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河南理工大学本科毕业设计（论文）外文文献资料翻译 院（系部） 数学信息科学学院 专业名称 数学与应用数学 年级班级 2009级01班 学生姓名 闻晶晶 学生学号 310911010108 2013年6月3 日一类负相伴随机阵列部分和的精致大偏差 汪世界 王伟 王文胜 （安徽大学数学科学院，合肥，230039） （华东师范大学金融统计学院，上海，200241）摘要本文在一些适当的条件下得到了多风险模型中负相伴随机阵列的精致大偏差，推广了一些已知的结果，同时表明在多风险模型中负相伴结构对精致大偏差同样不具有敏感性.关键词：负相伴随机阵列，大偏差，一致变化尾学科分类号：O212.3.1. 引言近年来，很多学者都总结出重尾分布和的精致大偏差，因为用大偏差概率的损失过程来描述破产概率的估计，是一个非常重要的目标风险管理.为此，我们参阅了一些最新文献，如Ng et al.(2004)，Tang（2006），Wang et al.(2006)，Liu,(2007)，Chen and Zhang（2007），,Yang et al.（2009），Liu(2009)等.然而，他们只研究单一类型的风险，即他们总是假定保险公司只提供一种保险合同.在实际生活中，这种假设是不存在的，所以，研究多风险模型的大偏差问题是很有价值的.为此，Wang and Wang（2007）首次把精致大偏差的相关结论扩展到独立索赔多风险模型中.显然，Wang and Wang（2007）的独立性假设是极其不符合现实的.Alam and Saxena（1981）及Joag-Dev and Proschan（1983）中介绍到这种较弱的结构是负相关的.定义1.1 d是正整数，是有限的实值随机变量.我们称一维随机变量是负相伴的，如果对任意两个不相交的非空子集都成立其中和是任意两个使得协方差存在且对任意变量都增加的函数.在本文中，我们称是NA序列，其中，表示关于i的同分布损失函数，满足，.我们同样可以假定，对任意，如果满足 或 ，我们说分布函数F属于重尾子集C，其中分布函数F具有一致变化尾.Cline et al.（1994）也曾研究过重尾子集C，他称其为中间正规变量.另一个著名的重尾子集被称为控制变量集（D族）. 一个分布函数F支撑在上且属于D，当且仅当对任意（或某些），成立.对于像R，S，L等其他重尾子集的更多细节，参考文献Ng et al.（2004）或者Wang and Wang（2007）.集合 ，其中，.在Tang（2006）的专业用语中，被称为F的上 Matuszewska指数.是k正整数序列.为方便起见，令，.是一列关于索赔次数的独立非负整数计数过程，我们假定和是相互独立的，且当时，.令，Tang(2006)研究了带有一致变化尾的负相伴随机变量和的精致大偏差，Chen et al.（2007）和Liu（2007）把Tang（2006）的研究结果扩展到负相伴随机变量的随机和，它们各自具有一致变化尾.在本文中，我们研究多风险模型中的负相伴随机阵列部分和的精致大偏差.我们对一些已知的结论进行推广，发现在多风险模型中精致大偏差的渐近同样呈现负相伴结构.后面的章节安排如下：在第二节中，我们介绍一些预备知识，主要的结果和证明将在第三章节给出，第四章将会给出一个应用程序的主要结果.2预备知识在这一章节，我们按照惯例用符号，以及表示 .显然，如果，那么，对任意，.这在Tang and Yan（2002）中同样也可以看到.下面我们给出一些证明定理的引理，引理2.1是对Joag-Dev和Proschan(1983)的轻微调整.引理2.1 设为一NA随机变量序列，为的任意一列两两不交子集.如果为对每个分量不降（或不增）函数，仍为NA序列，且对任意以及，有以及引理2.2 设是一列同分布的NA随机变量，共同发布，期望为 ，且如果存在某，使得，.则对任意给定的常数，当时，对一致地有对一致成立，即 .证明：由于为NA序列，根据定义，同样是NA序列.由Tang（2006）的引理2.3得，对任意，必存在某正常数与C，使得对任意，有 . (2.1) 显而易见，对任意给定的，则当时，有；对于较大的x， .在（2.1）中，利用条件，我们得到 .从而引理2.2证毕. 注1（1）在引理2.2的证明中，对任意，用替换，当时， （2.2） 对一致成立.（2） 设是负相伴序列，且满足定理2.2 的条件.我们可以用数学归纳法证明，对任意，当时， （2.3）对所有一致成立.