第3章大气边界层支配方程之1

湍流运动的两种研究方法湍流运动的两种研究方法1、采用随机过程的统计学方法来反映、采用随机过程的统计学方法来反映大气湍流结构大气湍流结构 平均、方差、标准差、湍强、相关、通平均、方差、标准差、湍强、相关、通 量、应力、湍流动能量、应力、湍流动能 2、解湍流运动控制方程、解湍流运动控制方程（平均运动方（平均运动方程、脉动方程、湍能方程程、脉动方程、湍能方程.）第三章第三章 大气边界层支配方程大气边界层支配方程 3.1 3.1 基本控制方程基本控制方程 3.2 3.2 平均量方程平均量方程 3.3 3.3 湍流脉动量方程湍流脉动量方程 3.4 3.4 湍流方差预报方程湍流方差预报方程 3.5 3.5 湍流通量预报方程湍流通量预报方程 3.6 3.6 闭合理论闭合理论3.1 3.1 基本控制方程基本控制方程为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流为了定量描述和预报边界层状况，需要借助于流体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。体力学来描述大气中气体动力学和热力学方程。描述气体和液体流动的方程组包括：描述气体和液体流动的方程组包括：三个动量守恒方程（三个动量守恒方程（Navier-StokesNavier-Stokes方程）方程）一个质量守恒方程（连续方程）一个质量守恒方程（连续方程）一个热力学能量方程一个热力学能量方程一个状态方程一个状态方程 ( (水汽及污染物浓度的标量方程类似热量方程水汽及污染物浓度的标量方程类似热量方程) ) 3.1 3.1 基本控制方程基本控制方程3.1.1 控制方程控制方程3.1.2 简化与近似简化与近似Boussinesq近似近似3.1.3 坐标系及其变换坐标系及其变换3.1.1 控制方程控制方程 状态方程状态方程 质量守恒（连续方程）质量守恒（连续方程） 动量守恒（牛顿第二定律）动量守恒（牛顿第二定律） 热量守恒方程（热力学第一定律）热量守恒方程（热力学第一定律）1） 状态方程状态方程vRTP理想气体状态方程：理想气体状态方程：P：气压：气压：湿空气密度：湿空气密度R：干空气气体常数（：干空气气体常数（R=287 J K-1 kg-1）虚温虚温Tv=T(1+0.61q)，q比湿，比湿，T温度温度2） 质量守恒（连续方程）质量守恒（连续方程）连续性方程的一般形式：连续性方程的一般形式：0zwyvxut0t不可压缩流体不可压缩流体0zwyvxuzwyvxudtd或或0zwyvxutdtd泰勒假说泰勒假说: 运用运用Einstein求和符号惯例，以上的连续方程写成：求和符号惯例，以上的连续方程写成：0zwyvxut0zwyvxuzwyvxudtd0jjxut0iixujjxudtd（j=1、2、3分别代表分别代表x、y、z三个方向）三个方向） 3） 动量守恒（牛顿第二定律）动量守恒（牛顿第二定律）动量方程的表达式：动量方程的表达式：jji2jij3i3ijijixxuufgxpxuutu1局地时间变化局地时间变化平流项平流项气压梯度力项气压梯度力项重力作用项重力作用项科氏效应科氏效应粘滞应力项粘滞应力项jji2jij3i3ijijixxuufgxpxuutu1等，如任意两个相等，如逆序排列，如顺序排列333322113013221332113122311231ijkijkijkijkjijiij当当01i3为克罗内克符号为克罗内克符号 重力仅在垂直方向起作用重力仅在垂直方向起作用0,3fufvufjij思考：方程右端第三项展开？思考：方程右端第三项展开？