2020年数学二答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析1、 选择题：18小题,每小题4分,共32分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1） 当时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）(A) （B） （C） （D）答案:(D)解析：(A); （B）;（C） ; （D）（2） 函数的第二类间断点的个数（ ）(A) 1 (B) 2 (C ) 3 (D) 4 答案：（C）解析：间断点为；，故其为第二类无穷间断点；，故其为第一类间断点；，故其为第二类间断点；（3）(A) (B) (C) (D) 答案：(A)解析：令，代入原式有：上式.(4) 已知则（A） （B） （C） （D）答案：（A）解析：，则(5) 关于给出下列结论：(1) （2） （3） （4）其中正确个数为（ ）(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1答案：(B)解析：；从而正确的命题有3个.(6) 设在上可导，则（ ）(A) (B) (C) (D) 答案：（B）解析：可得函数单调递增，从而.（7） 四阶矩阵不可逆，为的列向量组，则的通解为（ ）（A） (B) (C) （D）答案：（C）解析：由于四阶矩阵不可逆，故，从而有且，即就是的解，又因为，故可以由线性表示，故线性无关.故正确答案为(C)(8)为3阶矩阵，为属于特征值1的线性无关的特征向量，为的属于的特征向量，满足的可逆阵为（ ）（A） （B） （C） (D) 答案：(D)解析：相似对角化的过程要求与中的特征值有对应关系，从而由特征向量的性质可知(D)为正确选项.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分 请将答案写作答题纸指定的位置上.(9)设，则答案：解析：，(10)答案：解析：交换积分次序有(11)设则答案：解析：代入可得（12）斜边长为的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面平齐，记重力加速度为，水密度为，则三角形平板的一侧受到的压力为答案：解析：（13）设满足且，则.答案：1解析：可得特征方程，从而，又可得，故（14）行列式答案：解析：三、解答题：1523小题,共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分10分）求曲线的斜渐近线。答案：解析：，而，故；综上，斜渐近线的方程为.（16） （本题满分10分）设连续，且，求且证明在处连续.答案：解析：设连续，且，则令，则（，时，；故当时，当时，；从而，即是连续的.(17)（本题满分10分）求的极值.答案：有极小值点，极小值为.解析：令得驻点为或又代入得，故其不是极值点；代入得且，故为极小值点，相应的极小值为.(18)（本题满分10分）设在上有定义，且满足（1） 求；（2） 求曲线以及轴围成的图绕轴旋转一周的体积；答案：（1） （2）解析：（1）因为，所以消去可得（3） 含轴绕轴的模型，利用公式计算如下：（19）（本题满分10分）计算二重积分，其中区域由及轴所围成.答案：解析：，又故所以，.(20)(本题满分11分）已知（1） 证明:使得（2） 证明：使得证明：(1) 令因为在上连续且，从而根据零点定理可知使得.(2) 令因为在上连续，在内可导，且，从而根据罗尔定理可知使得.即，整理后可得使得（21） （本题满分11分）已知可导，且曲线过原点，点为曲线上的任一点，过点的切线与轴相交于点，过点做垂直于轴于点，且曲线与直线以及轴所围成的图形面积与三角形的面积比恒为，求曲线满足的方程.答案：解析：设点，则知；曲线与直线以及轴所围成的图形面积为从而根据题意有 且；两边同时对求导并整理有即又令，代入上式有，解之得，将回代，再解之得，又故，从而.（22)（本题满分11分）二次型经可逆线性变换变换为（1） 求的值；（2） 求可逆矩阵答案：解析：(1)二次型的矩阵又，故，故.（3） 令即可化；即综上（23）(本题满分11分）设为2阶矩阵,，其中是非零向量且不是的特征向量.(1) 证明是可逆阵;(2) 若，求，并判断是否可以相似对角化.【详解】（）不是特征向量且，则，即线性无关，所以，矩阵可逆.（）设则，即所以，则，因为，所以可以相似对角化，则可以相似对角化.