事实上，对和任意，由引理2.1,引理2.2和负相伴性质，有 （2.4）因此，（2.3）可以直接由（2.4）用归纳假设证出.3 主要结论及其证明定理3.1 设为NA随机阵列，对任意具有相同的分布，有限期望为，且满足.为任意给定的个正整数，如果对任意的，存在某使得.则对任意给定的，对所有的，当时，有 , （3.1）对所有一致成立.注2 假定所有是同分布函数，那么(3.1)可以推出Tang(2006)的定理1.1.特别的，如果我们已知是非负随机变量序列，很容易可以验证定理3.1的条件一定成立.因此，（3.1）验证Liu(2007)的定理2.1.如果是独立随机阵列，由(3.1)推出Wang and Wang(2007)的引理3.1.证明 我们用数学归纳法证明(3.1).当时，首先，显然有 . （3.2） 注意，对任意，任意， . （3.3）先估计,注意到， . （3.4）由Tang（2006）定理2.1得，对任意，当时， . （3.5）又，则更有成立，由引理2.2，对一致的有，.综合以上各式，对充分大的， （3.6）对一致成立.同理亦有对充分大的，.对一致成立.最后我们估计，由于为NA，则由Wang and Wang(2007)得， （3.7）注意到是NA，也是NA.因此，由Tang(2006)的引理2.1和（3.11）得， （3.8）联合(3.3)-(3.8)得，当时，对一致地有， 此外，令，我们得到(3.2).下面，我们再证 . （3.9）任意给定以及，由NA性质、引理2.1和Tang（2006）的定理2.1,有， （3.10）从而（3.9）成立.这样（3.1）对时成立.假定（3.1）对时成立，下面往证结果对k时也成立.我们采用类似（3.3）的分解法，可得到 由NA性质，注1和归纳假设得， . （3.12）另一方面，利用归纳假设表明， （3.13）结合（3.12）（3.13），定理证明成立.定理3.2 设为一负相伴随机阵列，对，具有相同的分布，期望为，且满足，如果对任意的，存在某使得.再令为一列相互独立的非负正整数值计数过程 ，且与相互独立.如果满足：对任意，均存在，当时，使得 . （3.14）则对任意固定的，当时，有 （3.15）对一致成立.注3 如果假定所有的为同一分布，则由（3.15）可推出Chen和Zhang定理1.2.特别地，如果我们假定是非负随机变量序列，可以很轻易的看出满足定理3.2的条件.所以，（3.15）验证了Liu（2007）定理2.2.如果假定是一列相互独立的序列，可由（3.15）证出Wang和Wang（2007）的定理4.1.证明 我们仍然采用数学归纳法证明本定理的结论，其证明思路与定理3.1完全相同，为简洁起见，这里我们只证明情形.为此，我们首先证 . （3.16）同理，对任意以及， （3.17）先估计，由于 . （3.18）由Chen和Zhang（2007）的定理1.2易知 . （3.19）现在对任意，令， （3.20）首先，运用引理2.2，我们得到 （3.21）现在我们估计,为简单起见，我们声明在下文中属于.事实上，对任意，用Tchebychef不等式，我们可得出 . （3.22）由Tang（2006）引理2.1中的，最后一个等式成立.联合(3.18)-(3,22)得，对任意都有. （3.23）同理可得.最后我们估计，类比（3.7）我们易得 （3.24）注意到相互独立以及为NA序列，由引理2.1，Chen和Zhang（2007）以及（3.24）可得， . （3.25）所以，用（3.23）-（3.25），令，对任意充分大的t，由证出（3.16）另一方面，我们再证明 . （3.26）注意到对任意以及并利用NA性质和（3.10）相同的方法，当时，有 （3.27）这样我们得到（3.26）.联合（3.16）（3.26）（3.15）定理对时成立.定理3.2证明完毕.4应用本节我们给出一个例子对本章主要结果加以应用.假定某保险公司经营着两个不同险种，而与第一个险种对应的索赔额记为，为一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为，有限期望为.若该索赔到来的时刻为一更新过程，其中对任意，满足.再令为一列Bernoulli随机变量序列（即服从两点分布），且的期望为q，其中，q表示第j个索赔到来的概率.假定与公司第二个险种相应的索赔额为，为另外一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为，有限期望为.再令为一Cox过程，其中为由一列独立同分布的非负随机变量序列生成的更新过程，且满足，令为另一个右连续的非降的随机过程，且满足.若与相互独立，对任意.