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高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R2.关于“属于”的概念如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 aA ,相反,a不属于集合A 记作 aA3.集合的分类:(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合例:x|x2=5=二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。即AA如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集: 记作AB(读作A交B),即AB=x|xA,且xB2并集: 记作AB(读作A并B),即AB=x|xA,或xB3交集与并集的性质:AA = A, A= , AB = BA,AA = A ,A= A ,AB = BA.SCsAA4.全集与补集(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA =x | xS且 xA(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(3)性质:CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U二、函数的有关概念1.函数的单调性2.函数的定义域值域3函数的奇偶性若f(x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数若f(x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 确定f(x)与f(x)的关系; 作出相应结论:若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则f(x)是奇函数补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质1、a0时,2、配方:3、0时,()的两个根为(),则, 4、=0时,()的两个等根为,则,无解,5、0)(1),则的周期T=a;(2),或,或,或,则的周期T=2a;(3),则的周期T=3a;(4)且,则的周期T=4a;(5),则的周期T=5a;(6),则的周期T=6a.8. 分数指数幂 (1)(,且).(2)(,且).9. 根式的性质(1). (2)当为奇数时,;当为偶数时,.10. 有理指数幂的运算性质(1) .(2).(2) (3).注:若a0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式 (,且,且, ).推论 (,且,且, ).11. 对数的四则运算法则若a0,a1,M0,N0,则(1); (2);(3).注:设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.12. 对数换底不等式及其推论若,则函数(1) 当时,在和上为增函数.(2) (2)当时,在和上为减函数.推论:设,且,则(1).(2).高三数学备课组椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆(ab0)的焦半径公式:,( , ).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。12. 若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. PT平分PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)5. 若在双曲线(a0,b0)上,则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线(a0,b0)外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线(a0,bo)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线(a0,bo)的焦半径公式:( , 当在右支上时,,.当在左支上时,,9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MFNF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MFNF.11. AB是双曲线(a0,b0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。12. 若在双曲线(a0,b0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在双曲线(a0,b0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)高三数学备课组椭 圆1. 椭圆(abo)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2. 过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).3. 若P为椭圆(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.4. 设椭圆(ab0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在PF1F2中,记, ,,则有.5. 若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0e时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6. P为椭圆(ab0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.8. 已知椭圆(ab0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.9. 过椭圆(ab0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.10. 已知椭圆( ab0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.11. 设P点是椭圆( ab0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2) .12. 设A、B是椭圆( ab0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,, ,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2) .(3) .13. 已知椭圆( ab0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.47
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