《在数学课堂教学中学生合情推理能力的培养》结题报告

在数学课堂教学中学生合情推理能力的培养结题报告 丰县民族中学 王艳菊一、课题的研究背景及现状 G波利亚最早在数学与猜想一书中讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了合情推理的教学意义和教学方法。他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了“合情推理”的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径;他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是合情推理。G波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围;有关合情推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动;他的不足之处是对合情推理的界定比较模糊和不完全，在具体内容上不系统，只是列举了一些例子，虽然这些例子涉及的面还比较广，但缺乏系统性和可操作性，导致“合情推理”在教学中不能得到落实。1988年，我国著名数学家徐利治指出:“要用G波利亚的思想改革数学教材和教学方法，要培养G波利亚的数学工作者”，从而在我国正式拉开了把数学方法论和G波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行合情推理能力的培养。此后，我国又有不少学者开展数学思想方法的研究，也都只是将合情推理作为其中很少的一个内容进行研究。近年来，不少数学教学在教逻辑思维能力的同时进行合情推理能力的培养。此后，我国又有不少学者开展数学思想方法的研究，也都只是将合情推理作为其中很少的一个内容进行研究。近年来，不少数学教育刊物都有涉及“合情推理”内容研究的一些论文，但都只是从某个侧面，或某个狭小的容加以讨论，缺乏系统研究。二、课题研究的意义1长期以来，中学数学教学一直强调教学的严谨性，过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理，使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。数学教学只注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，而忽视了合情推理能力的培养，影响了学生创新能力的发挥，不适应现代高科技社会、信息化社会发展对人才的需要。联系有关调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的现实，不能不使我们感到加强合情推理能力的培养已经到了刻不容缓的地步。2新课标在基本理念中明确指出:“在学习数学和运用数学解决问题时,要不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。发展学生的数学合情推理能力是数学课程的重要目标,发展合情推理能力是培养创新精神,弘扬中华民族数学发现的重要途径也是适应现代高科技社会、信息化社会发展对人才的需要。3把“合情推理”贯穿数学教学的全过程，能较好地体现数学的教学原则。在合情推理运用中要引导学生进行归纳、类比、猜想等思维活动，较好地贯彻了启发性教学原则与过程性教学原则；对猜想的反馈矫正，贯彻体现了归纳演绎并重的原则及关注学生自我监控的思想4在高中数学教学中全面渗透“合情推理”有利于提高教师的专业素养。但从目前教师的情况来看，大部分教师还不能在教学中有意识渗透“合情推理”的思想，其中的一个主要原因是缺乏相关资源，因而不能在相关内容的教学中进行渗透。通过合情推理资源的构建能帮助教师恰时恰点地渗透合情推理的内容，有利于教师整体把握数学的联系，提高对数学整体的认识三、课题研究的内容1在数学课堂的概念教学中运用学生合情推理2在数学课堂解题的教学中运用学生合情推理四、课题研究的基本目标1通过课题的研究探索如何在现行班级课堂教学中运用合情推理教学模式，并且通过研究提高全体参加实验同学的学习数学的兴趣和成绩。2通过课题的研究，结合新课程新的教学理念的要求，形成一套新型的培养学生合情推理能力课堂教学模式。为我校乃至全县的学校提供一套有效的能培养学生合情推理能力课堂教学模式。3通过课题的研究，加强自身的学习，使自己在研究过程中实践水平和理论水平都有较大提高五、 课题研究的基本原则1、导向性原则。新课标在基本理念中明确指出:“在学习数学和运用数学解决问题时,要不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。发展学生的数学合情推理能力是数学课程的重要目标。 2、主体性原则。