4） 热量守恒（热力学第一定律）热量守恒（热力学第一定律）热量守恒关系常用位温方程来表示：热量守恒关系常用位温方程来表示：szwyvxuts：引起空气位温变化的热量源引起空气位温变化的热量源(汇汇)项项 （分子热传导、与相变有关的潜热释放、净辐射加热）（分子热传导、与相变有关的潜热释放、净辐射加热） 水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致水汽及污染物的守恒方程形式与热量守恒形式一致 关键是要全面准确的了解引起成份变化的关键是要全面准确的了解引起成份变化的源汇项源汇项3.1.2 简化与近似简化与近似Boussinesq近似近似 在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小在一定条件下，控制方程中某些项的量值比其它项小得多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助得多，以致可以把它略去，使得方程变得较为简单，有助于方程的求解。于方程的求解。 必须考虑地球自转的影响必须考虑地球自转的影响大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是大气密度并非均匀，主要在垂直方向上是不均匀的层结流体不均匀的层结流体大气的空间尺度在水平方向远大于铅直方大气的空间尺度在水平方向远大于铅直方向，可视作浅层流体，不可压缩流体向，可视作浅层流体，不可压缩流体大气边界层主要是湍流运动大气边界层主要是湍流运动大气边界层的特点概括有：大气边界层的特点概括有：柯氏力作用柯氏力作用Boussinesq 近似近似Boussinesq 近似的基本假定：近似的基本假定：流体中的动力学粘滞系数流体中的动力学粘滞系数=是常数是常数流体中的分子导热系数流体中的分子导热系数 kT 是常数是常数大气是浅层流体，垂直范围约大气是浅层流体，垂直范围约10km描写流体热力状态的特征量可表示为描写流体热力状态的特征量可表示为),()(0tzyxPzPPd),()(0tzyxzd),()(0tzyxTzTTd000:TP基本状态dddTP:扰动量扰动量远小于基态量：扰动量远小于基态量：|0PPd|0d|0TTd基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足基本状态量假设是静力平衡、绝热的，并且满足理想气体状态方程，即：理想气体状态方程，即：静力平衡静力平衡理想气体状态方程理想气体状态方程绝热过程绝热过程gzP00000RTPdzT0Boussinesq 近似下的简化方程：近似下的简化方程： 连续方程连续方程 状态方程状态方程 运动方程运动方程 热流量方程热流量方程1） 连续方程连续方程 当大气为浅层流体，在该范围内密度的变化当大气为浅层流体，在该范围内密度的变化很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不很小、可以忽略，边界层大气可以近似认为是不可压缩的，连续方程为：可压缩的，连续方程为：0zwyvxu0iixu或或0zwyvxut2） 状态方程状态方程对于干空气，状态方程为对于干空气，状态方程为 P=RT ，对该式进行，对该式进行对数微分，可以得到：对数微分，可以得到： TRRTPlnlnlnlnlndTTddPP111如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则如果运动的垂直尺度相对于大气层厚度而言很小，则 00PPd取对数：取对数：取微分：取微分：000000TTTPPP00TTdd3） 运动方程运动方程Navier-Stokes方程中压力梯度项和重力项可以进方程中压力梯度项和重力项可以进行改写行改写： 30030030330300330003111111ididididididdidiidiididiididiigTTxPgxPgxPggxPxPggxPxPgxPjji2jij3i3ijijixxuufgxpxuutu1jjijijididjijixxuufgTTxPxuutu233001将上式代入将上式代入运动方程运动方程得到：得到： 扰动温度在重力作用下形成的净浮力项扰动温度在重力作用下形成的净浮力项 0g0dTT4） 热流量方程热流量方程边界层支配方程中常用到边界层支配方程中常用到位温位温，Poisson方程：方程： CpRhPPT00对该式进行对数微分，近似有对该式进行对数微分，近似有0hzTd 