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求数列通项公式方法归纳一、公式法例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。二、累加法例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例3、在数列中,,,求通项公式.解:原递推式可化为:则 ,逐项相加得:.故.例4 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以例5、已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故因此,则例6在数列中,且,求通项.小练:已知满足,求的通项公式。已知的首项,()求通项公式。已知中,求。三 、累乘法类型 型例7 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为例8已知数列满足,求的通项公式。解:因为所以用式式得则故所以由,则,又知,则,代入得。所以,的通项公式为例9在数列中,求通项.解:由条件等式得,得.练习:1、已知:,()求数列的通项。2、已知中,且求数列通项公式。四、待定系数法 型例10 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入式得由及式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。例11 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得整理得。令,则,代入式得由及式,得,则,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设 将代入式,得,则等式两边消去,得,解方程组,则,代入式,得 由及式,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。例13数列满足,求. 解:设,即对照原递推式,便有故由得,即,得新数列是以为首项,以2为公比的等比数列。(n=1,2,3),即通项练习:1、已知满足,求通项公式。 2、已知中,()求。分析:构造辅助数列, ,则同类变式1、已知数列满足,且,求通项分析:(待定系数),构造数列使其为等比数列,即,解得求得2、已知:,时,求的通项公式。解:设 解得: 是以3为首项,为公比的等比数列 3、已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故因此,则例7 已知数列的前项和满足(1) 写出数列的前3项;(2) 求数列的通项公式.解:(1)由,得.由,得,由,得(2)当时,有,即 令,则,与比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目:1、已知中,()求2、在数列中,求通项公式。解:原递推式可化为: 比较系数得=-4,式即是:.则数列是一个等比数列,其首项,公比是2. 即.3、已知数列满足,求数列的通项公式。解:两边除以,得,则,故数列是以为首,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。4、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为,则求这个数列的通项公式6、已知数列满足,求数列的通项公式。解:设将代入式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则x=1,代入式,得由0及式,得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故类型5、取倒数例8、已知数列中,其中,且当n2时,求通项公式。解: 将两边取倒数得:,这说明是一个等差数列,首项是,公差为2,所以,即.例9、数列中,且,求数列的通项公式.提示 例10、,求解:即 则例11、数列中,求的通项。解: 设 练习:1、在数列中,求类型6、取对数法例12 若数列中,=3且(n是正整数),则它的通项公式是=解 由题意知0,将两边取对数得,即,所以数列是以=为首项,公比为2的等比设 练习:1、在数列中,求五、对数变换法例10 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。在式两边取常用对数得设将式代入式,得,两边消去并整理,得,则,故代入式,得 由及式,得,则,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。六、迭代法例11 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。七、数学归纳法例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。八、换元法例13 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。
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