矩正变换在求多项式的最大公因式中的应用

第一章 引言 在高等代数中，最大公因式是多项式理论中的一个重要概念，求数域上多个多项式的最大公因式通常用因式分解法、辗转相除法，然而不是所有的一元多项式都能因式分解；但当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐，而推广到多个多项式的情形计算量更大.若从另一个角度出发，用矩阵初等变换的方法来处理这些代数问题，则有事半功倍之效，本文总结出用矩阵的准初等变换和-矩阵的初等变换求最大公因式的两种方法以及多项式最大公因式的矩阵求法的应用.定义 设.如果中的多项式满足， .那么称是的公因式.定义 设.称中的多项式是的最大公因式.如果1）,即是的公因式.2）对中的任一多项式来说，一旦，就有.由于，那么对F中的任意非零常数，总有，且，所以中若干个多项式的公因式总是存在的，至少中的非零常数就是它们的公因式.定理 设 （i）与的最大因式总是存在的；（ii）若是与的最大公因式，则存在中的多项式使得.证明 当时，定理显然成立.现在假设与不全是零多项式，作的子集合.显然所以中含有非零多项式，是中任意一个次数最低的非零多项式，那么存在，使得 下面证明是与的最大公因式.先证明是与的公因式，假如不能整除，用去除所得的商式和余式分别是，即 这里的，且,将式带入，并整理得：因此，而且，这与是中任意一个次数最低的非零多项式相矛盾，从而.类似可证.现在设，且，由得 ，因此是与的最大公因式.设是与的任意一个最大公因式，存在,使得，将代入，得，再令、，就有.对于多个多项式的最大公因式完全有与定理1一样的结论，证明方法也类似，在这里列出但不予以证明.定理2 设（i）的最大公因式总是存在的；（ii）若是的一个最大公因式，则存在，使得.下面给出求两个多项式的最大公因式的辗转相除法.设，是的两个多项式.如果，中有一个是零多项式，那么另一个就是它们的最大公因式.现在假设，都不是零多项式，不妨设.做带余除法，用去除，得到商，余式；如果，那么再用去除，得到商，余式；如果，那么再用去除，得到商，余式；如此辗转相除下去，显然所得余式的次数不断降低，即因此在有限次之后，必然有一个余式为零，于是有一串带余除法算式：， ，.与的最大公因式是，也就是与的一个最大公因式.同样的道理，有式中的倒数第二个等式知，就是与的一个最大公因式.逐步推上去，就是与的一个最大公因式.由此看出，这一串带余除法算式的最后一个不等于零的余式就是与的最大公因式.这种求最大公因式方法叫做辗转相除法.进一步，还能利用求出，使得.例 求与的最大公因式.利用辗转相除法.首先用去除,得到的余式为；然后再用去除，得到的余式为；然后再用去除，得到的余式为，然后再用去除，得到的余式为，这样得到的第四个余式.最后一个不等于零的余式，把最高次项的系数化为1，即 .故=.第二章 多项式最大公因式的矩阵求法矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且有许多重要的应用.下面总结出运用矩阵的初等变换求多项式的最大公因式的两种方法. 2.1分离系数法 为了叙述方便，把由几个多项式构成的集合称为多项式系 .引理1 设且，则(i),即交换多项式系中某两个多项式的位置，多项式系的最大公因式不变；(ii),， 即用一个非零常数乘以多项式系中某个多项式，多项式系的最大公因式不变； (iii)，即用一个非零常数乘以多项式系中某个多项式后加到另一个多项式上，多项式系的最大公因式不变；证明 (i)，(ii)都是显然的（iii）因为是的公因式当且仅当是的公因式，所以两个多项式系的最大公因式一样.多项式的最大公因式与矩阵的初等变换有某种联系，可以把多项式分离系数而矩阵化，通过对矩阵施行某些变换来求多项式的最大公因式.定义1 设是数域上行列矩阵，令称多项式系为由矩阵所决定的多项式系，称由矩阵所决定的多项式系的最大公因式为矩阵的最大公因式.定义2 称下面的四类变换为准初等变换 矩阵的行初等变换; 如果矩阵的某一行元素全为零，那么删去这一行; 如果矩阵的第一列元素全为零，那么删去第一列; 如果矩阵的最后一列元素不全为零，那么将该矩阵的形如的行变为.