九年级数学测试旋转几何探究

旋转-几何探究1（2014河北）如图，ABC中，AB=AC，BAC=40，将ABC绕点A按逆时针方向旋转100得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：ABDACE；（2）求ACE的度数；（3）求证：四边形ABEF是菱形2（2014龙东地区）已知ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BDm于D，MEm于E，CFm于F（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明3（2014仪征市二模）操作与证明：如图1，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN（1）连接AE，求证：AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论结论1：DM、MN的数量关系是_；结论2：DM、MN的位置关系是_；拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由4（2014东城区一模）如图1，已知DAC=90，ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E（1）如图1，猜想QEP=_；（2）如图2，3，若当DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的长5（2014营口模拟）已知，RtABC和RtBDE，AC=BC，BD=DE，F是AE的中点，连结CF、DF（1）当点E在AB上时，如图，线段CF和DF有怎样的关系？并证明你的结论（2）将图中BDE绕点B逆时针旋转90，如图，那么（1）中的结论是否成立？如果成立，请写出证明；如果不成立，请说明理由（3）将图中BDE绕点B逆时针旋转180，如图，那么线段CF和DF又有怎样的关系？请直接写出你的猜想6（2014兰州一模）如图，在等腰ABC中，AB=BC，A=30将ABC绕点B顺时针旋转30，得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点（1）证明：ABEC1BF；（2）证明：EA1=FC；（3）试判断四边形ABC1D的形状，并说明理由7（2014无锡一模）等腰ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD（1）如图1，若BAC=30，30m180，连接BD，请用含m的式子表示DBC的度数；（2）如图2，若BAC=60，0m360，连接BD，DC，直接写出BDC为等腰三角形时m所有可能的取值_；（3）如图3，若BAC=90，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使=？若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由8（2014江西模拟）（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q若PA=3，PB=2，PC=5，求BQC的度数（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=13，PC=13，求BPA的度数9（2013牡丹江）已知ACD=90，MN是过点A的直线，AC=DC，DBMN于点B，如图（1）易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CECB于点C，与MN交于点EACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE四边形ACDB内角和为360，BDC+CAB=180EAC+CAB=180，EAC=BDC又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB=CB（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明（2）MN在绕点A旋转过程中，当BCD=30，BD=时，则CD=_，CB=_10（2013黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BFMN于点F（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明11（2012延庆县二模）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC，连接AA，当点A落在AC上时，此题可解（如图2）请你回答：AP的最大值是_参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰RtABC边AB=4，P为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是_（结果可以不化简）12（2010保山）在如图所示的方格图中，每个小正方形的顶点称为“格点”，且每个小正方形的边长均为1个长度单位，以格点为顶点的图形叫做“格点图形”，根据图形解决下列问题：（1）图中格点ABC是由格点ABC通过怎样变换得到的？（2）如图建立直角坐标系后，点A的坐标为（5，2），点B的坐标为（5，0），请求出过A点的正比例函数的解析式，并写出图中格点DEF各顶点的坐标13（2010邢台一模）在图13中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点（1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM=MF；（2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上求证：DM=MF；（3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由）14（2010朝阳区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB=150，而BPC=APB=150，进而求出等边ABC的边长为，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长15（2009随州）如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值16（2014洪山区二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形（1）将ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