2021高三数学北师大版理一轮课后限时集训：43 空间图形的基本关系与公理 Word版含解析

空间图形的基本关系与公理建议用时：45分钟一、选择题1a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C若ab，则a，b与c所成的角相等D若ab，bc，则acC若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确故选C.2给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面其中正确的序号是()A B C DB显然正确；错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；若三个点共线，则两个平面相交，故错误；显然正确故选B.3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()AB CDDA，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面4.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BCC由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.5(2019陕西省第三次联考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B. C. D.B如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)设三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长均为1，则AD，A1D，A1B，由余弦定理，得cosA1AB.故选B.二、填空题6四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定_个平面4首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面7在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_或如图，取BC的中点O，连接OE，OF.因为OEAC，OFBD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，所以EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF.当EOF120时，取EF的中点M，则OMEF，EF2EM2.8(2019长白山模拟)下列命题中不正确的是_(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面没有公共点的两直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb，又ca，则ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面三、解答题9在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角因为AB1ACB1C，所以B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)BE綊AF，G为FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面1已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件2在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A30 B60 C75 D90D将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1DB1A，BC1D为所求角或其补角设BB1，则BCCD2，BCD120，BD2，又因为BC1C1D，所以BC1D90.3一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上四个命题中，正确命题的序号是_如图，ABEF，正确；显然ABCM，所以不正确；EF与MN是异面直线，所以正确；MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是.4(2019上海高考改编)如图，在正三棱锥PABC中，PAPBPC2，ABBCAC.(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；(2)求PABC的体积解(1)M，N分别为PB，BC的中点，MNPC，则PCA为AC与MN所成角，在PAC中，由PAPC2，AC，可得cosPCA，AC与MN夹角的余弦值为.(2)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN，AOAN1.PO.VPABC.1.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A. B C. DA如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EFBD，EGAC，FOOG，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角设AB2a，则EGEFa，FGa，EFG是等边三角形，FEG60，异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.2.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BEFH，所以AFH即为异面直线AF与BE所成的角过A作AGEF于G，则G为EF的中点连接HG，HE，则HGE是直角三角形设正方形边长为2，则EF，HE，EG，AG，所以HG，所以AH.由余弦定理知cosAFH.