假定上述随机变量序列以及相互独立，为NA序列，则可以看出到t时刻时公司的累计索赔额为 （4.1）这里我们假定公司同时经营着两种不同的险种，因此该模型是Denuit等（2002）与Ng（2004）所研究的一维风险模型的推广.这里我们假设随机过程满足，对任意，且当时，对任意，存在使得，记，则表示在时刻内发生索赔的真实次数.易见，以及.因此（4.1）式可以被重新改写为.用和Wang等（2007）中第五节相同的方法和定理3.2，我们得到，当时，有对任意，及一致成立.参考文献1 Alem, K. and Sexena, K.M.L., Positive dependence in multivariate distribution, Comm. Statist. A| Theory Methods, 10(1981), 1183-1196.2 Bingham, N., Goldie, C. and Teugels, J., Regular Variation, Cambridge University Press, 1987.3 Chen, Y. and Zhang, W.P., Large deviations for random sums of negatively dependent randomvariables with consistently varying tails, Stat. Prob. Lett., 77(2007), 530-538.4 Cline, D.B.H. and Samorodnitsky, G., Subexponentiality of the product of independent randomvariables, Stoch. Proc. Appl., 49(1994), 75-98.5 Joag-Dev, K. and Proschan, F., Negative association of random variables with applications, Ann.Statist., 11(1983), 286-295.6 Liu, L., Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails, Stat. Prob. Lett.,79(2009), 1290-1298.7 Liu, Y., Precise large deviations for negatively associated random variables with consistently varying tails, Statist. Prob. Lett., 77(2007), 181-189.8 Ng, K.W., Tang, Q.H., Yan, J.A. and Yang, H.L., Precise large deviations for sums of randomvariables with consistently varying tails, J. Appl. Prob., 41(2004), 93-107.9 Tang, Q.H., Insensitivity to negative dependence of the asymptotic behavior of precise large devia-tions, Electron. J. Pro., 11(2006), 107-120.10 Tang, Q.H. and Yan, J.A., A sharp inequality for the tail probabilities of sums of i.i.d. r.v.s with dominatedly varying tails, Sci. China Ser. A., 45(2002), 1006-1011.11 Wang, S.J. and Wang, W.S., Precise large deviations for random variables with consistently varying tails in multi-risk models, J. Appl. Prob., 44(2007), 889-900.12 Wang, Y.B., Wang, K.Y. and Cheng, D.Y., Precise large deviations for sums of negatively associated random variables with common dominatedly varying tails, Acta Math. Sin. (English Ser.), 22(2006),1725-1734.13 Yang, Y. and Wang, Y.B., Large deviations for random variables with two-sided distributions, Acta Math. Sin. (Chinese), 52(2009), 289-300.