在方案实施的过程中，要求充分考虑学生的主体地位和智力潜力，遵循学生的生理、心理特点及其规律，激发和调动学生自我发展的积极性我创造性，满足学生的求知欲望和表现欲望。同时在课堂教学过程中师要努力为学生创造民主、平等、和谐的学习环境，鼓励学生大胆质疑，培养学生敢于质疑问难的品质，和 标新求异的思维，使学生生动活泼地主动发展。 3、可行性原则。在课题方案实施的过程中，常常会出现一些难以预计的情况。因此在系统执行过程中，根据实施结果，随时修正课题实施方案。因此在制定方案和修正方案的过程中要保证方案具有可行性、可操作性。在保证科学性、针对性、发展性的前提下，尽可能做到简便易行。4、趣味性原则。有人说兴趣是最好的老师。有效的数学学习来自于学生对数学活动的参与，而参与的程度却与学生学习时产生的情感因素密切相关。学生对该知识或作业感兴趣，他就学得认真，做得用心；因此，在设计课堂时，要符合学生特点，要有趣，要能结合学生的实际情况。六 、课题研究的方法1、文献研究法：通过研究文献活动，对所研究的问题能全面细致的了解，并汲取其中以部分有用的东西，关注一些反思与有待探讨的问题，能初步掌握所研究的课题。2、观察法：通过观摩教师的公开课、优质课、示范课、录像课总结总结培养合情推理能力培养的方法3、实验法：在自己的教学实践中比较、反思总结有效培养学生合情推理能力培养的方法4、访谈法：通过向优秀教师请教，总结有效培养学生合情推理能力培养的方法七、课题研究的步骤与过程（一）在数学课堂概念教学中运用合情推理模式数学概念教学的目的是教授学生数学基本知识，并以知识为载体培养学生的数学素养和能力。在概念教学中进行学生合情推理能力的培养，重要的是要将各种合情推理方法恰当地渗透在数学知识中去，教师首先要更新教学理念，不将现成的数学结论强加给学生。而要从学生认知结构出发，设计学生乐于接受的合情推理模式，与学生共同以发现者的姿态投入到概念教学中，并综合运用各种合情推理方法，达到既使学生深刻理解概念，又提高发现概念的合情推理能力的目的。使数学课更贴近学生、更易于让学生接受、更具有数学美。1、数学概念的定义：数学概念是反映一类事物在空间形式与数量关系方面的本质属性的思维形式2、数学概念的学习方式概念形成：概念形成是人们在对客观事物的反复感知和进行分析、比较、抽象的基础上，概括出某一类事物的本质属性的过程。在教学条件下，以学生直接经验为基础，通过对各种例证的分析，使学生以归纳的方法概括出一类事物的本质属性从而形成数学概念的学习方式，就是概念形成。例如棱柱概念的教学案例1、辨别:棱柱的大体形状如何?举出一些几何体(三棱镜、方砖、镖杆的头部、铅笔、课桌，平行六面体等)，如图4-1, 2、分化:这些几何体都具有什么性质? 三棱镜:有两个三角形且互相平行，其余三个面两两相交且均为矩形;方砖:各个面均为矩形，有两个矩形互相平行;镖杆:有两个面是正六边形且互相平行，其余各面是矩形;平行六面体:各个面均为平行四边形，且有两个平行四边形互相平行。培养学生观察，分析能力。3、类化:有什么共同的性质? 有两个面互相平行(形状不定，可以是三角形，四边形，六边形等)，其余各面是平行四边形，其余各面中相邻两个面的交线平行且相等。4、抽象与概括:将有两个面互相平行，其余相邻两个面的交线互相平行作为棱柱概念的本质属性(因为其余各面为平行四边形可由这两个属性推得，并且与有两个面互相平行重复)。培养学生从特殊到一般的归纳、概括能力5、强化与形式化:(如图4-2所示几何体) (1)要求学生说出该几何体是否符合棱柱的定义? (2)说出该棱柱的底面，侧面，侧棱，顶点，并用符号表示该棱柱? (3)说出该棱柱的有关性质? 小结:棱柱是该章的第一节课，由于在教学中注意引导学生观察、归纳、得出定义研究性质，在课堂小结时，除小结知识点，还引导学生总结研究问题的方法:出示模型一一定义一一作图一一表示一一由表及里的研究性质(外部性质、内部性质)。在进行棱锥概念与性质的教学时，引导学生利用这一方法进行自主研究，取得了较好的教学效果，为后续棱锥概念与性质的教学打下基础。再如循环结构概念的教学可设计如下:情景：一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸，只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵。设计一个算法，将这队士兵渡到对岸。教师提问：问题：同学们能设计一个算法将这队士兵渡到对岸吗？学生回答：第一步：两个儿童将船划至右岸第二步：他们中一上岸，另一个划回来。第三步：儿童上岸，一个士兵划过去。第四步：士兵上岸，让儿童划回来。第五步：如果左岸还有士兵，那么转到第一步，否则结束。问题2：请问同学们观察上述算法与前面所学顺序结构和选择结构有什么不同的的地方？学生回答：生1：本算法含有顺序结构第一步、第四步，也含有选择结构如第五步有判断过程。生2：本算法与选择结构不一样，它还有重复回过去的操作。