32.长方体的模型功能之长方体中的一类特殊四棱锥

中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)长方体的模型功能之长方体中的一类特殊四棱锥模型解题法之十一 四棱锥是高考试题的重要载体模型,其中,底面与一侧面垂直,且底面竖直放置时的四棱锥,倍受高考命题者的特晴睐.母题结构:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,构造底面与一侧面垂直,且底面竖直放置时的四棱锥.母题解析:当底面为矩形(或直角梯形),且与其垂直的侧面为任意三角形时,如四棱锥B-DPQD1;当底面为矩形(或直角梯形),且与其垂直的侧面为直角三角形时,如四棱锥D-ACC1A1. 1.基本模型 子题类型:(2015年天津高考试题)如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.()求证:EF平面A1B1BA;()求证:平面AEA1平面BCB1;()求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.解析:在长方体中作出几何体,如图:()由点E和F分别为BC和A1C的中点EFBA1,又EF平面A1B1BA,BA1平面A1B1BAEF平面A1B1BA; ()由AA1平面ABCAA1AE,又BB1AA1AEBB1;由AB=ACAEBCAE平面BCB1平面AEA1平面BCB1;()取B1C的中点M,则EMBB1,且EM=BB1EMAA1,且EM=AA1A1MAEA1M平面BCB1A1B1M是直线A1B1与平面BCB1所成的角;由AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2A1B12=(BB1-AA1)2+AB2=16,B1C2=BC2+BB12=48A1B1=4,B1C=4B1M=2cosA1B1M=A1B1M=直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为.点评:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD侧面PAB,底面ABCD为矩形(或直角梯形),且竖直放置,PAB不是直角三角形时,我们称为基本模型;对基本模型,本题中的放置方法具有一般性. 2.基本模型 子题类型:(2009年重庆高考试题)如图,在四棱锥S-ABCD中,ADBC且ADCD,平面CSD平面ABCD,CSDS,CS=2AD=2,E为BS的中点,CE=,AS=.求:()点A到平面BCS的距离;()二面角E-CD-A的大小.解析:在长方体中作出四棱锥S-ABCD,如图:()ADBCAD平面BCS点A到平面BCS的距离=点D到平面BCS的距离;由ADCD,平面CSD平面ABCDAD平面CSD,又ADBCBC平面CSDBCSD,又CSDSDS平面BCS点D到平面BCS的距离=DS;由AD=1,AS=DS=点A到平面BCS的距离=;()以S为坐标原点,射线SD、SC分别为x、y轴正方向,建立空间直角坐标系,则A(,1,0),B(0,2,2),C(0,2,0),D(,0,0)E(0,1,1);设平面ECD的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0y-z=0,x-y=0,令y=1得:m=(,1,1);同理可得平面ACD的法向量n=(,1,0)cos=二面角E-CD-A的大小为.点评:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD侧面PAB,底面ABCD为矩形(或直角梯形),且竖直放置,APB是直角三角形时,我们称为基本模型;对基本模型,本题中的放置方法具有一般性. 3.特殊模型 子题类型:(2015年福建高考试题)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.()求证:GF平面ADE;()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解析:()在长方体中作出几何体ABCDE,并以E为坐标原点,射线EB、EC分别为x、y轴正方向,建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,2)F(0,2,1),G(1,0,0);由=(-1,2,1),取AE的中点M(1,0,1),则=(-1,2,1)GFMDGF平面ADE;()设平面AEF的法向量m=(x,y,z),由m=0,m=0x+z=0,2y+z=0,令y=1得:m=(2,1,-2),同理可得平面BEC的法向量n=(0,0,1)cos=-平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值=.点评:在基本模型中,当底面ABCD为矩形,且AD=PA=PB,APB是直角三角形时,其母体为正方体. 4.子题系列:1.(2009年浙江高考试题)如图,DC平面ABC,EBDC,AC=BC=BE=2DC=2,ACB=1200,P,Q分别为AE,AB的中点.()证明:PQ平面ACD;()求AD与平面ABE所成角的正弦值.2.(2007年四川高考试题)如图,平面PCBM平面ABC,PCB=900,PMBC,直线AM与直线PC所成的角为600,又AC=1,BC=2PM=2,ACB=900.()求证:ACBM; ()求二面角M-AB-C的正切值;()求多面体PMABC的体积.3.(2012年江西高考试题)如图,在梯形ABCD中,ABCD,E、F是线段AB上的两点,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将ADE,CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.()求证:平面DEG平面CFG;()求多面体CDEFG的体积.4.(2007年浙江高考试题)在如图所示的几何体中,EA平面ABC,DB平面ABC,ACBC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.()求证:CMEM;()求DE与平面EMC所成的角的正切值. 5.子题详解:1.解:()在长方体中作出几何体,如图,由P,Q分别为AE,AB的中点PQBE,又EBDCPQDCPQ平面ACD;()由DC平面ABCPQ平面ABCPQCQ,又CQABCQ平面ABE;由PQDC,且PQ=DCDPCQDP平面ABEDAP是AD与平面ABE所成的角;由DP=CQ=1,AD=sinDAP=.2.解:()由平面PCBM平面ABC,PCB=900PC平面ABCPCAC;由ACB=900ACBCAC平面PCBMACBM;()作MNBC于N,则MNPCAMN是直线AM与直线PC所成的角AMN=600MN=二面角M-AB-C的正切值=;()多面体PMABC的体积=.3.解:()在长方体中作出几何体,如图,由DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4GE=AE=3,EF=5,GF=BF=4EGFG;由CFGF,CFEFCF平面GEFCFGEEG平面CFG平面DEG平面CFG;()作GHEF于H,则GH平面CDEF,且GH=,又矩形CDEF的面积S=20多面体CDEFG的体积V=16.4.解:()在长方体中作出几何体,如图,由EA平面ABCEACM,又AC=BC,M是AB的中点CMABCM平面ABDECMEM;()设AE=1,则AC=BC=BD=2CM=AM=BM=EM2=3,DM2=6,DE=9,CD2=8DMEM,DMCMDM平面EMCDEM是DE与平面EMC所成的角tanDEM=.