000000hThzhTTTTTdd此外，有此外，有zzTd因此，有因此，有扰动温度的垂扰动温度的垂直梯度直梯度位温的位温的垂直梯度垂直梯度如果不考虑相变，热源如果不考虑相变，热源 S S 仅考虑分子热传导及辐仅考虑分子热传导及辐射加热，则射加热，则热流量方程热流量方程为：为： jjpjjdTjdjdxRcxxTkxTutT021Rj : j: j方向的方向的辐射热通量辐射热通量分子热传导的加热分子热传导的加热辐射加热辐射加热上式中Td 也可以换成 以上近似处理最早由以上近似处理最早由Boussinesq(1903)Boussinesq(1903)提出提出BoussinesqBoussinesq近似近似 该简化方程假定该简化方程假定流体不可压流体不可压、并限制并限制在一薄层内在一薄层内。适用于研究像积云对流、。适用于研究像积云对流、海陆风环流、边界层急流中的重力波海陆风环流、边界层急流中的重力波活动等发生在浅层内的中尺度运动活动等发生在浅层内的中尺度运动浅水方程浅水方程综上所述，综上所述，Boussinesq近似下的基本方程组为：近似下的基本方程组为：jjpjjdTjdjdxRcxxTkxTutT021zzTdjjijijididjijixxuufgTTxPxuutu2330010zwyvxu0iixu或或00TTddTTPP或或热流量方程热流量方程运动方程运动方程状态方程状态方程连续方程连续方程3.1.2 坐标系及其变换坐标系及其变换 通常我们使用笛卡尔坐标系，在实际应用中，将笛卡通常我们使用笛卡尔坐标系，在实际应用中，将笛卡尔坐标系绕尔坐标系绕z轴旋转，使轴旋转，使x、y轴指向其它方向，能够在处轴指向其它方向，能够在处理问题时更方便。例如，使理问题时更方便。例如，使x轴与平均风向、地转风向、轴与平均风向、地转风向、表面应力方向、垂直于海岸线、山的方向一致，这样就可表面应力方向、垂直于海岸线、山的方向一致，这样就可以简化控制方程中的某些项。以简化控制方程中的某些项。 例如，选择例如，选择x轴与平均风方向一致，就可以求得轴与平均风方向一致，就可以求得u=M（平均风速）和（平均风速）和v=0，这时，这时，x轴叫做顺风方向，轴叫做顺风方向，y轴叫做轴叫做侧风方向。侧风方向。3.2 3.2 平均量方程平均量方程以上动力方程组无法求解析解，但可以求得数值解。以上动力方程组无法求解析解，但可以求得数值解。 原则上，可以用动力方程组来描述湍流的运动，但是原则上，可以用动力方程组来描述湍流的运动，但是要想囊括所有尺度的湍流运动，计算量太大。要想囊括所有尺度的湍流运动，计算量太大。为了简化，可以截取一定尺度的涡旋，而在这个尺度为了简化，可以截取一定尺度的涡旋，而在这个尺度以下的涡旋用湍流的统计特征来代替。以下的涡旋用湍流的统计特征来代替。在一些中尺度和天气尺度模式中，截取尺度为在一些中尺度和天气尺度模式中，截取尺度为10100公里，而在边界层模式，比如说大涡模拟，截取公里，而在边界层模式，比如说大涡模拟，截取尺度一般为尺度一般为10100米。米。一一 出发方程组出发方程组1. 状态方程状态方程2. 连续性方程连续性方程3. 动量守恒动量守恒4. 热量守恒热量守恒5. 水汽守恒水汽守恒6. 标量守恒标量守恒1 1、状态方程、状态方程vdTRp 干空气气体常数干空气气体常数-1-1kgKJ 04.287 dR2 2、连续方程、连续方程wuvuuuixuii 321 3 , 2 , 1 0张量展开：张量展开：0 0z zw wy yv vx xu u 3 3、运动方程、运动方程( (动量守恒动量守恒) ) 存储项存储项 平流传输项平流传输项 重力项，仅重力项，仅在垂直方向作在垂直方向作用用 柯氏力项柯氏力项 气压梯度力项气压梯度力项 粘性力项粘性力项 式中：式中： 为分子动粘系数，为分子动粘系数， f = 2 sin 。