老师通过情景及学生的探究讨论引入课题。最后老师总结：在算法中，像这种需要重复执行同一操作的结构称为循环结构此概念的形成也经历了以上五个过程。通过课堂的设计问题情景的提出，学生的探讨不仅使学生很快掌握了概念而且对数学海产生了很大的兴趣。概念教学的一般措施和步骤1、搜集利于学生掌握知识，利于培养合情推理能力，且学生感兴趣的乐于探讨和 思考的素材。2、创设轻松愉快的教学氛围，提供学生合作交流，互相学习的机会，使学生在探讨交流的的氛围中形成数学概念。3、问题的提出，情景的设置，要结合学生的实际情况，可采用复习引入法，例如讲等比数列的性质可复习和类比等差数列的性质，在如讲空间向量和复习和类比平面向量等等。有些新的概念不好通过已有知识类比的我们可以联系生活的实际进行类比，例如本课题所讲的循环结构的概念教学和棱柱的概念教学（二）在数学课堂解题教学中运用合情推理模式数学解题的概念：数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路、转换问题直至解决问题、进行回顾的全过程中的思维活动。数学解题教学的概念：解题是实现中学数学教学目的的一种手段，也是数学教学活动的重要形式。在教师指导下，通过讲解例题和解答一定数量经过精心安排的数学题，帮助学生掌握数学的基础知识和基本技能，熟悉数学的基本思想和常用方法，提高学生的逻辑思维、形象思维和灵感思维的能力，发展思维的灵活性和创造性。在数学解题过程中，探索解题方法，就是寻求已知向未知的转化，是解题的关键。探索解题方法的程序，可概括为解题时的回想、联想、和猜想。（1）回想：回想与题目有关的公式、定理、法则。（2）联想：联想与当前题目接近或相似的原理、方法、结论或题目，变通使用知识。（3）猜想：以已有的表象（数量关系的描述，图象的示意）为引发物，通过直觉在内的思维活动，去猜测解题的途径、解题的方法或解题的结果。可见，合情推理在探索解题方法中的作用。波利亚特别强调探索法，他指出：在解题过程中，要合情推理，要学会猜想。6数学的基础知识、基本技能与完善的思想方法结构体系是在解题教学中进行合情推理能力培养的前提条件。因此在实施过程中要做到以下几点:1、重视基础知识的系统梳理与运用: 丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。小题综合化是高考客观题的主要特点2、重视对重要知识的加深理解: 认知心理学认为:提高加工水平，关注材料的细节，对材料从多方面进行感知，或赋予意义并与有关观念形成联想。能够使认知结构中有意义学习材料的长时记忆更完善。所以对重要知识点要进行深加工。仍以函数一章的复习为例:函数单调性是函数性质中重要的知识点，要使学生深刻理解，就应从其定义，定义中所蕴涵的不等式恒成立意义，几何意义，求法，应用等几方面进行挖掘，以及与其他函数性质的联系(如利用单调性求值域，图象)、函数与不等式中单调性的应用、利用导数求函数单调性等多方面进行分析。在函数一章的大系统下形成单调性的小系统。又如在对函数奇偶性的复习中，要帮助学生形成对称性(特殊:奇偶性)，周期性的知识系统，进一步认识到两次对称出周期，与一对称一周期出另一对称的联系。使学生在解题时能够产生丰富的联想，探索到解题的途径。 以题组的形式进行知识点的深加工，能够促使学生从具体的问题抽象出知识点的联结。根据认知心理学，由于认知结构是学生通过“做”数学而形成，所以更易于迁移。此外，在解题教学中，教师引导学生对所遇到的题目不要只满足于会解，还要理解知识点是以怎样的方式联接的，对学生知识结构的形成与完善、解题能力的提高都是很有益处的。反之，通过让学生定期做一些以反映知识点联系的典型例题，也能达到理解、巩固知识点及其联系的目的。3、注重数学思想方法系统的形成: 布鲁纳很注重学科的基本结构，他强调说:“不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”。数学的基本结构就是数学的思想方法。只有培养学生自觉的运用数学的思想方法解题，才能使学生达到举一反三，运用所学知识解决类似或同类课题的目的，即为迁移而教学。运用合情推理模式进行解题教学方法和步骤一般性的设问:波利亚指出:老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我想，所谓比较自然的帮助就是启发式的设问，具体如下: 1、条件是什么，结论是什么?画一个图，并将已知条件标在图上?一一培养学生审题与翻译数学语言的能力。2、你知道与此有关的定理，问题吗?通过问题的转化，能联想到什么辅助问题?一一通过类比相关的问题，将问题纳入数学方法系统。培养学生有目的联想意识。3、为了利用与此有关的定理或习题，是否要引入辅助元素?一一为了将问题转化为辅助问题，需要添加辅助元素如辅助线，参数等。培养学生利用过渡题的意识。4、从条件出发，能推出什么?只考虑部分条件，能得到什么?