定积分在物理中的应用2

定积分在物理中的应用目录：11 定积分的定义 第2页22 定积分的几何意义 第3页33 变力作功 第4页44 质点作变速直线运动的路程 第5页55 曲边梯形的面积 第6页66 引力问题 第9页77 水压力问题 第12页 定积分在物理中的应用摘要：定积分在物理学中应用，可以说是定积分最重要的应用之一。正是由于微积分的发展，使得物理学中精确测量，计算成为可能，从而使物理学得到长足发展。关键字: 定积分 物理定积分的定义：设函数f(x)在a，b上有界，在a，b中任意插入若干个分点 a= . =b 把区间a，b分成n个小区间 ，. ，。 在每个小区间，上任取一点 ()，作函数值f()与小区间长度的乘积，并作出和 如果不论对a，b怎样分法，也不论在小区间上的点怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间a，b上的定积分， 记作： 即： 定积分的几何意义 当时，是曲边梯形的面积当时，是曲边梯形的面积的负值定积分可视为对连续量求和离散量求和 自变量从1离散地变到n连续量求和 自变量连续地从变到对积分变量的说明：， 只是求和指标，是哑元用什么字母表示无关 同理 注意：这与不定积分有本质的区别，不定积分中，积分变量是不能随便改的两个规定：1、 当时，规定 2、 当时，规定 这个等式不论a，b谁大谁小均成立 例1 变力作功个质量为m的人造卫星，要把它从地面送上太空，要计算地心引力对它作的功，如果把铅垂线选作轴，则这时的力为。 常力作功： （功=力距离） 变力是随变化的连续量，功具有可加性，考虑将其一点点求和。因此这是个连续量连续作用的积累问题分4步解决1、分割 在区间中插入个分点。第个小区间为，长度为，2、取近似 当很小时，可以认为的变化较小， 取，则质点从到过程中，力所作的功 3、求和 力所作的总功4、取极限 记，则例2 质点作变速直线运动的路程设质点作变速直线运动，速度为，求质点在时间间隔内所走过的路程，匀速直线运动： 路程=速度时间 变速怎么样？ 路程具有可加性因此这是个连续量连续作用的积累问题分4步解决1、分割 在区间中插入个分点：。第个小区间为，长度为，2、取近似 当很小时，可以认为的变化较小， 取，则质点从到过程中，所走过的路程 3、求和 在内走过总路程4、取极限 记，则 例3 曲边梯形的面积 所谓曲边梯形，是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。垂直于底边的直线交曲边只有一点。设三条直边为 ，曲边是连续曲线 分4步解决1、分割 在区间中插入个分点。第个小区间为，长度为，2、取近似 当很小时，可以认为的变化较小， 取，则小曲边梯形的面积近似于 3、求和 曲边梯形的面积 4、取极限 记，则 设想曲边梯形是由线段当从a变到b时扫出来的（图7-5）。如果函数等于常数，这时图形是矩形，面积很易求得。对一般的连续函数，困难就在于当从a变到b时，也在连续的变化。因此，求曲边梯形的面积，也就是求一个连续量连续变化的“积累”问题，从这个意义来看，例3是例1、例2的几何“解释”。这些例子，都归结为求某种和式的极限。我们把它概括抽象出来，便得到下面的定积分定义。定义 设函数在区间上有定义用分点 将区间任意分成n个小区间，小区间的长度为 ，记，在每个小区间上任取一点，作和式若当时，和式的极限存在（设为I），则称在是可积的，极限值I称为在的定积分，记作概括起来，也就是 注1 这是一种新的极限注2 极限的存在与否与的分法无关，与的取法无关！注3 和式 称为黎曼和 分别称为积分下限和积分上限，积分区间 称为被积函数，称为积分变量定积分是一个数，是黎曼和的极限等价定义： ，当时，有，对的任意分法及，当时，有注意两个任意对区间的分法任意和在子区间的取法任意。正因为此，使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。对函数极限，当时，对每个来说，是唯一确定的；而对黎曼和极限，当时，不是唯一确定的，这时，区间的分法有无穷多种，对每一个分法，的取法又有无穷多种。等价定义：设在有定义，是一个确定的数，若，对的任意分法及，当时，有 则称为在的定积分，记作并称在可积。变力使质点沿直线从移到时所作的功是在的定积分（作用的方向与位移的方向重合） 变速直线运动的质点所走过的路程是速度在时间区间上的定积分，即 例四 引力问题质量分别为，的质点，相距r，二者间的引力： 大小： 方向： 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决.设有一长度为l，线密度为的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力. 解：建立坐标系如图.细棒上小段 对质点的引力大小为 （分割）故垂直分力元素为 （取近似）棒对质点的引力的垂直分力为 （求和取极限）棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为说明1. 当细棒很长时，可视为无穷大，此时引力大小为 （极限思想）方向与细棒垂直且指向细棒. 2. 若考虑质点克服引力沿y轴从a处移动到b（ab）处时克服引力作的功，则有 （假设在小段上力恒定） （ab上求和取极限）3.当质点位于棒的左端点垂线上时，注意正负号 引力大小为1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤：11 先用微分分析法求出它的微分表达式一般微分的几何形状有：条、段、环、带、扇、片、壳等.22 然后用定积分来表示整体量Q，并计算他.2. 定积分的物理应用：变力做功，侧压力，引力，转动惯量等.在高中物理中还有很多例子，比如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。(水压力看高数书264页，讲解在水深为h处的压强公式p=yA等和平板一侧所受水压力的公式，以及例题)