jjiidjijidjijixxuxPufgTTxuutu2033014 4、热量守恒、热量守恒 存储项存储项 平流传输项平流传输项 热扩散项热扩散项 式中：式中：k为分子热扩散系数，数值为为分子热扩散系数，数值为2.0610-5 m2s-1；Lp为与为与E相相变有关的潜热（变有关的潜热（0C时气液相变取值时气液相变取值2.50106 Jkg-1 ；液固相变取；液固相变取值值3.34105Jkg-1; 气固相变取值气固相变取值2.83106 Jkg-1）；）；cp为湿空气定为湿空气定压比热，与干空气定压比热的关系为压比热，与干空气定压比热的关系为cp=cpd (1+0.86q)；cpd取值取值1004.07 Jkg-1K-1；E为蒸发量为蒸发量 辐射加热辐射加热项项 ppjjpjjjjcELxRcxxkxut0021jjpjjdTjdjdxRcxxTkxTutT021 与相变有与相变有关的潜热释放关的潜热释放 5 5、水汽守恒、水汽守恒 存储项存储项 平流传输项平流传输项 水汽扩散项水汽扩散项 式中：式中：vq为空气中水汽分子扩散率，为空气中水汽分子扩散率，Sq是方程中不含有其余过程时的净水体源项（源是方程中不含有其余过程时的净水体源项（源-汇），单位是：汇），单位是：单位时间单位体积的总水体质量。单位时间单位体积的总水体质量。 其它过程其它过程的净水体源项的净水体源项 qjjqjjSxxqvxqutq26 6、标量守恒、标量守恒cjjcjjSxxCvxCutC2 存储项存储项 平流传输项平流传输项 C C的扩散项的扩散项 其它过程其它过程的体源项的体源项 式中：式中：vc为空气中为空气中C的分子扩散率，的分子扩散率，Sc是不存在于方程中的其余过程的体源项，例如化学反应等。是不存在于方程中的其余过程的体源项，例如化学反应等。 在湍流运动的大气边界层中，上述方程组还在湍流运动的大气边界层中，上述方程组还不能完整地描述边界层中的全部过程，应将上述不能完整地描述边界层中的全部过程，应将上述的主要变量转换成平均量和脉动量相加。即：的主要变量转换成平均量和脉动量相加。即：pppqqquuuiii 平均场方程描述平均场方程描述长时间过程，长时间过程，脉动场方程描述脉动场方程描述短时间过程。短时间过程。二二 湍流中平均变量方程湍流中平均变量方程推导思路：推导思路：出发方程：出发方程：Boussinesq Boussinesq 近似方程组近似方程组 采用雷诺平均的方法，将任意一个物采用雷诺平均的方法，将任意一个物理量表示成理量表示成平均量和脉动量之和平均量和脉动量之和，代入，代入方程组，然后再方程组，然后再取平均取平均。 大气边界层平均量控制方程大气边界层平均量控制方程雷诺平均规则雷诺平均规则Stull.书书 P41-441 1 状态方程状态方程vvdTTRpp进行雷诺平均后：进行雷诺平均后：vvdTTRpvdTRp vRTP最后一项很小、略去不计最后一项很小、略去不计平均量的状态方程平均量的状态方程2 2 连续方程连续方程iiu u= 0 = 0 x x湍流脉湍流脉动连续动连续方程方程湍流平湍流平均量连均量连续方程续方程0iixu0iixu3 动量方程动量方程3 3 动量方程动量方程表示为雷诺应力对表示为雷诺应力对平均运动的影响平均运动的影响 jiuu 湍流应力或雷诺应力湍流应力或雷诺应力重要！jjijijididjijixxuufgTTxPxuutu233001jjijjijijididjijixuuxxuufgTTxPxuutu123300 AAA再进行雷诺平均，得到：再进行雷诺平均，得到：假设，定常状态，即假设，定常状态，即 假设，略去下沉，即假设，略去下沉，即假设，水平均匀性，即假设，水平均匀性，即 P.S. P.S. ：定常、水平均匀性、下沉：定常、水平均匀性、下沉展开任一平均变量展开任一平均变量的全导数：的全导数：zwyvxutdtd 象位温象位温 、湍流动能、湍流动能e e等等平均变量，垂直平均变量，垂直变化大变化大、水平变化、水平变化很小；很小；风速风速相反，相反，u u、v v量级量级m/sm/s，而，而w w量级量级mm/smm/s；因此方程中；因此方程中项项多数情况下量多数情况下量级几乎级几乎相等相等。