-混合相依变量线性形式的强稳定性 杨延召 刘妍岩（青岛科技大学数学系，青岛，266061）（武汉大学数学与统计学院，武汉，430072）线性形式的强稳定性在科学技术上存在着广泛应用.本文讨论了-混合随机变量列线性形式的强稳定性.通过对-混合随机变量列运用截尾术，借助于-混合随机变量的性质以及 Borel- Cantelli引理，得到了-混合随机变量线性形式具有强稳健性的充分条件.同时也给出了一些其它形式的结果.关键词：强稳定性，-混合，线性形式.学科分类号：O211.41 序言概率密度估计，非参数非线性回归可能是研究最为广泛的非参数估计问题.许多研究方法已经在独立的观察下独立发展起来.近年来，一些论文因为广泛存在的独立随机变量产生的如强稳定性的线性形式等大量概率问题，就把这些方法扩展到不独立的情况.强稳定的线性形式在生态学、分子生物学、生物化学等领域都有应用.研究线性的强稳定性被大量的定律推动，在线性模型的兼容的最小平方估计中很有用.因此，研究线性强稳定性的重要性是毋庸置疑的.2004年，Gan(2004)研究了几乎收敛的混合随机变量.对于严平稳序列，很合序列首次在Blum等（1963）中首次被提出.混合序列包括一些被广泛应用的例子，比如可数状态空间马尔可夫过程，在Blum等（1963）中可以发现更多的混合序，列的例子.众所周知，极少的关于混合序列的研究可以被找出.在本文中，我们首先通过使用终止来研究变量，然后通过Broel-Cantelli引理和-混合序列的性质找到通常情况下-混合序列的强稳定线性形式的充分条件，基于以上结果，我们给出在-混合序列中其他线性形式的一些结果.接下来，我们证明-混合序列强稳定线性形式的一些结果.本文的其他部分组织如下：在第二节中，我们陈述和证明主要的结论，然后在第三节中，我们证明-混合序列中强稳定性的其他线性形式.2.的强稳定性线性形式在我们叙述主要结论之前，我们先复习几定义个下文即将用到的定义.定义2.1 设是定义在概率空间（，F，P)的一列稳定变量.分别用表示代数生成的和.令，如果当时，我们就说是-混合随机序列.是-混合相关系数.定义2.2 一随机变量序列是强稳定的，如果存在两列常数，则 （2.1)定义2.3一随机变量序列被非负变量X所控制，如果存在整数，则有 ， （2.2）记为.除特别说明外，全文假定是-混合随机变量序列，相应的混合系数满足 . （2.3）下面的定理是对-混合序列线性强稳定性的总结.定理2.1 设是一列零均值-混合随机变量，是一列正数，若存在某个，则为证明定理2.1，需先介绍以下引理. 引理2.1（3,引理1.2.11）设是-混合随机变量， ,则.引理2.2 设是一列零均值-混合随机变量，.则，有.证明：对，令.对任意，有，当时，这样且.由,进行如3和引理2.1同样的讨论，得到，可得 （2.4）由引理2.1，可得，由以上公式得.引理2.3 设是一列-混合随机变量，满足（2.3）的条件.若（i）;（ii）,则序列收敛.证明：对序列由引理2.2得知，对任意正整数m,有，由（ii）知，对任意m有，.所以尾部收敛到0 a.s.，即收敛，由（i)知收敛.定理2.1的证明 设是的分布函数，令，是示性函数，则，于是.因此，由定理2.3得， 收敛a.s. （2.5）因为，故 . （2.6）由（2.5）和（2.6）知一致收敛.且由Borel-Cantelli定理，收敛a.s.应用Kronecker定理，在每一个概率为1的集合上的任意一个样本点有 故有 a.s.3 其他线性形式的稳定性在这一节中，我们将给出-混合随机变量的其他线性形式的稳定性.所有的证明建立在定理2.1的结果中.定理3.1 设是两列正数，是一列-混合随机变量，,令.若下列条件满足(a)(b)则存在 有 a.s.证明 设，则.由Broel-Cantelli引理知:对任意实数列，和在相同的集合上收敛到相同的极限.只须证明，a.s.就有了定理的由于是一列零均值-混合随机变量且，得 最后不等式成立是由于以下事实 且由条件（2）和定理2.1即可证得.定理3.2 如果我们用如下条件替换定理3.1的条件（1）（2）：（3） ；（4） ；（5） ；此外假定，得 a.s. 