定理1 准初等变换不改变矩阵的最大公因式. 为了求常数项不全为零的多项式系的最大公因式，可以很容易地找到一个行的矩阵,使得所决定的多项式系恰好是.这样的不是唯一确定的（但是进一步要求的第一列元素不全为零时，是唯一的），然后经过一系列准初等变换把化为形状很简单的矩阵，而的最大公因式很容易求出来，由于准初等变换不改变矩阵的最大公因式，即的最大公因式也就求出来了，下面的定理将证明能够这么做，并且证明过程也给出了具体把化为形状很简单的矩阵的方法. 设是数域的1行列矩阵，如果，那么称是数域的简单矩阵.定理2 最后一列元素不全为零的数域上的矩阵总可以经过准初等变换化为简单矩阵.即=，其中，.证明：对用数学归纳法. 当=0时，因为的最后一列元素不全为零，不妨设，利用第类准初等变换，可将化为.进一步再利用第类准初等变换，最后化为.所以结论成立.假设当时,结论成立.现在考虑当时的情形，因为的最后一列元素不全为零，不妨设，利用准初等变换，有.（1） 除第行外，矩阵的其余各行的元素全为零，这时 ,这里是中第一个不等于零的数.（2） 除第行外，矩阵还有非零行，不妨设第行的元素不全为零，不妨设（如果而的第2行的元素不全为零，那么连续使用第类准初等变换，可把化为一个矩阵,而的第行的最后一个元素不为零），给的第行乘以 后加到第行，有 .由归纳假设，总可以经过准初等变换化为一个简单矩阵，因此总可以经过准初等变换化为简单矩阵，其中. 例2 求与的最大公因式.解 所给的两个多项式的常数项都不为零，我们可以写出如下矩阵，使所决定的多项式系恰好是，然后对施行准初等变换.因此=+3.我们可以通过例2与例1，把分离系数法与辗转相除法作以比较.例 求多项式系的最大公因式.解 所给的诸多项式的常数项不全为零，我们可以写出如下矩阵，使所决定的多项式恰好是，然后对施行准初等变换.因此=-1.用分离系数法可以求几个多项式的最大公因式，但是若想求几个多项式的最大公因式，而且还想具体的求出多项式，使得，上面介绍的方法就无能为力了，那么介绍下面一种方法.2.2 -矩阵的初等变换法.设是一个数域.定义1 以中的多项式为元素的矩阵称为上的- 矩阵.通常用来表示- 矩阵.如果行列的- 矩阵的第行第列位置的元素是，那么把记作或简记.为了与- 矩阵相区别，把以前学过的矩阵叫数字矩阵.实际上数字矩阵也是特殊的- 矩阵.类似于数字矩阵的初等变换，有定义2 称以下三种为- 矩阵的行（列）初等变换；（i）交换- 矩阵的某两行（列）；(ii)用中的非零数乘以- 矩阵的某一行（列）的每一个元素；(iii)用中的乘以- 矩阵的某一行（列）的每一个元素加到另一行（列）的对应一个元素上.引理1 设上的- 矩阵的左上角元素，并且的第一列中至少有一个元素不能被所整除，那么只通过-矩阵的行初等变换可把化为，使得左上角的元素也不为0，但其次数小于.证 假如的第一列元素不能被所整除，这里.设用去除所得的商为，余式为，即有，其中，并且.用乘以第一行的每个元素后加到第行的对应元素上，得.再交换-矩阵的第一行与第行，得.这时左上角的元素为，而，但的次数小于.定理1 是上的行+1列的-矩阵，并且的第一列的元素不全是零多项式.那么只通过-矩阵的行初等变换可以把化为行+1列的-矩阵， (1)这里的是最高次数为1的多项式，表示-矩阵的元素，但不同位置上的表示的元素未必相同.证 不妨设.如果的第一列中至少有一个元素不能被所整除，那么由引理1知，可以只通过-矩阵的行初等变换把化为，使得的左上角元素不是零多项式，且.如果的第一列中至少有一个元素不能被所整除，那么再由引理1知，可以只通过-矩阵的行初等变换把化为，使得的左上角元素不是零多项式，且.如此继续下去，我们将得到一串-矩阵，它们的左上角元素不是零多项式，且次数严格降低.但是有限数，这个过程不可能无止境的进行下去.因此在有限步之后，我们得到一个，它的左上角元素不是零多项式，且整除的第一列的所有元素.即存在使得用-乘以的第一行的每个元素后加到第行的对应元素上，得到的-矩阵记为.这时的第一列中，除不等于0外，其余的元素全为0.