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矩形的判定矩形的判定ABCD两组对边分别平两组对边分别平行的四边形叫做行的四边形叫做平行四边形平行四边形 .特殊特殊 平行四边形具有四边形的一切性质有一个内角是直角的平行四边形叫矩形有一个内角是直角的平行四边形叫矩形. .1.矩形定义矩形定义：ABCD在在 ABCD中中，A=90 ABCD是矩形是矩形.ABCD已知：矩形ABCD.求证：AC=BD. 证明：在矩形ABCD中，ABC=DCB=900. AB=DC, BC=CB.ABCDCB AC=BD ABCD已知：在RtABC中，ABC=900，BO是AC上的中线.求证: BO = AC21ABCO ABCODAC21BD21BO 1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A 对角线相等 B 对边相等 C 对角相等 D 对角线互相平分A AABCD1 1、角、角2 2、边、边3 3、对角线、对角线对角线互相平分且相等。对角线互相平分且相等。对边平行且相等。对边平行且相等。每个角都是直角。每个角都是直角。思考：（思考：（1 1）矩形中有哪些相等的角、线段？）矩形中有哪些相等的角、线段？ （2 2）矩形中有哪些等腰三角形？直角三角形？）矩形中有哪些等腰三角形？直角三角形？O1. .已知矩形的两邻边长分别为已知矩形的两邻边长分别为6和和8，求其对求其对角线的长角线的长. .3. .已知矩形的一边长为已知矩形的一边长为3，对角线，对角线 长为长为4 4.求其周长和面积求其周长和面积.ABCDOE42.在矩形在矩形ABCD中中，AEBD于于E，若若 BE=OE=1，则则AC= , AB=_ .2例例 在矩形在矩形ABCD中中，AC，BD相交于相交于O，AB=OA=4cm.求求：BD与与AD的长的长.A BCDO 在矩形在矩形ABCD中中，AC与与BD互相平分且相等互相平分且相等, BD=CA=2AO=8cm.在在RtBAD中中，解解：cm344-8 AB-BDAD2222矩形矩形ABCDABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点O,AODO,AOD120120,AB,AB1, 1,求求ACAC的长的长. .ABCDO解：解：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ACDB.又又OA AC,OB BD, 2121OAOB.又又 AOD AOD 120120, , AOB AOB 6060, , AOB AOB 是等边三角形是等边三角形. . OAOAAB AB 1. 1. ACAC2AB 2AB 2.2.矩形矩形ABCDABCD的周长是的周长是56cm,56cm,对角线对角线ACAC与与BDBD相交于相交于点点O,O,OABOAB与与 OBC OBC的周长差是的周长差是4cm,4cm,则矩形则矩形ABCDABCD的对角线长是的对角线长是 . .ABCDO20cm20cm 有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。矩形的判定：矩形判定定理2矩形判定定理3如何证明？如何证明？如何证明？如何证明？证明：对角线相等的平行四边形是矩形证明：对角线相等的平行四边形是矩形理由：OABCD在ABCD中AB=DC,BD=CA,AD=DABADCDA(SSS)BAD=CDAABCDBAD +CDA=180 BAD90 四边形ABCD是矩形（有一个内角是 直角的平行四边形是矩形）下列各句判定矩形的说法是否正确？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1 1）对角线相等的四边形是矩形）对角线相等的四边形是矩形. .（2 2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形）对角线互相平分且相等的四边形是矩形. .（3 3）有一个角是直角的四边形是矩形）有一个角是直角的四边形是矩形. .（6 6）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（7 7）对角线相等，且有一个角是直角的四边）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；形是矩形；（5 5）有三个角是直角的四边形是矩形；）有三个角是直角的四边形是矩形；（4 4）有三个角都相等的四边形是矩形）有三个角都相等的四边形是矩形; ; （1010）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；四边形是矩形；（9 9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（8 8）一组对角互补的平行四边形是矩形；）一组对角互补的平行四边形是矩形； （11） ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10， 则四边形ABCD是矩形 。 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD 相交于点O， AOB是等边三角形。求： BAD的度数OABCD解： AOB是等边三角形OA=OB四边形ABCD是平行四边形AC=2OA,BD=2BOAC=BD平行四边形ABCD是矩形BAD90。答： BAD90。例题：已知： ABCD的对角线AC、BD相交于点O， AOB是等边三角形，AB=4，求这个平行四边形的面积。 