证明：由定理3.1的.同理有.为了证明所要的结果只需须证明.由条件（3）（4）易证.这样，我们只需证.因为是一列-混合随机变量且满足（2.3）得 .令，则 由定理2.1得知，证毕.在下文中，令为正的不增函数.令，假定（）；（）对，是不增的.在条件（）和（）下，我们有如下定理：定理3.3设与同分布，则存在，使 a.s.证明 由的定义及假定（）知，存在，对任意，有.故，它能确保对任意都有.仿照定理3.1，令，则当时，根据定理2.1，得到 a.s.另一方面，由Borel-Cantelli 定理知，定理3.3的结论正确 ，.致谢 作者在此呜谢相关文献作者，他们做出的极有价值的研究. 参考文献1 Gan, S.X., Almost sure convergence for -mixing random variable sequences, Statist. Prob. L67(4)(2004), 289-298.2 Blum, J.R., Hanson, D.L. and Koopmans, L., On the strong law of large number for a clastochastic processes, Z. Wahrsch., Verw. Gebiete, 2(1963), 1-11.3 Lu, C.Y. and Lin, Z.Y., The Limiting Theory of Mixing-Dependent Random Variables, China demic Press, 1997.4 Chung, K.L., A Course in Probability Theory (2nd Ed.), Academic Press, New York, 1974.三参数威布尔、对数正态及伽马分布下的估计Russell F. KAPPENMAN 西北和阿拉斯加渔业中心,国家海洋渔业局,国家海洋气象局，美国华盛顿州西雅图981121984年4月收到 1984年11月修订摘要：威布尔分布、对数正态分布、伽马分布的的位置、尺度、形状参数的新估计是发达的.估计是在封闭的形式，他们并不需要同步的非线性方程组求解.模拟研究结果和其他人已经提出的新的估计的性能进行比较.这些研究表明，新的估计更好，至少考虑到可能的偏差和均方误差.关键词：位置、尺度和形状参数，最大似然估计法、矩估计法，参数估计，仿真1引言概率密度函数下三参数威布尔、对数正态和伽马分布的形式分别为：在每种情况下,a是位置参数,b是尺度参数,c是形状参数.在这里所考虑的问题是给定一个随机从这些分布中观测的样本，来评估a,b,c.我们提出各个分布的参数估计，进行模拟仿真，然后和其他人提出的估计量的性能作对比.在一系列的论文中，Cohen and Whitten 2-4报道他们运用最大似然法、改进的最大似然法和矩估计法估计三参数威布尔分布、对数正态分布、伽马分布的研究成果.在考虑多种不同的可能性，他们提出对每个分布的估计建议.对于对数正态分布的位置、尺度、形状参数估计，已经由Munro and Wixley 11提出及LaRiccia和Kindermann10进一步研究.检查估计在这些论文中设计使用迭代或搜索过程，来同时解决三个非线性方程.迭代或搜索过程有时无法找到方程的解.因此，它很有可能，在任何给定情况下，该程序将无法得到参数估计，即使样品来自假定分布.尤其是来自一个真实的中小程度大小的样本.本文提出的估计有三个重要优势，相比那些仅仅是引用的.首先，它们是相对比较简单的，也就是说，它们是在封闭形式而涉及非线性方程的数值解.第二，估计总是能被发现.最后，最重要的是，这些估计量似乎完成一些东西比那些到这个时候提出的好，至少考虑到偏差和均方误差.这里考虑的三种分布的参数估计都是来自一种相似的方式中.然而，不同的情况可以根据基本的开发方案稍作修改或调整.估计量的发展本质上源于 Wyckoff, Bain, and Engelhardt 12，因为他们的工作单单只是威布尔案例.他们的发展是稍做改进的威布尔分布产生较好的估计值，并产生了类似的对数正态分布和伽马分布的参数估计量.对于三个分布中任何一个，我们产生参数估计通过（1）以最初的、非参数估计量的位置为初始位置；（2）假设等于它的初始估计，并寻找形状参数的初始估计；（3）设置第一个次序统计量等于其预期值；（4）在形状参数被其初始估计替换后方程的解为位置参数，位置参数的一个函数替换尺度参数；（5）估计的尺度和形状参数通过假定位置参数等于（4）中得到的参数值.