4.1.2圆的一般方程

4.1.2 4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程课本课本121121页页想一想想一想下列方程表示什么图形下列方程表示什么图形1、（、（x-1）2+（y+2）2=4以以(1, -2)为圆心为圆心 ，以，以 2为半径的圆为半径的圆（x-2）2+（y+3）2=0以以(1, -2)为圆心为圆心 ，以，以 2为半径的圆为半径的圆X=2 ，Y=-3. 表示点（表示点（2，-3）不存在满足方程的解，既不存在这样的点不存在满足方程的解，既不存在这样的点2、x2+y2-2x+4y+1=03、x2+y2+4x+6y+13=04、x2+y2-2x+2y+3=0（x-1）2+（y+1）2=-1配方配方（x-1）2+（y+2）2=4有规律吗？有规律吗？1、（、（x-1）2+（y+2）2=4圆圆点点不存在这样的点不存在这样的点2、x2+y2-2x+4y+1=03、x2+y2+4x+6y+13=04、x2+y2-2x+2y+3=0220 xyDxEyF22224224DEDEFxy（1）当）当 时，时，2240DEF表示表示圆圆，,2ED圆心 -22242DEFr（2）当）当 时，时，2240DEF表示表示点点,2ED-2（3）当）当 时，时，2240DEF不表示不表示任何图形任何图形新课探究：新课探究：方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下表示圆？在什么条件下表示圆？ 配方：配方：练习练习v1、判断下列方程是否表示圆？、判断下列方程是否表示圆？222(1)+20(0)xybybb222()2xybb22(2)46130 xyxy22(2)(3)0 xy表示点（表示点（2，3）2,3xy22(3)46150 xyxy22(2)(3)2xy 不表示任何图形不表示任何图形以（以（0，-b）为圆心，以）为圆心，以 为半径的圆为半径的圆2 b 2 2、方程、方程表示的图形是一个圆，求表示的图形是一个圆，求a的取值范围的取值范围. .2222210 xyaxayaa 解：（）整理得344解得32例例4.4.求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4，2 2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标. .因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法一：所求圆的方程为：所求圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得例例4 4 求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4，2 2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标. .解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：几何方法几何方法方法二：yxA( (1, ,1) )B( (4, ,2) )0例例4.4.求过三点求过三点O O（0 0，0 0），），A A（1 1，1 1），），B B（4 4，2 2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标. .解：设所求圆的一般方程为解：设所求圆的一般方程为：因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则220 xyDx Ey FF=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得解得注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或若知道或涉及圆心和半径涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用 圆的圆的标准标准方程方程较简单较简单.若已知若已知三点三点求圆的方程求圆的方程,我们常常采用我们常常采用圆圆 的的一般一般方程方程用待定系数法求解用待定系数法求解. 小结:( (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单) )1.1.任一圆的方程可写成任一圆的方程可写成 的形式，但方程的形式，但方程 表示表示的曲线不一定是圆，当的曲线不一定是圆，当 时，时，方程表示圆心为方程表示圆心为 半径为半径为 的圆的圆. .220 xyDxEyF220 xyDxEyF2240DEF(,)22DE22142DEF课堂小结课堂小结: :2.2.用待定系数法求圆方程的基本步骤：用待定系数法求圆方程的基本步骤：（1 1）设圆方程）设圆方程 ；（；（2 2）列方程组；）列方程组；（3 3）求系数；）求系数； （4 4）写出方程）写出方程. . 动点的轨迹方程：动点的轨迹方程： 求出动点坐标求出动点坐标x x，y y所满足的关系所满足的关系. . 例例 已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）, ,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程. . yABMxo解：设点解：设点M的坐标是（的坐标是（x,y）,点点A的坐标为（的坐标为（x0,y0）由于由于B点坐标为（点坐标为（4，3），），M为为AB的中点，的中点，所以所以23,2400yyxx整理得整理得. 32, 4200yyxx 又因为点又因为点A在圆上运动，所以在圆上运动，所以A点坐标满足点坐标满足方程，又有方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得整理得1)23()23(22yx所以，点的轨迹是以（所以，点的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆）为圆心，为半径的圆3 32 2，相关点法相关点法A AB B 例例 已知点已知点P P（5 5，3 3），点），点M M在圆在圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y+4=0-4x+2y+4=0上运动，求上运动，求|PM|PM|的最的最大值和最小值大值和最小值. .yCPMxo练习：P124 B组 3