另解：四边形ABCD是AO=1/2 AC，BO=1/2 BD AO=BO AC=BD ABCD是矩形 在Rt ABC中， AB=4， A CB = 30，AC=2AB=8 BC= = 4 S=AB BC= 4 4 = 16 8 - 4 2 2 1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）A 对角线相等 B 对角线垂直C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线长是 cm3、如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是 EAC、 MCA、 ACN、 CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） A 菱形 B 平行四边形 C 矩形 D 不能确定EFMNPQACDBC C5 5C C如图，在如图，在ABC中，点中，点D在在AB上，且上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是分别是BDC、ADC的平分线。四边形的平分线。四边形FDEC是矩形吗？为什么？是矩形吗？为什么？DCABFE 如图如图，E为为 ABCD外一点外一点,且且AEEC, BEED.试说明试说明： ABCD是矩形是矩形.ABCDEOABCDO 矩形两条对角线夹角为60，较短一边长 为 ， 则此矩形对角线长为_.32 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，BOC=2 AOB，若AC=6cm,试求AB的长。ABCDOABCDO2. 矩形ABCD中，AB=1， ACB=30，BD=_；与AB相等的线段（不包括本身）有_条.30AB=AO=BO=OC=OD=CD52B到到AC边距离为边距离为_;23E矩形的一个角的平分线分矩形的一边为矩形的一个角的平分线分矩形的一边为1cm1cm和和3cm3cm两部分两部分, ,则这个矩形的面积为则这个矩形的面积为_. .BACDE3 31 1BACDE1 13 312cm12cm2 2或或4cm4cm2 2如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，E E为为ADAD上一点，上一点，EFCEEFCE交交ABAB于于F F，若，若DE=2DE=2，矩形的，矩形的周长为周长为1616，且，且CE=EFCE=EF，求，求AEAE的长的长. .ADBCFE矩形矩形ABCDABCD中中,DF,DF平分平分ADC,ADC,交交ACAC于于E,E,交交BCBC于于F, F, BDFBDF1515, ,求求DOCDOC和和COFCOF的度数的度数. .EFODABC将矩形将矩形ABCDABCD对折对折, ,设折痕为设折痕为MN,MN,再把再把B B点叠在点叠在折痕线折痕线MNMN上点上点B,B,若若AB= AB= ，求折痕，求折痕AEAE的的长长? ?3NMBCADEB 例例1 已知：如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，AEDF于F，若BCAE 。求证：CEEF。ADBCF12E 证明：90BABCD矩形 AFDBDFAAEDFBC/AD9021 在中和DFAABE ECEFBEAFDFAABEAEADDFAB21 此题还可以证明DECDEF，得到EFEC例2 已知：四边形ABCD为矩形，PB=PC， 求证：PA=PDABCDP证明（一）：四边形ABCD为矩形 ABC=DCB=90又 PB=PC PBC=PCB ABP=DCP 四边形ABCD是矩形 AB=CD ABP DCP PA=PD证明（二）：ABCDPF F过点P作BC的垂线，垂足为F，PB=PCPF为BC的垂直平分线又ADBCPF为AD的垂直平分线PA=PD 例例3 已知：如图，矩形ABCD中，BDAE于E，且BAEDAE3。 求：CAE的度数。ABODCE 例例4已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，且EFBF，BDEF。求证：CFOF。ABDCEFO1432某课外学习小组在设计一个矩形时钟钟面时，欲使某课外学习小组在设计一个矩形时钟钟面时，欲使矩形的宽为矩形的宽为2020厘米，时钟的中心在矩形对角线的交厘米，时钟的中心在矩形对角线的交点上，数字点上，数字2 2在矩形的顶点上，数字在矩形的顶点上，数字3 3、6 6、9 9、1212标在所在边的中点上，标在所在边的中点上，（2）请你在长方框上点出各数字的位置，并）请你在长方框上点出各数字的位置，并说明确定该位置的方法；说明确定该位置的方法；（1）求矩形的长）求矩形的长.如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB,AB3,AD 3,AD 4,P4,P是是ADAD上不与上不与A A、D D重合的一动点，重合的一动点，PEACPEAC，PFBDPFBD，E E、F F为为垂足，求垂足，求PEPEPFPF的值的值. .POFEDABC内容方面：内容方面：1. 矩形的定义：矩形的定义：2. 矩形的性质：矩形的性质：3. 矩形的判别：矩形的判别：两组对边两组对边分别平行分别平行是直角是直角有一个内角有一个内角四边形四边形 平行平行四边形四边形矩矩 形形 平行平行四边形四边形矩矩 形形有一个内角是直角有一个内角是直角对角线相等对角线相等 ABCD,ABCD,且且AB=CDAB=CD； ADBC,ADBC,且且AD=BC.AD=BC. AC=BD,OA=OC,OB=OD.AC=BD,OA=OC,OB=OD.=CDA=CDA BCD BCD=DAB=90=DAB=900 0 . .ABC=ABC=四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形ODCAB思想方法方面：思想方法方面：1. 1. 有关矩形问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决有关矩形问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决. . 2. 2.要判别一个四边形是矩形要判别一个四边形是矩形, ,一般要先判别它是平行四边形一般要先判别它是平行四边形, ,然后再找直角或对角线相等然后再找直角或对角线相等”. .
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