在以下三部分我们将详细介绍，我们将轮流检验威布尔分布、对数正态分布和伽马分布.在下文中，x1，x2，X，N，表示一个随机样本的N个观测的分布的参数估计量的次序统计量，Y代表样本均值，表示样本的方差，F表示经验分布函数.通常，100p百分位数是样品，其中，若是整数，则，否则，表示不超过的最大整数.100p分布百分位上是，.2威布尔分布Wyckoff, Bain, and Engelhardt 12提出了下列程序估计这三参数威布尔分布.第一阶段的统计作为位置参数的初始估计.形状参数的初始估计通过假设，利用估计的由 Dubey6得到两参数威布尔分布.这个估计为 (2.1)其中，和分别是第94和第17样本百分位数.则威布尔分布为.为了重新估计a，令等于其期望值，替换b，替换c,由此产生的方程解为a.a的新的估计解用来表示，假定，然后估计参数b和c,根据Engelhardt and Bain 7，利用b和c的估计推出两参数威布尔分布.注意，对于这个程序，b本质上是由其重新估计的矩估计量替代的，似乎三个参数的估计都因此略有改善；反之，b由替代，其中是第63样本百分位数.a的函数通过等同于第63百分位数样本和分布的百分比得到，后者是.由此得到的a，b，c分别为 （2.2a） （2.2b） （2.2c）其中， ，已在（2.1）给出，k是一个取决于样本大小的常数.我们可以根据Engelhardt and Bain 7中的一个表确定k值.Cohen and Whitten 4 研究了威布尔分布参数的最大似然估计法和矩估计法并进行了改进.他们建议在求解非线性方程组的同时找到估计.方程组的前两个方程通过使似然函数关于b和c的偏导数为零得到.第三个方程是第一次序统计量与其期望值相等，或等于期望值.Cohen and Whitten 4提出以比较估计的性能（2.2）和改进的最大似然估计（MMLE）进行模拟统计研究.完成一个相当全面的统计量相对性能的研究所需的工作量，可以利用分布上的与a，b的取值无关而显著减少，其中表示的估计量在（2.1）或最大似然估计中已经给出.这样，为了比较统计量的相对性，需要假定a=0和b=1.形状参数值c=0.5、1、1.5、2、2.5、3.5常被用于仿真研究中.对c的每一个取值，分别由生a=0，b=1，形状参数相同的威布尔分布生成500个随机样本，每个样本容量20.对于每一个样本，可得到最大似然估计和（2.2）中的估计.在这一次研究中，我们第一次尝试通过与其期望值相等求得最大似然估计.如果这些估计无法找到，我们将使用其他求解最大似然估计的方法.如果没有方法成功找到所求估计，样品将被舍弃.我们使用和Cohen and Whitten 4 同样的标准，决定是否停止某一个方案.经过500次的实验，对于每个形状参数值，有如下结果：当c=3.5时，有77次未能找到估计值；当c=2.5时，27次未找到；当c=2，3，1.5时，有8次未找到估计值.表1给出了基于未丢弃的样本的最大似然估计和（2.2）估计的偏差和均方误差.a和c估计量（2.2）的均方误差总是远远小于那些用最大似然估计得到的a和c的估计值的均方误差.这同样适用与b估计，除了c=0.5的情况.这些结论也基本上适用于偏差比较，除了c=3.5的情况.最大似然估计的偏差在这种情况下较小.表一偏差和均方误差的威布尔分布参数估计使用从a= 0，b= 1的情况下威布尔分布的500个随机样本，样本容量为20.然而，我们再次指出，在c=3.5的情况下，77个样本被丢弃，因此，这并不有助于表1.此外，当a，b，c利用废弃的样本（2.2）的估计结果结合不采用废弃样本的估计结果，（2.2）估计的偏差大大降低了.同样适用于均方误差，除了c3.5的情况，c的估计的均方误差略为从1.6599增加到1.8398，这仍然是远远小于其MMLE的情况.3对数正态分布对一个对数正态分布的位置参数的初始估计，我们令 ， （3.1）其中， .这种随机变量下界的非参数估计是由Cooke 5推导出来的，它似乎能实现我们猜想最好的几个可能性.对于形状参数的初始估计c，有 ， （3.2）其中由（3.1）给出，和分别是第25和第75个样本百分位数，是一个正态分布下一个样本容量为n的随机抽样的第二十五样本百分位数.标准正态分布的次序统计量已经被Harter 9提出.统计量c的估计是通过假设a已知，则是来自一个以为均值，c为标准偏差的正态分布下四分位变化的随机样本.进一步.如果我们假设，r等同于它的期望值，求解c，所得解即为（3.2）.重新估计a，设等同于其自身期望值.是标准正态分布下一个样本量为n的随机样本的第一次序统计量.在生成的方程中，我们用替换，a的函数替换b.