3. t试题解析:(1)直线l的直角坐标方程为x y0.曲线C上的点到直线l的距离,cos sin 32.2sin当sin1时,4dmax2 322，即曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 3.22(2)二曲线C上的所有点均在直线l的下方，对 R,有tcos sin 3 0恒成立，即Jt2 1cos3 (其中tan 1)恒成立,t ,t2 1 3.又t 0, .解得 0 t 272,，实数t的取值范围为 0,242 .22x y /8. (1)不匚 1 ; (2)4.124曲线C的标准方程为【解析】试题分析：(1)根据直角坐标和极坐标系之间的转化关系可知,2212 ? 1则其左焦点为2向，将其代入直线的参数方程，即可求得m 2/2. （2）将直线l的参数方程与曲线C的方程联立，得t22tFA FBFAFBtit2FBFA| FBFAFBIIFA2 4.试题解析：（1）已知曲线C的标准方程为2点，曲线C的方程22x y124(2)x直线l的参数方程为2f y Tt得t22t 20 ,则 FA FBt1t22,FAFB2t1t29. (1)n (4-)42t1 t2FA2x12FBt1 t22.32匕1,则其左焦点为42与曲线C的方程12FAFBFB FA2.2,0FAI FB1联立,fb|fa|4.最后再将交点【解析】试题分析：（=）将直线与圆的方程化为直角坐标方程再联立求交点 转化为极坐标.（今由（与可得P点的直角坐标 根据（=）中与”交点的直角坐标和中点 坐标公式可得点Q的坐标，从而可求得直线PQ的直角坐标方程.将直线PQ的参数方程化为直 角坐标方程，根据对应系数相等可得为b的值. 试题解析：（今圆的直角坐标方程为= 4, 直线的直角坐标方程为X + M一.n - kr r%一),(川2,一)所以工与工交点的极坐标为24注:极坐标系下的点表示不唯一 .(今由(0可得P点与Q点的直角坐标分别为S，2M1，3), 故直线PQ的直角坐标方程为kv + 2-o.b aby = + 1由参数方程可得,21 ab+ 12所以12，解得日=1月=2.考点：1直角坐标和极坐标的互化；2参数方程和直角坐标方程的互化.10 . (1) A(1 ,由)，B(-V3, 1), C(-1, -3),1). (2) 32,52【解析】 由已知可得 A 2cos ,2sin,33B 2cos( ), 2sin(),3 232C 2cos(), 2sin(),33，3 、一 ，D 2cos( ),2sin( 一323即 A(1, &), B( 73, 1), C(-1, 73), 口曲，-1).(2)设 P(2cos 6 , 3sin 巾),令 S= | PA2+| PB 2+| PC2+| PD2,则 S= 16cos) +36sin 2 巾 + 16 = 32 + 20sin 7 .因为0wsin2()w1,所以S的取值范围是32,5211 .旭五3077【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t212t 5 = 0.设A, B对应的参数分别为t1, t2,则t1+t2= 12 , t1t2= 5.77所以 | AB = I 3)2+( 4)2 111-t2| =5/(3+ t2)2-4也=10f（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（一2,2）,根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为纪士 = 6 .30727由t的几何意义可得点 P到M的距离为| PM= _3）2+（_4）212. （1） 4cos ; （2） 272【解析】试题分析：（I）通过分类参数方程中的参数，利用同角三角函数的平方关系，消去参数，得到曲线C的直角坐标方程，在根据 x cos ,y sin化简可彳#曲线 C在极坐标系中的方程；（II）利用普通方程求出交点坐标，得到弦长 .试题解析：（I）曲线C的普通方程为 x 2 2 y2 4,即x2 y2 4x 0,将X C0S代入方程x2 y2 4x 0化简得p一几。8 . y sin所以，曲线C的极坐标方程是P 二8s3.（11） 直线l的直角坐标方程为 x y 4 0 ,x2 y2 4x 0由x y4x 0,得直线l与曲线C的交点坐标为 2,2 , 4,0 ,x y 4,所以弦长 一 一 一.考点：参数方程与直角坐标方程、极坐标方程的互化与应用13. （1） x2 + y22y=0. （2） 75 + 1【解析】（1）曲线C的极坐标方程可化为p 2=2 p sin 0 .又x2+y2= p 2, x= p cos 0 , y= p sin e ,所以曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2-2y= 0. （2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得 y=- 4 （ x-2）. 3令y=0,得x=2,即M点的坐标为（2,0）.又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0,1）,半径r= 1,则MC=卮 所以MNs MC- r= J5 + 1,即MN勺最大彳1为 75 + 1.14. (1) x2+(y 1)2=1, x+y3=0 (2) x+y -1T2=0【解析】试题分析：（i）利用三种方程的转化方法， 即可求曲线C与直线l的普通方程；（n）设所求直线l方程为x y m 0,由题知圆心(0, 1)到直线l的距离为求出m ,即可求出直线l的方程.试题解析=(轴线C的普通方程为x2=y=，)=i而直线l的普通方程为x =y=3=0.(=设所求直线l方程为x=y=m= 0 =由题知圆心(0,1)到直线厂的距离为. .m= 1 夜，直线l的方程为x y 1,2 015. ( I ) t = 372 ( n )2 V2 - 1.【解析】试题分析：(1)由曲线 M的参数方程化普通方程可得 )M: (x1)2+(y2)2=1,x cos由 y2s1n 2可得曲线N的普通方程N: x + y = t,由题意可得直线与圆相切，即圆心x y到直线距离等于半径，可求得t。(2)当t = 1时，由圆心到直线的距离减去半径即为两点距离最小值。试题解析：(I)M可化为(x 1)2+(y 2)2= 1 , N可化为x+y=t.由11得t = 3士亚.(n)当t = 1时，直线N： x+y= 1,圆M的圆心到直线、4N距离d=亍=2亚1,曲线M上的点到曲线 N上的点的最小距离为 2&1.d,所以圆上点到直线【点睛】圆上点到直线距离的问题一般转化为圆心到直线的距离问题 距离的范围为 d r, d r。16. ( I )2x155(n)1.化简得10t2x 1 t【解析】试题分析：(I)将直线l的参数方程为带入圆的普通方程,y 2 3t8t +1 = 0,利用参数t的意义求|AB|即可.(n)利用两点间的距离公式可得|PA| |PB| 二1叩1t2|=1. 试题解析：(I)由 p=2sin 。，得 p 2 = 2 p sin 。，即 x2+y2=2y, 把 x= 1 t , y= 2 3t代入上式得(1 -t) 2+(2 3t) 2=2(2 3t),.,.10t2-8t+1=0,则 t1 + t2= 4, t it 2=,510(t 1-t2)2=(t 1+t2)2-4tit2= 16 - A= 16 , 25102522|AB| = v X1X2V1y2=Jt1 t2 29 t1t22 =J10 = 25 .255(n )|PA| |PB| 2222-=X11y1 2X2 1y2 2= Jt/9t12 t229t22 = 10|t 1t2| = 1.