将这些条件适当组合呢?一一注意各个细节的转化与组合，将条件、结论进行转化并进行适当的组合与分解，这时需要用到知识点的联接。所以在教学中要注意帮助学生形成完整系统的数学认知结构，注意知识点之间的横向联系。培养学生对条件的转化意识。5、如果问题情境很陌生，首先从最简单的开始着手，从一个可类比的问题着手，或应用其结果或应用其方法。 这些波利亚型的启发式设问，带有常识性与普遍性，意在教会学生思考。经常这样做下去，不但有益于当前的问题，对学生的独立解题也很有指导意义。例如（2001年上海高考）已知两个圆 则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题是所推广的命题的一个特例，推广的命题为- 分析:注意到两圆的半径相等，圆心不同，所以该两圆为两不重合之等圆故将两等圆方程推广为一般形式: 式减去式可得两圆一条对称轴的方程。 又例如:(2000上海理12)在等差数列中，若，则有等式)成立类比上述性质，相应地:在等比数列伍。中，若，则有等式_成立 分析:单纯从条件的转化入手很难，注意到题目只要求将等差数列与等比数列的相应结果进行类比，所以从序号:k+n=p+q，其中k, p, q, n是自然数，对于等差数列有;对于等比数列，则有等差数列中的又可类比等比数列中的，所以，只需要分析序号10与n,19-n的关系。不难发现而 .则有等式这是一道小巧而富于思考的妙题。主要考查观察分析能力，以及运用类比的思想方法由等差数列而得到等比数列的新结论。 归纳、类比这两种重要的合情推理方法是科学发现的常用方法，是创新的基础。在近几年的高考卷中多次出现，在大力提倡培养创新能力的今天，这类问题必将受到广泛关注。 八、课题研究的成果本课题根据研究目标和研究步骤，有序地开展了研究和实验，通过方法经验的交流、累积，效果明显。1、 提高了学生学习数学的兴趣和积极性在几次基础知识测试实验时，实验班同学成绩均分高于分实验班成绩，在去年期中测试时所实验班级成绩均分118比非实验班高了5分，并且出现了两个满分。这极大的激发了学生学习数学的兴趣和积极性。 2、提高了学生的合情推理和自主学习能力能力。通过对本课题的研究级课堂的实践，学生的合情推理能力明显提高，在解题的过程中能有意识的利用类比和归纳的思想。例如在学习抛物线性质的时候学生能自觉地将椭圆知识相类比，在学习等比数列性质时与等差数学性质相类比从而减轻了教学的难度，同时学生在学习过程中还养成举一反三的习惯，即提高了学生的合情推理又培养了自主学习能力能力。3、提高教师自身素质。通过课题研究,改变过去陈旧的教育观念,形成了符合现代教育发展趋势的教育思想,初 步掌握了教育科研的过程和方法,并以此来促进课堂教学的改革,从而提高教学的水平。初步 形成运用合情推理模式教学的教学模式4、 为今后的教学提供范例本课题提出在数学教学的全过程渗透“合情推理”的思想，通过合情推理引导学生发现，认识数学的本质，加强过程教学的理念得以切实的贯彻，发展了过程教学的内涵与具体的操作模式，同时通过高中数学主体知识蕴涵的合情推理的教学案例以及教学模式的构建，对教师加强合情推理的教学提供范例，便于教师操作 九、需要注意的几个问题:1、在平时教学中应该渗透数学思想方法：教数学我们应该让学生们学到什么？我想应该是学生遇到具体问题时思考问题的方式，和解决问题的方法。从合情推理在以上例子中的运用，我们得出:在解题教学中渗透合情推理的思想方法要注意合情推理中各方法之间的联系的规律性:如归纳一猜想一证明的思路;特殊一般的转化;不同对象间的类比;不同联想方式的运用等等，教师要在教学中逐渐向学生加以总结。2、教师要对具有问题的敏感性，善于捕捉好的问题作为培养学生合情推理能力的题材。对利用合情推理方法对问题进行引中要注意学生的认知水平的限制。3、课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题，例如让学生阅读算法直到型和当行知识拓展中的两种流程图的相互转化时，课堂上学生开始还不能很好的完成题目的变化，这就需要老师的及时指点，帮助学生解开困惑。参考文献：1陈水平.合情推理在数学学习结构中的作用J.数学教育学报，1998，（8）. 2G波利亚.怎样解题数学教学法的新面貌M.上海：上海科技教育出版社，2002.3畅娜丽. 数学问题解决中的类比迁移研究D广西师范大学, 42004于秀丽. 类比推理结果的实验研究D华南师范大学, 20055 崔克忍 ,武江红. 合情推理课堂教学模式J教学与管理, 2002,(22) 1 于明华. 高中数学合情推理课程内容的研究D东北师范大学, 20072 王蕊. 合情推理在高中数学探究学习中的应用研究D陕西师范大学, 2008 3 李伟红. 高中数学教学中运用合情推理模式的探索D山东师范大学, 2007 .4 弓爱芳,夏婧. 新课程理念下对合情推理的再认识J中学数学研究, 2006,(02)