对我们而言，最佳的函数是y-a，其中，y是样本中位数；即，如果n是奇数；，如果n是偶数.这个函数是通过等同和它的期望值得到的，求解b.a修正后的估计可由求解方程的解a得到.如果这个解是，则b和c的估计可以有假定和寻找这些参数的最大似然估计求得，分别表示参数估计.事实证明，对于对数正态分布，如果我们更进一步的话，可以改善估计量a，b，c.另一种修订的估计量a可以通过用和分别替换b和c，及等于其期望值的等式求得.如果使用最大似然估计和假定可以重新估计a，b，c表示.由上可知，最终得到的a，b，c分别为 ， （3.3a） （3.3b）此外， ， ，Y是样本中位数，已由（3.2）给出.Cohen and Whitten 2研究了对数正态分布下修改的最大似然估计法和矩估计法.他们提出，如果采样来自存在至少一个标准三阶矩的对数正态分布，则当等于其期望值，似然函数分别相对于b和c的偏导数等于0时，应在求解三个等式结果的同时进行参数估计.因为对数正态分布的第三标准阶矩不到一个是很正常的，所以第三标准阶矩至少一个的情况是我们唯一的兴趣所在.我们应指出的是得到改进的最大似然估计参数将作为最大似然估计量.Munro and Wixley 11提出另一种估计，并由 LaRiccia and Kindermann 10做过深入研究.这些估计量通过次序统计量等于其期望值，并使用加权最小二乘法估计得到.我们称这些估计量为加权最小二乘估计（WLSEs）.第二步仿真的研究是为了比较由平稳的最大似然估计、加权最小二乘估计、（3.3）得到的估计量.再者，我们利用中a和b是自由分布的事实进行简化，其中表示研究的三种估计方法的任一种集合.同样，假定.在模拟研究中，我们考虑形状参数值c=0.35，0.50 ，0.80 ，1.40 和2.60.当c=2.60时，对数正态分布的曲线倾斜程度较大；c=0.35时曲线几乎是对称的.对于上述c的每一个取值，的对数正态分布中，随机产生500组样本容量为25的样本，三种估计方法的比较要运用到每一组样本的比较中.如果最大似然估计或加权最小二乘估计法不能找到参数估计，则将样本丢弃.表二以下为500组样本容量为25，的对数正态分布参数估计的偏差和均方误差.500个样本对于c的每个取值，有如下结果：无法找到最大似然估计：c=0.35时31次，c=0.50 时8次，c=0.80时1次；无法找到加权最小二乘估计：c=0.35时22次，c=0.50 时11次，c=0.80时1次.表二给出了基于无舍弃样本的各估计量的偏差和均方误差.在c的以上任一取值下，（3.3）估计得到的a和b相对于最大似然估计和加权最小二乘估计都有相对较小的偏差和均方误差，除了当c取值小或大时.但是，当c取值大时，它们是相似的.（3.3）c估计的偏差和其他方法的c估计是相似的，除了c取值小时.然而，当（3.3）应用在舍弃的样本中的结果结合总结在表二中的结果时，（3.3）所有估计量的偏差和方差都减少了.4伽马分布对于伽马分布的位置参数的初始估计，我们用（3.1）中给出的.C的初始估计是. （4.1）假定，令样本的均值和方差分别等于分布的均值和方差，求解c的估计.在伽马分布下， （4.2）其中是等式 （4.3）.等式（4.2）是（Blom1）.当时，伽马分布函数写做如下格式：.对于给定的c，（4.3）很容易通过迭代方法解决的.在仿真研究描述之后，我们令（4.3）左侧前40项相加.如果，我们修订a的估计.反之，a的初始估计就是其最终估计，b和c的最终估计通过假定的最大似然估计求得.为了得到a的一个修订估计，令等于（4.2）的右侧，用分别替换b和c，其中后者由（4.1）给出，求解a.给出a和c，记是b的最大似然估计.为了得到b和c的估计，假设a等于其修订后的估计，运用最大似然估计法求解.在此，我们采用类似于Greenwood and Durand 8的最大似然估计法.我们提出伽马分布下的估计量 ， （4.4a） （4.4b） ， （4.4c）其中，是（4.3）中d的解，由（4.1）给出，y是样本算术平均值和减去以后的观察值的平均值之比的自然对数.如同威布尔分布和对数正态分布， Cohen and Whitten3 研究了伽马分布下几种不同的估计方法.他们建议，当时，用最大似然估计方法；当时，用修正的矩估计法.这种修正方法是令样本的均值和方差等同于分布的均值和方差，等于其自身期望值的同时，求解三参数.第三个仿真研究是为了比较（4.4）中平稳的伽马分布和Cohen and Whitten 3的建议.再者，如果表示我们所考虑的三种方法中的任一中的参数，则的分布既不依赖于a或b，也不同时依赖a，b.