的A1B1C1，直接写出C点对应点C1的坐标为_（2）将ABC绕点O逆时针旋转90，画出旋转后的A2B2C2，直接写出A点对点A2的坐标为_（3）过C1点画出一条直线将AC1A2的面积分成相等的两部分，请直接在图中画出这条直线旋转-几何探究参考答案与试题解析1（1）证明：ABC绕点A按逆时针方向旋转100，BAC=DAE=40，BAD=CAE=100，又AB=AC，AB=AC=AD=AE，在ABD与ACE中ABDACE（SAS）（2）解：CAE=100，AC=AE，ACE=（180CAE）=（180100）=40；（3）证明：BAD=CAE=100AB=AC=AD=AE，ABD=ADB=ACE=AEC=40BAE=BAD+DAE=140，BFE=360DAEABDAEC=140，BAE=BFE，四边形ABFE是平行四边形，AB=AE，平行四边形ABFE是菱形2解：（1）如图1，MEm于E，CFm于F，MECF，M为BC的中点，E为BF中点，ME是BFC的中位线，EM=CF（2）图2的结论为：ME=（BD+CF），图3的结论为：ME=（CFBD）图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又BDm，CFmBDCFDBM=KCM在DBM和KCM中，DBMKCM（ASA），DB=CK，DM=MK由题意知：EM=FK，ME=（CF+CK）=（CF+DB） 图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K又BDm，CFmBDCFMBD=KCM在DBM和KCM中，DBMKCM（ASA）DB=CK，DM=MK，由题意知：EM=FK，ME=（CFCK）=（CFDB）3（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，B=ADF=90，CEF是等腰直角三角形，C=90，CE=CF，BCCE=CDCF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，AEF是等腰三角形；（2）解：相等，垂直；证明：在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF=2DM，MN是AEF的中位线，AE=2MN，AE=AF，DM=MN；DMF=DAF+ADM，AM=MD，FMN=FAE，DAF=BAE，ADM=DAF=BAE，DMN=BAD=90，DMMN；（3）（2）中的两个结论还成立，证明：连接AE，交MD于点G，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MN=AE，由（1）同理可证，AB=AD=BC=CD，B=ADF，CE=CF，又BC+CE=CD+CF，即BE=DF，ABEADF，AE=AF，在RtADF中，点M为AF的中点，DM=AF，DM=MN，ABEADF，1=2，ABDF，1=3，同理可证：2=4，3=4，DM=AM，MAD=5，DGE=5+4=MAD+3=90，MNAE，DMN=DGE=90，DMMN4解：（1）QEP=60；故答案为60；（2）QEP=60以DAC是锐角为例证明：如图2，ABC是等边三角形，AC=BC，ACB=60，线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，CP=CQ，PCQ=6O，ACB+BCP=BCP+PCQ，即ACP=BCQ，在ACP和BCQ中，ACPBCQ（SAS），APC=Q，1=2，QEP=PCQ=60； （3）连结CQ，作CHAD于H，如图3，与（2）一样可证明ACPBCQ，AP=BQ，DAC=135，ACP=15，APC=30，PCB=45，ACH为等腰直角三角形，AH=CH=AC=4=2，在RtPHC中，AH=CH=2，PA=PHAH=22，BQ=225解：（1）CF=DF，CFDF证明：图中的图延长DE交AC于G，连接FG，ACB=CBD=BDG=90，四边形BCGD是矩形BD=CGBD=DE，DE=CGAGE=90，AF=EF，FG=AE=EFBED=45，DEF=135，AF=FGAGF=A=45CGF=135DEF=CGF在DEF和CGF中，DEFCGF （SAS）CF=DF，EFD=GFC，GFE=90GFC+CFB=90EFD+CFB=90CFDF；（2）成立延长DF交CA的延长线与点G，如图中的图ACB=90，CDE=90ACDEG=EDF在DEF和GAF中，DEFGAF（AAS）DF=GF，DE=AGBC=ACCD=CGGCD=90，DF=GFCF=DF，CFDF；（3）CF=DF，CFDF6（1）证明：等腰ABC中，AB=BC，A=30将ABC绕点B顺时针旋转30，得A1BC1，AB=BC1=A1B=BC，ABE=C1BF，A=C1=A1=C，在ABE和C1BF中，ABEC1BF（ASA）；（2）证明：ABEC1BF，EB=BF又A1B=CB，A1BEB=CBBF，EA1=FC；（3）答：四边形ABC1D是菱形证明：A1=C=30，ABA1=CBC1=30，A1=C=ABA1=CBC1ABC1D，ADBC1，四边形ABC1D是平行四边形AB=BC1，四边形ABC1D是菱形7解：（1）ABC=（18030）2=75，ABD=（180m）2=90m，DBC=ABCABD=75（90m）=m15；（2）由分析图形可知m的取值为：30，120，210，300，故答案为：30，120，210，300；（3）存在2个符合条件的m的值：m=30或m=330如图：过E作EFAB于F在RtBEF中，FBE=45，BE=EF，AE：BE=；AE=2EF；又AFE=90；FAE=30即m=30在RtAEF中，FAE=30，AE=2EF，AE：BE=；如图：同理可得：AE：BE=综上可得：m=308解：（1）连接PQ由旋转可知：，QC=PA=3又ABCD是正方形，ABP绕点B顺时针方向旋转了90，才使点A与C重合，即PBQ=90，PQB=45，PQ=4则在PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，PC2=PQ2+QC2即PQC=90故BQC=90+45=135（2）将此时点P的对应点是点P由旋转知，APBCPB，即BPA=BPC，PB=PB=5，PC=PA=12又ABC是正三角形，ABP绕点B顺时针方向旋转60，才使点A与C重合，得PBP=60，又PB=PB=13，PBP也是正三角形，即PPB=60，PP=5因此，在PPC中，PC=13，PP=5，PC=12，PC2=PP2+PC2即PPC=90故BPA=BPC=60+90=1509解：（1）如图（2）：ABBD=CB证明：过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，ACE=90DCE，BCD=90ECD，BCD=ACEDBMN，CAE=90AFC，D=90BFD，AFC=BFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=ABAE，BE=ABBD，ABBD=CB如图（3）：BDAB=CB证明：过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，ACE=90+ACB，BCD=90+ACB，BCD=ACEDBMN，CAE=90AFB，D=90CFD，AFB=CFD，CAE=D，又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AEAB，BE=BDAB，BDAB=CB（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，综合了第一个图和第二个图两种情况若是第1个图：易证ACEDCB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，AEC=45=CBD，过D作DHCB则DHB为等腰直角三角形BD=BH，BH=DH=1直角CDH中，DCH=30，CD=2DH=2，CH=CB=+1若是第二个图：过D作DHCB交CB延长线于H解法类似上面，CD=2，但是CB=110（1）证明：如图，过点B作BGOE于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE=OBG，在AOE和OBG中，AOEOBG（AAS），OG=AE，OE=BG，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OEGE=OEBF，AFOE=OEBF，AF+BF=2OE；（2）图2结论：AFBF=2OE，图3结论：BFAF=2OE对图2证明：过点B作BGOE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，BGOE，OBG+BOE=90，又AOE+BOE=90，AOE=OBG，在AOE和OBG中，AOEOBG（AAS），OG=AE，OE=BG，AFEF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，AFOE=OE+BF，AFBF=2OE；若选图3，其证明方法同上作OGBF于G，则四边形EFGO是矩形，EF=GO，GF=EO，GOE=90，AOE+AOG=90在正方形ABCD中，OA=OB，AOB=90，AOG+BOG=90，AOE=BOGAEO=BGO=90AOEBOG（AAS），OE=OG，AE=BG，AEEF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，BFAF=BG+GF（AEEF）=AE+OEAE+EF=OE+OE=2OE，BFAF=2OE11解：（1）如图2，ABP逆时针旋转60得到ABC，ABA=60，AB=AB，AP=ACABA是等边三角形，AA=AB=BA=2，在AAC中，ACAA+AC，即AP6，则当点AA、C三点共线时，AC=AA+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6（2）如图3，RtABC是等腰三角形，AB=BC以B为中心，将APB逆时针旋转60得到APB则AB=AB=BC=4，PA=PA，PB=PB，PA+PB+PC=PA+PB+PC当A、P、P、C四点共线时，（PA+PB+PC）最短，即线段AC最短，AC=PA+PB+PC，AC长度即为所求过A作ADCB延长线于DABA=60（由旋转可知），1=30AB=4，AD=2，BD=2，CD=4+2在RtADC中AC=2+2；AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）故答案是：2+2（或不化简为）12解：（1）格点ABC是由格点ABC先绕B点逆时针旋转90，然后向右平移13个长度单位（或格）得到的（2）设过A点的正比例函数解析式为y=kx，将A（5，2）代入上式得，2=5k，k=，则过A点的正比函数的解析式为y=xDEF各顶点的坐标为：D（2，4），E（0，8），F（7，7）13解：（1）MD=MF证明：延长DM交FE于N正方形ABCD、CGEF，CF=EF，AD=DC，CFE=90，ADFE，MAD=NEM又MA=ME，AMD=NME，AMDEMN，DM=MN，M为直角三角形DFN的中点，2FM=DNMF=MD（2）延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点HMA=ME，AMD=EMN，MD=MN，AMDEMN，DAM=MEN，AD=NE又正方形ABCD、CGEF，CF=EF，AD=DC，ADC=90，CFE=ADC=FEG=FCG=90DC=NEDAM=MEN，ADEHH=ADC=90G=90，HIC=GIE，HCI=IEGHCI+DCF=IEG+FEN=90，DCF=FENFC=FE，DCFNEF，FD=FN，DFC=NFECFE=90，DFN=90，FMMD，MF=MD（3）相等14解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=；连接PP，在RtBPP中，BP=BP=，PBP=90，PP=2，BPP=45；在APP中，AP=1，PP=2，AP=，即AP2+PP2=AP2；APP是直角三角形，即APP=90，APB=135，BPC=APB=135（2）过点B作BEAP，交AP的延长线于点E；则BEP是等腰直角三角形，EPB=45，EP=BE=1，AE=2；在RtABE中，由勾股定理，得AB=；BPC=135，正方形边长为15解：（1）BG=AE，证明：ABC是等腰直角三角形，ADBC，BD=DA，又正方形DEFG中：GD=DE，GDB=EDA；RtBDGRtADE；BG=AE；（2）成立：证明：连接AD，RtBAC中，D为斜边BC的中点，AD=BD，ADBC，ADG+GDB=90，EFGD为正方形，DE=DG，且GDE=90，ADG+ADE=90，BDG=ADE，在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BG=AE；（3）由（2）可得BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；分析可得：当旋转角度为270时，BG=AE最大值为1+2=3，此时如图：AF=16解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求，C1（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，A2（1，2）；故答案为：A2（1，2）；（3）如图所示：CD将AC1A2的面积分成相等的两部分