初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第5讲 一元二次方程的整数整数解

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第五讲 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中,在各类数学竞赛中,一元二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注,解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有: 从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解; 从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设=),通过穷举,逼近求解; 从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解; 从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关【例题求解】【例1】若关于的方程的解都是整数,则符合条件的整数是的值有 个思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故须按一次方程、二次方程两种情形讨论,这样确定是的值才能全面而准确注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件,看是否要分类讨论【例2】 已知、为质数且是方程的根,那么的值是( ) A B C D 思路点拨 由韦达定理、的关系式,结合整数性质求出、的值 【例3】 试确定一切有理数,使得关于的方程有根且只有整数根 思路点拨 由于方程的类型未确定,所以应分类讨论当时,由根与系数关系得到关于r的两个等式,消去r,利用因式(数)分解先求出方程两整数根【例4】 当为整数时,关于的方程是否有有理根?如果有,求出的值;如果没有,请说明理由 思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数1 / 6设=(为整数)解不定方程,讨论的存在性注:一元二次方程 (a0)而言,方程的根为整数必为有理数,而=为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件【例5】 若关于的方程至少有一个整数根,求非负整数的值思路点拨 因根的表示式复杂,从韦达定理得出的的两个关系式中消去也较困难,又因的次数低于的次数,故可将原方程变形为关于的一次方程 学历训练1已知关于的方程的根都是整数,那么符合条件的整数有 2已知方程有两个质数解,则m 3给出四个命题:整系数方程(a0)中,若为一个完全平方数,则方程必有有理根;整系数方程(a0)中,若方程有有理数根,则为完全平方数;无理数系数方程(a0)的根只能是无理数;若、均为奇数,则方程没有有理数根,其中真命题是 4已知关于的一元二次方程 (为整数)的两个实数根是、,则= 5设rn为整数,且4m0, 0(1)求证:0,0,0, 0;(2)求证:;(3)求、所有可能的值13如果直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程的根(为整数),这样的直角三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在,请说明理由 参考答案 希望对大家有所帮助,多谢您的浏览!
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