水平平流水平平流 垂直垂直 0t0w00yx和4 4、热量方程、热量方程湍流热通量的湍流热通量的输送对温度变输送对温度变化的影响化的影响jjppjjpjjjjxucELxRcxxkxut1002：湍流热通量：湍流热通量0jpuc AAA再进行雷诺平均，得到：再进行雷诺平均，得到：分子热传导引起的热通量，通常忽略分子热传导引起的热通量，通常忽略 ppjjpjjjjcELxRcxxkxut00215 5、水汽守恒、水汽守恒jjqjjqjjxquSxxqvxqutq2qjjqjjSxxqvxqutq26 6、标量守恒、标量守恒cjjcjjSxxCvxCutC2jjcjjcjjxCuSxxCvxCutC2jjppjjpjjjjxucELxRcxxkxut1002 上面平均方程组均出现了湍流通量散度项，表现出湍流上面平均方程组均出现了湍流通量散度项，表现出湍流通量对平均场动量、热量和水汽含量增减的贡献。通量对平均场动量、热量和水汽含量增减的贡献。jjijjijijididjijixuuxxuufgTTxPxuutu123300jjqjjqjjxquSxxqvxqutq2湍流中平均变量方程概要湍流中平均变量方程概要（略去分子扩散和粘性）（略去分子扩散和粘性） vdTRp 状态状态: 0iixu连续连续: jjijijididjijixuuufgTTxPxuutu13300动量动量: jjppjjpjjxucELxRcxut100热量热量: jjqjjxquSxqutq水汽水汽: jjcjjxCuSxCutC标量标量: 【例【例 子子 1】 设湍流热通量按设湍流热通量按 随高度线性递减，其中随高度线性递减，其中 a=0.3(K m sa=0.3(K m s-1-1) )和和 b=3b=31010-4-4 (K s (K s-1-1) )。如果初始位温廓线是任意形。如果初始位温廓线是任意形状（即选择某一形状），那么状（即选择某一形状），那么1 1小时后廓线的最终形状是什么样子小时后廓线的最终形状是什么样子？略去下沉、辐射、潜热加热，并假设水平均匀。？略去下沉、辐射、潜热加热，并假设水平均匀。bzawjjppjjpjjxucELxRcxut100-【解法】【解法】- 略去下沉、辐射、潜热加热，位温平均量方程为：略去下沉、辐射、潜热加热，位温平均量方程为： 假设水平均匀，略去假设水平均匀，略去 x 和和 y 导数，得到：导数，得到：zwyvxuyvxutbzbzazwt)()(00ttbtt1 小时的增温是小时的增温是KsKsttb08. 13600)(103)(140【讨论】【讨论】ML，所有高度空气以相同速率增温，廓线形状不变，所有高度空气以相同速率增温，廓线形状不变 【例【例 子子 2】 如果如果10m/s10m/s的风速把干空气平流到某一区域，该区水汽水平的风速把干空气平流到某一区域，该区水汽水平梯度为梯度为(5g(5g水水/kg/kg气气)/100km)/100km，那么要保持定常状态的比湿，边界，那么要保持定常状态的比湿，边界层湍流水汽通量的垂直梯度多大？假设所有水都是气态，且不存层湍流水汽通量的垂直梯度多大？假设所有水都是气态，且不存在水汽体源。在水汽体源。 问题中没提到下沉或水平通量梯度，假设为零，得到：问题中没提到下沉或水平通量梯度，假设为零，得到：zqwyqvxquzqwxquzqwxqu114115110510510skggmkggmszqw气水气水jjqjjxquSxqutq-【解法】【解法】- 定常即定常即 ，选择，选择x坐标与平均风向一致，平均量方程坐标与平均风向一致，平均量方程: 0t【讨论】【讨论】梯度大小相等于在垂直距离梯度大小相等于在垂直距离1km1km上上 减少减少0.5(g/kg)(m/s) 0.5(g/kg)(m/s) qw【 作作 业业 】 令令 C C 是空气中是空气中hockipuculishockipuculis细菌浓度，大家知道这种传染细菌浓度，大家知道这种传染病菌，每年冬天都要掠过美国北部一些州，当湖上结冰时它便增病菌，每年冬天都要掠过美国北部一些州，当湖上结冰时它便增加。加。SieveSieve研究所发现了空气中研究所发现了空气中hockipuculishockipuculis的下列守恒方程的下列守恒方程: : 式中式中 a 是常数，假设水平均匀、无下沉，求出湍流大气中的是常数，假设水平均匀、无下沉，求出湍流大气中的 守恒方程。守恒方程。 CaCdtdC【 个个 例例 分分 析析 】