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天津市和平区2015届高三下学期第四次模拟考试文科数学 试题温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！第卷 选择题（共40分）注意事项:1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么. .柱体的体积公式. 其中表示锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高. 锥体的底面积,表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知为虚数单位,复数满足,则等于（A） （B）（C） （D）否是开始结束（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A） （B）（C） （D）（3）阅读右面的程序框图,当程序运行后,输出的值为（A） （B）（C） （D）（4）“函数在上单调递增”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5）设分别为双曲线（）的左、右焦点,双曲线上存在一点,使得,则该双曲线的渐近线方程为（A） （B）（C） （D）（6）设表示中较小的一个,给出下列命题:；设，则；设N*,则的最大值是,其中所有正确命题的序号有（A） （B）（C） （D） （7）如图,切圆于点,圆的割线过点,交于点,若,.则给出的下列结论中,错误的是（A） （B）（C） （D）（8）已知是函数的两个零点,则所在区间是（A） （B）（C） （D）第卷 非选择题（共110分）注意事项:1用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. （9）某校有体育特长生人,美术特长生人,音乐特长生人.用分层抽样的方法共抽取人,则抽取音乐特长生的人数为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积等于 cm.（11）函数（R）的最小正周期为 .（12）已知过点的直线与圆相交于两点,则的最小值为 .（13）不等式的解集为 .（14）如图,在等边三角形中,在线段上,且,其中,若,则的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）一个袋中装有5个形状大小完全相同的围棋子,其中个黑子,个白子.（）从袋中随机取出两个棋子,求取出的两个棋子颜色相同的概率；（）从袋中随机取出一个棋子,将棋子放回后再从袋中随机取出一个棋子,求两次取出的棋子中至少有一个白子的概率.（16）（本小题满分13分）在中角的对边分别为,且.（）求角的大小；（）若,求的值.（17）（本小题满分13分）如图,在四棱锥中, 底面为矩形, 平面平面, ,为的中点.（）求证:平面；（）求证:平面；（）若,求二面角的大小.（18）（本小题满分13分）数列的前项和记为,.（）求的通项公式；（）正项等差数列的前项和为,且,并满足,成等比数列.（）求的通项公式；（）试确定与的大小关系,并给出证明.（19）（本小题满分14分）已知点是离心率为的椭圆（）上的一点,斜率为的直线交椭圆于两点,且与点均不重合.（）求椭圆的方程；（）的面积是否存在着最大值？若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由？（）求直线与直线斜率的比值.（20）（本小题满分14分）已知函数,. （）若,讨论函数的单调性；（）若是关于的一次函数,且函数有两个不同的零点,求实数的取值范围； （）在（）的条件下,求证:.和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第四次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）C （4）B （5）A （6）D （7）D （8）B二、填空题（每小题5分，共30分）（文科）（9） （10） （11） （12） （13）或（14）（理科）（9） （10） （11） （12） （13）或 （14）三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本题13分）（文科）（）解:个黑子记为,个白子记为.从袋中随机取出两个棋子,所有可能的结果有:,共10种.（2 分）用表示“取出的两个棋子颜色相同”,其所有可能的结果有:,共4种. （4 分）. （6 分）（）解: 从袋中随机取出一个棋子,将棋子放回后再从袋中随机取出一个棋子, 其所有可能的结果有:,共25种. （9 分）用表示“两次取出的棋子中至少有一个白子”,其所有可能的结果有:,共16种.（11分）. （13分）（15）（本题13分）（理科）（）解: 的图象上相邻的两个最高点的距离为,的最小正周期. （2 分）的图象关于直线对称,（Z）. （4 分）,.（5 分）（）解: 由（）得,则. （6 分）. （7 分）,.（9 分） （11分） . （13分）（16）（本题13分）（文科）（）解:由正弦定理,得 , （2 分）. （3 分）整理,得.即 . （5 分）由余弦定理,得, （6 分）. （7 分）（）解: 由及正弦定理,得. （8 分）由余弦定理,得.（9 分）把,代入上式,得, （11分）解得,. （13分）（16）（本题13分）（理科）（）解: 从种服装商品、种家电商品和种日用商品中选出种商品,共有种不同的选法,3种商品中没有日用商品的选法有种.（2 分） 选出的种商品中至少有一种日用商品的概率为:. （5 分）（）解: 随机变量的所有可能取值为.；. （9 分）04080110随机变量的分布列是: （11分） . （13分）（17）（本题13分）（文科）（）证明:设,连接. （1 分）底面为矩形,为的中点.为的中点,. （3 分）平面,平面,平面. （4 分）（）证明:平面平面,平面平面,平面,平面. （5 分）平面,. （6 分）,平面. （7 分）平面,. （8 分）,为的中点,. （9 分）,平面. （10分）（）解: 由（）可知平面,故即为二面角的平面角.（11分）在中,.二面角为.（13分）（17）（本题13分）（理科）（）证明:取的中点,连接.与都是正三角形,. （1 分）,平面. （2 分）平面,. （3 分）平面,平面,. （4 分）,平面. （5 分）（）解: 以点为坐标原点,直线为轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则,. （6 分）设平面的法向量为,则,（7 分）, 令,则,.为平面的一个法向量.（8 分）则点到平面的距离. （9 分）（）解: ,设平面的法向量为,则, 令,则,.为平面的一个法向量.（10分）平面的一个法向量为,. （12分）设所求二面角为,则.（13分）（18）（本题13分）（）解:由,得（）, （1 分）两式相减,得,即（）.（2 分）,.（3 分）（）. （4 分）的通项公式为 （5 分）（）解:（）为等差数列,且,. （6 分）设的公差为,则,.,. （7 分）,成等比数列,.或（不合题意,舍去）.（8 分）. （9 分）（）（N*）,（10分）（11分）. （13分）（19）（本题14分）（）解:依题意,得 （2 分）解得 （3 分）椭圆的方程为. （4 分）（）解:设,的方程为,则有 整理,得. （5分）由,解得. （6 分）由根与系数的关系,得:,.（7 分）,设为点到直线的距离,则.（8 分） .,当且仅当时取等号,当时,的面积取得最大值.（9 分）（）解:设直线与直线的斜率分别为和,则, （10分）故., .（12分）由,得,（13分）. （14分）（20）（本题14分）（）解:由,得.则,其定义域为. （1 分）当时,令,解得,. 当时,则,函数在区间和上单调递增,在区间上单调递减.（2 分） 当时,函数在区间上单调递增.（3 分） 当时, 则,函数在区间和上单调递增,在区间上单调递减. （4分） 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减. （5 分）（）解:是关于的一次函数,其定义域为.由,得,记,则. （6 分）在上单调递减,在上单调递增.当时,取得最小值. （7 分）由,得时,而时,如下图.（8 分）实数的取值范围是. （9 分）（）解:由题意,得,故,.不妨设,要证,只需证,即证. （10分）设（）,（11分）则. （12分）函数在上单调递增,而.,即. （14分）- 19 -
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