因此，我们在此仿真研究中，令a=0，b=1.在伽马分布下，我们考虑其形状参数c取值0.5，1，2，4的情况.对于上述c的每一个取值，随机产生样本容量为30的随机样本，其中a=0，b=1，形状参数为c的取值.对每一个样本，（4.4）估计、最大似然估计或修正后的矩估计都可以求得.当c=2或4时，有最大似然估计；当c=0.5或1时，有矩估计.当Cohen and Whitten 3建议的程序不能找到估计量时，这些样本将要被丢弃.我们取当c=0.5,1,2时的1000个未舍弃样本.当c=4时，我们抽取500个未被舍弃的样本.为了取到这1000个未被舍弃的样本，生成了c=0.5时的1124个样本，c=1时的1052个样本，c=2时的1429个样本.同样，为了得到c=4时500个未舍弃样本，我们生成566个样本.c=0.5 ,1 ,2时偏差和均方误差是在1000个样本下求得的，c=4时，估计建立在500个样本的基础上.表三下表为a=0 b=1时的伽马分布下样本容量为30的随机样本的参数估计的偏差和均方误差.表三给出了基于未舍弃样本的估计量的偏差和均方误差.在这张表中，我们通过以下方式获得Cohen and Whitten 3 提出的估计程序，即c=2或4时的最大似然估计和c=0.5或1时的修正的矩估计.在c任意取值下，（4.4）估计的均方误差要小于CWE的均方误差.当c=2时，（4.4）中b和c估计的偏差要小于CWE估计的偏差.当c=0.5或1时，（4.4）中a的估计的偏差要小于CWE估计的偏差，但当c=2或4时，前者要大于后者一些.然而，当用舍弃样本和未舍弃样本来得到这里提出的估计量时，估计的再偏差和均方误差都得到了减少.5总结和评述威布尔分布、对数正态分布和伽马分布的位置、尺度和形状参数估计已经在上文中提出.这些分布的估计集分别为（2.2）、（3.3）、（4.4）.在每一种情况下，估计是在封闭的形式下给出的，比其他最新文献要更简单一些.仿真实验研究表明，就估计的偏差和均方误差而言，新的估计较以往的更好.此外，不像现在其他的估计，新的估计总是能找到参数估计.这里提出的估计似乎存在大量相似可能性，已在每个分布下得到检验.其他可能性的研究（不胜枚举）是根据这里提出的方法修改或迭代.例如，有各种方法的初步估计；初步形状参数估计，已知位置参数估计；把尺度参数作为位置参数的函数；求尺度参数和形状参数最终估计，已知位置参数的最终估计.同时，已知位置参数和形状参数的初始估计，可能用迭代法重新估计每组参数，否则，直到估计收敛.仿真实验研究了本文中基于单一样本大小的各个分布，其中，威布尔分布的样本容量为20，对数正态分布为25，伽马分布为30.在这个范围内变化的样本大小可能是在实践中最常遇到的.然而，我们研究从10到100的样本大小各种其他样本参数值分布组合，发现对于所有其他的情况，得到的结论基本上和文中相同.此外，偏差和均方误差的比较是基于无舍弃样本.由于迭代过程的不收敛，所以舍弃的样本不能用于比较，否则，迭代过程结束时的参数估计将变得不合理的大或小.所有证据表明，丢弃的样品以这样的方式损害这里提出的简单的估计性能.如果有什么的话，仿真研究结果是以这样一种方式被提出，是有利于之前提出的估计的.最后，在他们各系列的论文中，Cohen and Whitten2-4承认他们提出的估计程序偶尔不能产生估计.他们仍然声称，对于一个既定分布的参数估计，失败的建议程序，应该被解释为对于一个不考虑数据的最合适模型的建议.这种建议可能不是很好.可能它在第2，3，4部分使用样本导致Cohen-Whitten建议的估计失败比估计成功要更好一点.表四6一些例子为了说明在前面章节中讨论的估计程序并提供例子，检查计算那些想要模拟的过程，我们随机生成样本大小为25的威布尔分布、对数正态分布、伽马分布.对于每一个生成的样本，分布的位置参数和尺度参数均分别被设为0和1，用于采样的威布尔分布、对数正态分布、伽马分布的形状参数分别为1.5，0.8，3.三个组合的样本观测值列于表四.由Cohen and Whitten 4给出的改进的最大似然估计，估计由（2.2）给出，通过威布尔分布的样本得到.对数正态分布用于得到Cohen and Whitten 2推荐的修正的极大似然估计，以及（3.3）给出的估计和由Munro and Wixley 11推荐的加权最小二乘估计.最大似然估计和（4.4）给出的估计通过伽马分布的样品得到.所有这些估计值连同它们参数估计的真值均在表五中给出.表五
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