设的最高次项系数为，用乘以的第一行，最后得到一个形如（1）的-矩阵.定理2 设是上的-矩阵，并且存在，使得 （2）对施行若干次-矩阵的行初等变换后得到，那么, （3）且 （4）证 我们只需证明对施行一次-矩阵的行初等变换而得到的-矩阵满足等式（3），（4）即可.设对施行一次第一或第二种-矩阵的行初等变换，得到的 显然满足等式（3），（4）.设对施行一次第三种-矩阵的行初等变换，不妨设对的第1行的每个元素同乘以后加到第2行的对应元素上，得到的 .此时，我们有 , （5） （6）除第2行外，与的其它行的对应位置的元素是相同的，即. （7） . （8）由（5）、（7），可得结合（7）式，可知（3）成立.当时，由（7）、（8）知，（4）就是（2），此时（4）式成立.当时，由（5）、（2）、（6）知=.这说明，当时，（4）式也成立. 上述定理告诉我们一种求最大公因式的方法.但为了求的最大公因式，设都不是零多项式（如果有一个是零多项式的话，去掉它不影响最大公因式）.作一个行+1列的-矩阵 （9）由定理1知，只通过-矩阵的行初等变换可把（9）化为行+1列的-矩（1）.因为-矩阵（1）的第一列元素的最大公因式是，所以由定理2知，且 . 定理1的证明过程给了一种具体地把（9）化为（1）的方法.例, 和 的最大公因式.解 构造矩阵.并做初等变换：.故， ，.且.上面的内容只讨论了行的情形，列的情形与行的情形类似，此时列初等变换和替换的结果是第一行只剩下一个非零元素，该元素为多项式的最大公因式.如果只需要求非零多项式的最大公因式，而并不需要求出使得中的多项式.可以做一个行列的-矩阵，对其只施行-矩阵的行初等变换，最后化为 ，那么由定理知，是的最大公因式.例5 求，的最大公因式.解 构造矩阵，并作初等行变换：=.故 .第三章 多项式最大公因式的矩阵求法的应用 在解答有些问题的过程中，关键在于求得多项式的最大公因式. 下面给出多项式最大公因式的矩阵求法的两个应用. 3.1 用矩阵的初等变换判定一个多项式有无重因式.定理 设是多项式的一个(1)重因式，那么是的导数一个重因式.由定理1知道，的所有重因式必出现在与的最大公因式中，故通过求的方法来求的所有重因式及重数.例5 在上是否有重因式；若有，判断是几重因式.解 由得.由分离系数法，所给的两个多项式的常数项都不为零，我们可以写出如下矩阵，使所决定的多项式系恰好是，然后对施行准初等变换.=.故.即，在上有重因式，且是的4重因式.3.2用矩阵的初等变换解二元一次不定方程在初等数论中解二元一次不定方程有如下定理： 定理2 设二元一次不定方程有解，是它的一组解，那么它的所有解为.在初等数论中解二元一次不定方程算法实际上是对整个不定方程运用辗转相除法，我们可以运用上述求多项式的最大公因式的方法二，构造-矩阵，直接求出上述定理中的，与，其中且 .例6 求解以下不定方程（1）;（2）.解 （1）构造-矩阵： .故：=7， =2，=-1.(2) 构造-矩阵： 故：=43. 43不整除1106，所以不定方程无解. 注意：若例6的第2小题改为证明此不定方程无解，那么在已经知道无解的情况下，运用求出最大公因式即可.参考文献 1张禾瑞，郝炳新.高等代数M.北京:高等教育出版社. 2刘仲奎. 高等代数M.北京:高等教育出版社. 3潘承洞， 潘承彪.初等数论M.北京：北京大学出版社. 4杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用J.重庆文理学院学报(自然科学版),2008,27(3):55-57.5李先安. 矩阵法求多项式的最大公因式J.攀枝花学院学报,2002,19(3):57-62.6刘汝臣.求多项式的最大公因式的矩阵方法J.沈阳工业学院学报,2000,19(1):89-94.致谢首先向我指导老师宋雪梅表示衷心的感谢.本学士学位论文是在宋老师的细心指导下完成的，从选题到开题报告，在开题报告中她指导我一遍遍斟词酌句的修改，在论文的写作过程中更是精益求精，每一个表达式到一个标点符号都不放过，我真的很感动，这种认真做事的精神很值得我学习，还要感谢在写作过程中给予我帮助的老师和同学.