二轮复习之直线与圆锥曲线问题的处理方法2提高篇

二轮复习之直线与圆锥曲线问题的处理方法（2）（提高篇）适用学科高中数学适用年级高三适用区域人教版课时时长（分钟）60知识点1、直线与圆锥曲线的交点个数2、韦达定理（设而不求）的应用3、求弦长公式教学目标1、通过讨论圆锥曲线方程推导培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力。2、会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；教学重点1、韦达定理（设而不求）的应用2、圆锥曲线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。教学难点1、轨迹方程的求法2、直线与圆锥曲线的位置关系问题，点差法以及韦达定理的灵活运用。教学过程 一、高考解读直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 二、复习预习椭圆或双曲线的标准方程中的“定量”和“定位”。（1）“定位”是指判断焦点在哪条坐标轴上，同时也就确定了a2、b2在方程中的位置。（2）“定量”是指要求出椭圆的标准方程，就要求出a2、b2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a2、b2的方程组。三、知识讲解考点1 点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系考点2直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点.直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的.直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件考点3直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。则弦长公式为：d=。焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）。四、例题精析例题1已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。【规范解答】设与抛物线交于由距离公式|AB|=由从而由于p0，解得【总结与思考】方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交；有两组相同实数解则相切；无实数解则相离。例题2在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和。（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由。【规范解答】（1）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得。整理得 ，直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或。即的取值范围为。（2）设，则，由方程， 。又 。而。所以与共线等价于，将代入上式，解得。由（1）知或，故没有符合题意的常数。【总结与思考】既考察到了交点问题又考察到了韦达定理的知识例题3 试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称 【规范解答】设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点 从而有 由 (1)-(2)得 由由在直线上从而有 【总结与思考】点关于直线的对称问题例题4已知直线过定点A(4,0)且与抛物线交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求的值 【规范解答】可设直线的方程为代入得 设，则 由题意知，OPOQ，则即此时，抛物线的方程为 【总结与思考】直线与圆、圆锥曲线的综合考察例题5 如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列 (1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围 【规范解答】 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故椭圆方程为=1 (2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|= 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2,由此得出 x1+x2=8 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4 (3)由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上 得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)将 (k0)代入上式，得94+25y0()=0 (k0)即k=y0(当k=0时也成立) 由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0 由点P(4，y0)在线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，得y0,所以m 【总结与思考】椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解，第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围 例题6 若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围 【规范解答】 解法一 （对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为 如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由 代入得有两个不同的解， 解法二 （对称点法）设抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上 则 必有两组解(1)-(2)得 必有两个不同解，有解 从而有 有两个不等的实数解即 有两个不等的实数解 ， 解法二 （点差法）设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是抛物线（即）内的点 从而有 由 (1)-(2)得 由 从而有 【总结与思考】椭圆的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 课程小结1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